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第 一章? 函數(shù)與極限

第一節(jié) 映射與函數(shù)

二、映射

a.映射概念

概念：

• 映射：設(shè)X、Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f:X→Y，

  其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f(x)，即y=f(x)，

  而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個原像；

  集合X稱為映射f的定義域，記作Df，即Df=X；

  X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域，記作Rf或f(X)，即Rf=f(X)={f(x)|x∈X}。

• 滿射：設(shè)f是從集合X到集合Y的映射，若Rf∈Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，則稱f為X到Y(jié)上的滿射。

• 單射：若對X中任意兩個不同元素，x1≠x2，f(x1)≠f(x2)，則稱f為X到Y(jié)的單射。

• 一一映射（雙射）：若映射既是單射，又是滿射，則稱f為一一映射（或雙射）。

• 算子：映射又稱為算子，根據(jù)集合X、Y的不同情形，在不同的數(shù)學(xué)分支中，映射又有不同的慣用名稱。

• 泛函：從非空集X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函。

• 變換：從非空集X到它自身的映射又稱為X上的變換。

• 函數(shù)：從實數(shù)集（或其子集）X到實數(shù)集Y的映射通常稱為定義在X上的函數(shù)。

b.逆映射與復(fù)合映射

概念：

• 逆映射：設(shè)f是X到Y(jié)的單射，則由定義，對每個y∈Rf，有唯一的x∈X，適合f(x)=y，于是，我們可定義一個從Rf到X的新映射g，即g:Rf→X，對每個y∈Rf，固定g(y)=x，這x滿足f(x)=y，這個映射g稱為f的逆映射，記作

????——值域

• 復(fù)合映射：設(shè)有兩個映射

????——則由映射g和f可以定出一個從X到Y(jié)的對應(yīng)法則，它將每個x∈X映成f[g(x)]∈Z，

????——這個對應(yīng)法則確定了一個從X到Z的映射，該映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射，記作

三、函數(shù)

a.函數(shù)概念

概念：

• 函數(shù)：設(shè)數(shù)集

????——則稱映射f:D→R為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為y=f(x),x∈D，

????——其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df=D。

• 函數(shù)值：函數(shù)定義中，對每個x∈D，按對應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對應(yīng)，這個值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記作f(x)，即y=f(x)；

• 函數(shù)關(guān)系：因變量y與自變量x之間的這種依賴關(guān)系，通常稱為函數(shù)關(guān)系；

• 值域：函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f的值域，記作Rf或f(D)，即

b.函數(shù)的幾種特性

概念：

• 上界：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，數(shù)集

?????——如果存在數(shù)K1，使得f(x)<=K1，對任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，

????——而K1稱為函數(shù)f(x)在X上的一個上界。

• 下界：如果存在數(shù)K2，使得f(x)>=K2，對任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱為函數(shù)f(x)在X上的一個下界。

性質(zhì)：

• 函數(shù)的有界性：如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|<=M對任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成f(x)在X上無界；

• 函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間

????——如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，

????——則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上時單調(diào)增加的；

? ? ——如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當(dāng)x1<x2時，恒有f(x1)>f(x2)，

????——則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上時單調(diào)減少的；

????——單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。

• 函數(shù)的奇偶性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任一x∈D，f(-x)=f(x)恒成立，則稱f(x)為偶函數(shù)；

  如果對于任一x∈D，f(-x)=-f(x)恒成立，則稱f(x)為偶函數(shù)。

• 函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個整數(shù)l，使得對于任一x∈D有(x±l)∈D且f(x+l)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，l稱為f(x)的周期，通常我們說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。

c.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

概念：

• 反函數(shù)：對每個y∈f(D)，有唯一的x∈D，使得f(x)=y，于是有

????——這就是說，反函數(shù)的對應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對應(yīng)法則所確定的。

• 復(fù)合函數(shù)：函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按“先g后f”的次序復(fù)合的函數(shù)通常記作

d.函數(shù)的運算

運算：

e.初等函數(shù)

類型：