考慮兩個群G1和G2，f是G1到G2的滿同態(tài)，有這么兩個結論：

①：若f(a)=α，則α的原像為a*kerf 或 kerf*a，a∈G1、α∈G2

②：|G1|=|G2|*|kerf|，

②是①推論，從②來看kerf的大小可以衡量滿射的尺度，如果kerf有五個元素的話，那么映射圖應該是像這樣的。

這里來解釋一下①是怎么來的：

G1到G2有滿同態(tài)映射f，G1可能有多個元素映射到相同的元素，比如f(a)=f(ax)=α，ax是a的任意原像：

根據(jù)同態(tài)性質(zhì)有

所以a^-1*ax ∈ kerf，所以a*kerf是原像。

例子：Z[x]是整數(shù)環(huán)Z上的一元多項式環(huán)，2 ∈Z，由2確定一個映射Φ，此映射的作用是將2帶入多項式中：Φ(Z[x])=Z[2]，這個映射是滿同態(tài)映射。

那么問Z[x]中映射到3的元素有哪些？也就是3的原像是哪些。

我們只需要找到一個映射為3的元素f(x)和Φ的核kerΦ就行，根據(jù)①，答案是f(x)+kerΦ。

多項式f(x)=3，Φ(f(x))=3，接下來找到kerΦ就行。

kerΦ是所有根為2的多項式，根據(jù)貝祖定理，x-2整除kerΦ中的元素，所以我們用x-2乘上整個一元多項式環(huán)得到了kerΦ，所以答案可以是x-2*R[x]+3。

Φ(x+1)=3，所以答案也可以是x-2*R[x]+(x+1).................

? (x-2)+3=x+1

? (x-2)^2+(x+1)=5-3x+x^2

? (x-2)^2+(5-3x+x^2)=9-7x+2x^2

? ................