談?wù)?+1表法數(shù)r2(N)的下限值≥[N/(lnN)^2]

崔 坤

中國(guó)山東青島即墨, 266200, E-mail：cwkzq@126.com

摘要:本文是用綜述的方法回顧了素?cái)?shù)的起源與發(fā)展，把古老的埃氏篩法推廣到雙篩法，

??運(yùn)用了素?cái)?shù)定理對(duì)哥猜表法數(shù)真值公式的下限值分析獲得了r2(N)≥[N/(lnN)^2]

任何一個(gè)公式在其定義域內(nèi)沒有反例才是真正的共識(shí)。

關(guān)鍵詞：素?cái)?shù)，素?cái)?shù)定理，埃拉托斯特尼篩法，互逆共軛等差數(shù)列，哥猜數(shù)，雙篩法

1.古老的素?cái)?shù)：

素?cái)?shù),又稱質(zhì)數(shù),是只能被1或者自己整除的自然數(shù)。

埃拉托斯特尼：

公元前276年出生于昔蘭尼，即現(xiàn)利比亞的夏哈特;公元前194年逝世于托勒密王朝的亞歷山大港)，希臘數(shù)學(xué)家、地理學(xué)家、歷史學(xué)家、詩(shī)人、天文學(xué)家。埃拉托斯特尼的貢獻(xiàn)主要是設(shè)計(jì)出經(jīng)緯度系統(tǒng)，計(jì)算出地球的直徑。

2.埃拉托斯特尼篩法：當(dāng)年埃拉托斯特尼找來(lái)一張舊羊皮，在上面寫出一排非零自然數(shù)n，然后：把不大于n^1/2的所有素?cái)?shù)的倍數(shù)扣洞，留下的孤島就是獲得的n內(nèi)的所有素?cái)?shù)。

給出要篩數(shù)值的范圍n，找出以內(nèi)的素?cái)?shù)。先用2去篩，即把2留下，把2的倍數(shù)剔除掉；再用下一個(gè)質(zhì)數(shù)，也就是3篩，把3留下，把3的倍數(shù)剔除掉；

接下去用下一個(gè)質(zhì)數(shù)5篩，把5留下，把5的倍數(shù)剔除掉；不斷重復(fù)下去......。

這樣得到的：1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，….都是素?cái)?shù)。

3.素?cái)?shù)定理：是素?cái)?shù)分布理論的中心定理，

設(shè)n≥1，以π(n)表示不超過n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)n→∞時(shí)，π(n)～n/ln(n)。

根據(jù)素?cái)?shù)定理可知那么不超過n【n≥6】的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)至少有[n/ln(n)]

4.互逆共軛等差數(shù)列：

等差數(shù)列A:1,3,5,7,9,11，…，（2n-1）

等差數(shù)列B:(2n-1),(2n-3),(2n-5),?…,5,,3,1

偶數(shù)N=A+B大于等于6

5.哥猜數(shù)：偶數(shù)N≥6雙記法下的1+1表法數(shù)個(gè)數(shù)，用r2(N)表示

6：雙篩法：對(duì)于互逆共軛數(shù)列AB按照埃拉托斯特尼篩法進(jìn)行篩選素?cái)?shù)的方法。

7：雙篩法步驟：對(duì)于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素?cái)?shù)集合{Pr}：

｛1，3，5，…，Pr｝,Pr＜√N(yùn)

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進(jìn)行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實(shí)剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實(shí)剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實(shí)剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實(shí)剩余比mr

這樣就完成了對(duì)偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，根據(jù)乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：

[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},

3|/70，首先這35個(gè)奇數(shù)用3雙篩后得到剩余13個(gè)奇數(shù)，則其真實(shí)剩余比：m1=13/35

5|70, 剩余的13個(gè)奇數(shù)再用5雙篩剩余10個(gè)奇數(shù)，則其真實(shí)剩余比：m2=10/13

7|70,?剩余的10個(gè)奇數(shù)再用7雙篩剩余10個(gè)奇數(shù)，則其真實(shí)剩余比：m3=10/10

根據(jù)真值公式得：

r2(70)

=(70/2)*m1*m2*m3

=35*13/35*10/13*10/10

=10

r2(70)=10

分析雙篩法r2(N)的下限值：

雙篩法第一步:先對(duì)A數(shù)列篩選，根據(jù)素?cái)?shù)定理，A中至少有[N/lnN]≥1個(gè)奇素?cái)?shù)，

即此時(shí)的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]個(gè)奇素?cái)?shù)

第二步:再對(duì)B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的1/lnN

則根據(jù)乘法原理由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:?[N/lnN]* 1/lnN=[N/(lnN)^2]個(gè)共軛奇素?cái)?shù)。

例如：30

第一步:先對(duì)A數(shù)列篩選，A中至少有[N/lnN]= [30/ln30]=8個(gè)奇素?cái)?shù),而π(30)=10

即此時(shí)的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN]= [30/ln30]=8個(gè)奇素?cái)?shù)。

A

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

B

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

第二步:再對(duì)B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的1/lnN,由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:

?[30/ln30]* 1/ln30=[30/(ln30)^2]=2個(gè)共軛奇素?cái)?shù),而r2(30)=8

A

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

B

29

27

25

23

21

19

17

15

13

11

9

7

5

3

1

8.結(jié)論：

哥猜數(shù)r2(N)的下限值≥[N/(lnN)^2]

9.參考文獻(xiàn)：

[1]華羅庚，《數(shù)論導(dǎo)引》，科學(xué)出版社，1957-07

[2]王元，《談?wù)勊財(cái)?shù)》，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011-3

[3]李文林，《數(shù)學(xué)瑰寶——?dú)v史文獻(xiàn)精選》，科學(xué)出版社，1998年，第368頁(yè)

[4]百度百科，https://baike.baidu.com/item/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%AE%9A%E7%90%86/1972457?fr=kg_general