在學科尚未框定個人職業(yè)并使其囿于單一工作的時代，“數(shù)學家”一詞并不足以界定堪當這一稱呼的那些“雜家”（或者說百科全書式的人物）。若爾當，一生以工程師這一職業(yè)立身，其所成就，無論是若爾當標準型，還是對伽羅瓦理論的發(fā)展，都溢出了數(shù)學的邊界，或反哺了工程學科，或在近世物理中結(jié)果開花。他，可以稱得上是披著工程師外衣的數(shù)學家。

撰文?|?丁玖（美國南密西西比大學數(shù)學系教授）

修過數(shù)學基礎(chǔ)課《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》的大學理工科學生，大概不少都知道矩陣的“若爾當標準型”這個概念。學完復(fù)變函數(shù)論里柯西積分定理和廣義柯西積分定理的那些人，知道積分所沿的單連通或多聯(lián)通區(qū)域邊界曲線應(yīng)當由一條或幾條“若爾當曲線”組成。接觸到測度論的部分同學可能也曉得“若爾當廣義測度分解定理”。用來命名這三個數(shù)學術(shù)語的人物“若爾當”是一位著名的法國數(shù)學家，全名是Marie Ennemond Camille Jordan，生于1838年，今年是他去世一百周年。
若爾當一生中最有名的數(shù)學工作并不是上述三項，而是在有限群論，在這個領(lǐng)域他做出了基礎(chǔ)性的貢獻，并直接指明了伽羅瓦理論的前進方向，影響深遠。此外，他撰寫的一本教科書《分析教程》(Cours d'analyse)，是十九世紀末期分析學的標準教材和參考書目。寫出二十世紀卓越教材《代數(shù)學》的荷蘭代數(shù)學家范·德·瓦爾登?(Bartel Leendert van der Waerden，1903-1996)?說過：“據(jù)我所知，這是最早一部把整個經(jīng)典分析作為一個統(tǒng)一的、完整的邏輯體系來描述的教科書……對于我，閱讀《分析教程》的每一章都是件愉快的事。”
盡管現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展一日千里，學科林立，但是歷史悠久的微積分和線性代數(shù)是科學家和工程師最喜愛并且用得最多的兩門“古典高等數(shù)學”。除了抽象代數(shù)學家，很少人懂得有限群論或伽羅瓦理論，但對“矩陣若爾當標準型”至少略知一二的大學畢業(yè)生卻多如牛毛。一輩子職業(yè)生涯大部分時間為工程師的若爾當，懂得工程師們的需求乃至苦衷，的確為他們簡化了一般方陣的結(jié)構(gòu)，讓它們相似于包含最多可能零元素的“標準型”，既幫助學問家洞察矩陣作為線性算子的作用機制，又方便應(yīng)用者從事理論分析與實際計算。這立下了奇功，因此，后人在所有的矩陣論教科書中都不吝筆墨地將他的大名寫在“標準型”這一詞組的前面：Jordan canonical?(or normal)?form of a matrix（矩陣的若爾當標準型）。今天，在他離世一百年之際，有必要回顧他的一生經(jīng)歷，緬懷他的科學貢獻。

一生經(jīng)歷

若爾當生于法國名城里昂一位畢業(yè)于巴黎綜合工科學校的工程師之家，他的父親直接將其著名政治家叔叔的全名復(fù)制給自己的兒子作為名字，或許是因為他發(fā)現(xiàn)初生嬰兒與其叔祖恰好出生在同一個月里，日期也僅有六天之遙。但兒子長大后卻沒能成為政治家，還是繼承了他的衣缽當了工程師，連17歲時所進的大學也步父親的后塵。若爾當母親的弟弟是個著名的壁畫家，被尊稱為“法國畫家?(The painter for France)?”。可以說，若爾當?shù)母改杆鶎俚膬蓚€家族都是“名門望族”。
若爾當在不到23歲時完成的博士論文有兩個相對獨立的部分。第一部分“關(guān)于函數(shù)值的個數(shù)”本質(zhì)上講屬于代數(shù)學，第二部分“關(guān)于代數(shù)微分積分反函數(shù)的周期”處理的是線積分 ∫ u dz，其中u是由某個代數(shù)方程f(u, z) = 0所定義的一個復(fù)變量函數(shù)。他的博士論文刊登在母校的雜志《綜合工科學校學報》上。論文成功答辯后，他開始了工程師的生涯，就像當時絕大多數(shù)的同校畢業(yè)生一樣，包括后來的龐加萊?(Henri Poincaré，1854-1912)。他先后在三個城市任職，最后一個是巴黎。
但是，出于對探索數(shù)學未知世界的好奇心，加上工程師職務(wù)的工作自由支配，若爾當有充足的時間和精力投身到數(shù)學研究中，他一生中發(fā)表的120篇數(shù)學論文，絕大部分都是以工程師的身份寫出來的。歷史上，以數(shù)學作為第二職業(yè)甚至副業(yè)或余暇愛好卻成就遠超主業(yè)的人舉不勝舉，最著名的當推他的法國前輩、業(yè)余數(shù)學家之王費馬?(Pierre de Fermat，1601-1665)，他不僅是微積分、數(shù)論、概率論等領(lǐng)域的開拓者之一，而且他提出的“費馬猜想”讓一代代數(shù)學家忙碌了358年才最終破解，但是他的終生本行卻是法院議員。比若爾當小了十六歲的龐加萊雖然是十九世紀末法國乃至全世界的領(lǐng)袖級全能數(shù)學家，一生卻沒有丟棄其在礦業(yè)管理部門的正式職位，而未能百分之百地獻身數(shù)學，這是他在物理和工程領(lǐng)域也頗有建樹的原因之一。如此看來，業(yè)余時間研究數(shù)學在法國有著幾百年的歷史。
1862年，戴上博士帽不到一年的若爾當與家鄉(xiāng)城市里昂副市長的女兒結(jié)婚，他們一共生了兩個女兒和六個兒子，可惜的是其中三個兒子在第一次世界大戰(zhàn)中陣亡。幸存的三個兒子都很有出息：一個成為政府部長，一個當了巴黎索邦大學的歷史學教授，第三個則繼承了工程師的祖?zhèn)髀殬I(yè)。
從1873年起，若爾當成為巴黎綜合工科學校的一名考官，三年后他被升遷為本校分析學教授，他擔任這個職位一直到1912年退休為止。1883年，他又成為法蘭西學院的教授，然而在1885年前至少從理論上講他依然是一名工程師。因此這套“工程師”的外衣他至少披了四分之一個世紀未脫。然而，他幾乎所有的創(chuàng)造性數(shù)學研究成果都是在這個期間內(nèi)取得的。
若爾當一生中獲得的學術(shù)榮譽包括：1881年被遴選為法蘭西科學院的院士，1895年被選聘為俄國圣彼得堡科學院的院士。1870年的一部創(chuàng)造性數(shù)學作品為他贏得法國科學院頒發(fā)的彭賽列獎。與他一樣，彭賽列?(Jean-Victor Poncelet，1788-1867)?也身兼工程師和數(shù)學家兩職，在法俄戰(zhàn)爭中被俄軍俘虜，但在被囚禁的監(jiān)獄中由戰(zhàn)俘變?yōu)樯溆皫缀螌W的創(chuàng)始人之一，60歲時擔任了母校巴黎綜合工科學校的校長。1890年，若爾當獲得拿破侖?(Napoleon Bonaparte，1769-1821)?創(chuàng)立的法國榮譽軍團軍官勛位?(Officer of the Légion d'honneur)，這是法蘭西的最高國家榮譽，贈與對國家有功的軍人或平民。他生前的最后一個榮譽是擔任于1920年在法國斯特拉斯堡舉行的第六屆國際數(shù)學家大會名譽主席。

一生成就
若爾當在數(shù)學的若干領(lǐng)域留給后人豐碩的果實。我們先來介紹本文開頭提到過的三項貢獻，因為知道它們內(nèi)容的讀者可能最多，尤其是第一項。它們分別是矩陣的若爾當標準型、平面上的若爾當閉曲線定理以及廣義測度的若爾當分解定理。
對于大學理工科學生，線性代數(shù)中的“矩陣”和微積分中的“導數(shù)”一樣都是各自學科中的最基本概念。因為矩陣給出了線性代數(shù)中抽象有限維線性空間之間線性算子的具體模型和給定基底下的具體表示，所以極具實用價值，一門工程師愛不釋手的學科“矩陣論”從十九世紀起迅速蓬勃發(fā)展，令其長成參天大樹的辛勤園丁包括兩位英國學者：凱萊?(Arthur Cayley，1821-1895)?和西爾韋斯特?(James Joseph Sylvester，1814-1897)，他們的名字大學生們也認識，因為任何一本線性代數(shù)或矩陣理論的教科書里都包含了“凱萊-哈密頓定理”(n × n矩陣滿足其特征方程)和“西爾韋斯特矩陣二次型慣性定理”（在實數(shù)域中，對稱矩陣的標準型對角矩陣的正對角元個數(shù)是一個不變量）。
在矩陣論中，對于行數(shù)等于列數(shù)的方陣，有個重要概念叫“相似”，如果尺寸一樣的方陣A和方陣B之間有等式關(guān)系：A = PBP-1，其中方陣P是非奇異的，則稱A相似于B。這個關(guān)系是非常理想的“等價關(guān)系”，即它滿足三個條件：(1)自反性，即A相似于自己；(2)對稱性，即A相似于B當且僅當B相似于A；(3)傳遞性，即如果A相似于B，而B相似于C，則A相似于C。
雖說成語“物以類聚人以群分”容易讓人以為朋友關(guān)系是個等價關(guān)系，其實不然，因為它不滿足傳遞性，即張三和李四都是王二麻子的朋友這個假設(shè)不一定得出張三和李四也是朋友的結(jié)論，他們甚至可能是仇敵。然而數(shù)學上的等價關(guān)系確實可以借用上面的成語來刻畫，或言之，任何集合上定義的一個等價關(guān)系唯一地將該集合劃分為互不相交的“等價類”并為它們之并，在每個等價類內(nèi)任意兩個元素等價，任一個等價類里的任意元素與任何其他等價類的任意元素不等價；反之任何一個集合的任意一個子集劃分可以定義唯一的等價關(guān)系：兩個元素等價當且僅當它們屬于劃分中的同一個子集。
回到同一尺寸方陣的相似性等價關(guān)系，從上面的一般結(jié)論得知：所有n x n復(fù)矩陣的全體被劃分出一個個的相似等價類，每個類中的所有方陣彼此相似，不在同一類中的矩陣彼此不相似。相似的矩陣具有一模一樣的特征值，包括每個特征值有相同的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)，這些不變量給出了不同相似類的某些基本特征。
一個自然的問題是，在每個相似類中，哪個矩陣結(jié)構(gòu)最簡單，因而可以作為這個相似類的代表出現(xiàn)？這名代表就是若爾當于1870年為我們挑選出的。顯然，一般而言，矩陣中的零元素越多，結(jié)構(gòu)就可能越簡單，最簡單的莫過于對角矩陣。我們知道在復(fù)數(shù)域內(nèi)，任何非常數(shù)的多項式都有零點，因而每個復(fù)系數(shù)多項式都能分解為線性因子之積。由此可以預(yù)測，復(fù)矩陣相似類中的那些最簡單的應(yīng)該包含最可能多的零元素了。的確，用現(xiàn)代的語言來說，復(fù)數(shù)域上方陣A的若爾當標準型是A所在的那個相似類中的一個塊對角矩陣，其中每個對角塊方陣都是上三角矩陣，它的對角元素都是同一個復(fù)數(shù)，它是A的某個特征值，在對角線上方的“次對角線”上每個元素都是1，而方陣內(nèi)的其他元素統(tǒng)統(tǒng)為0，這個特殊的方陣稱為若爾當塊。這樣的矩陣是夠簡單的，而且展現(xiàn)出統(tǒng)一的模式。
若爾當標準型給出了將n × n矩陣A所有“廣義特征子空間”的某個特殊基底放在一起后，在酉空間Cn的這個特殊基底下，A作為線性算子的“矩陣表示”。它是透徹理解一般矩陣代數(shù)和幾何性質(zhì)化繁為簡的強大工具，因此可以想象它在應(yīng)用學科上用途多多。實際上，它在矩陣論以及其他純粹數(shù)學的分支中也常常用到。華羅庚先生是個玩矩陣的高手，他和弟子們在“矩陣幾何”的研究中常用若爾當標準型，以至于代數(shù)學家曾肯成?(1927-2004)?曾有一句戲言：“龍生龍，鳳生鳳，華羅庚的學生會打洞?！蔽疫@里再舉一個小例子，因為它與我有關(guān)，借以表達我對若爾當?shù)母卸髦椤?/span>
十二年前，有一次我偶然讀到對楊振寧先生的一個采訪，其中他講到了他著名的三大貢獻之一Yang-Baxter equation（楊-巴克斯特方程）。楊先生用女士發(fā)辮的不同梳法形象地說明了為何兩個運算A和B不符合交換律，即AB ≠ BA，卻有可能ABA = BAB。我讀了之后突發(fā)好奇：如果只考慮矩陣的情形，假設(shè)方陣A已知，能否求出帶有未知方陣X的矩陣方程AXA = XAX的所有解？出于對楊振寧和巴克斯特兩位物理學家的尊敬，我將此二次矩陣方程命名為楊-巴克斯特類矩陣方程?(Yang-Baxter-like matrix equation)。這個方程總有兩個平凡解X = 0和X = A，所以求出非平凡解才有意思。
于是，為了滿足極大的好奇心，我勻出了一半的研究時間，開啟了這項與我主要研究領(lǐng)域——計算遍歷理論沒有關(guān)系的一個新問題的探索之旅，并拉上與我長期合作的一位師兄陪我前行。在我們對一類矩陣用了布勞威爾不動點定理找出非平凡解以及運用矩陣的譜分解定理甚至遍歷定理找到幾個有意義的譜解而發(fā)表了最早幾篇論文時，我發(fā)現(xiàn)找到楊-巴克斯特類矩陣方程的非平凡解之非平凡性。
某日，一個好點子突然冒出了我的腦海：如果方陣A相似于方陣B，那么只要能解出對應(yīng)于B的楊-巴克斯特類矩陣方程，那么對應(yīng)于A的楊-巴克斯特類矩陣方程的解就能水到渠成。自然，最佳的B就是A的若爾當標準型！這個想法很快讓我和合作者以及其他研究者沉浸其中，導致對應(yīng)于不同種類矩陣A的楊-巴克斯特類矩陣方程一批又一批解的文物出土。
若爾當在分析學和拓撲學中比較廣為人知的數(shù)學貢獻出現(xiàn)在復(fù)變函數(shù)論中，他的法國前輩柯西?(Augustin-Louis Cauchy，1789-1857)?在這一于工程科學中應(yīng)用廣泛的領(lǐng)域里有著根本性的創(chuàng)舉，包括他的幾個閉路積分定理。在這類定理中，解析函數(shù)的積分是沿著復(fù)平面上的幾條閉曲線進行的，它們組成了一個有界開區(qū)域的邊界。在法國大革命那年出生的柯西，長大后也對牛頓?(Isaac Newton，1643-1727)?和萊布尼茨?(Gottfried Leibniz，1646-1716)?發(fā)明的微積分來了個徹底革命，即用ε-δ極限語言將直觀性強的初等微積分上升到邏輯性強的高等微積分。但是“智者千慮必有一失”，以嚴格分析學家著稱于世的柯西或許沒有注意到被積函數(shù)復(fù)變量行走通過的那條閉曲線本身就沒有被嚴格地研究。
這就需要遲他半個世紀的若爾當來仔細檢視曲線了。他給出了平面曲線的“若爾當定義”，第一次引進了有界變差函數(shù)，明確了曲線長度的概念。他證明了教科書中的一個標準定理：函數(shù)是有界變差的當且僅當它是兩個遞增函數(shù)之差。學過《數(shù)學分析》或《實變函數(shù)論》的大學生都知道，一條由參數(shù)方程x = f(t)，y = g(t)且參變量取值范圍為區(qū)間[a，b]所表達的曲線之長度為一有限實數(shù)，當且僅當這兩個函數(shù)f和g都是參變量t的有界變差函數(shù)?！扒€”、“曲線長度”和“函數(shù)變差”這幾個概念出現(xiàn)在若爾當所撰三卷本著作《分析教程》的第一版中，它們在1882到1887年之間先后問世。若爾當在巴黎綜合工科學校講授《實變函數(shù)論》時給出并證明了他那著名的“若爾當曲線定理”，其正式的表述和論證放進了《分析教程》的第三版。該定理說，平面上一條簡單的閉合曲線將平面恰好分成內(nèi)部和外部兩個開區(qū)域，以該曲線為共同邊界，內(nèi)部區(qū)域是有界的，而外部區(qū)域則是無界的。閉合曲線指的是將單位圓周映到平面內(nèi)的連續(xù)映射之像，或等價地說是將單位區(qū)間[0，1]映到平面內(nèi)并在區(qū)間兩端點取值為同一個點的連續(xù)映射之像。如果這條曲線自身不相交，就被稱為是簡單曲線。后人為了紀念他，將這樣的簡單閉合曲線命名為若爾當曲線。
這個定理從直觀上看似乎很顯然，比方說以坐標原點為中心的單位圓周將坐標平面分成圓的內(nèi)部和圓的外部。然而，直觀不能代替證明，直觀上對不一定真是對的，它需要嚴格的證明。當閉合曲線是多邊形，定理的證明不難，難的是那些奇形八怪的曲線，比如處處連續(xù)卻又處處沒有切線的曲線。一條奇怪的閉曲線就是分形理論里赫赫有名的科赫雪花，它是有界的，但卻有無窮長，它被分形之父曼德博?(Benoit Mandelbrot，1924-2010)?看成是英國海岸線的數(shù)學模型。
若爾當?shù)谝粋€給出了閉曲線定理的證明，然而，他的證明引起了爭論，不少人認為他的證明是不完備的。人們比較認可的嚴格證明是在1905年由美國幾何和拓撲學家維布倫?(Oswald Veblen，1880-1960)?作出的。證明的思想出自代數(shù)拓撲，并可以處理該定理的高維推廣。維布倫是普林斯頓高等研究院的六名首批正式教授之一，作為美國數(shù)學史上的名人，他對陳省身和華羅庚于上個世紀四十年代赴美訪問高等研究院及其之后在美尋找教書位置都有很大幫助。美國數(shù)學會從1964年建立了維布倫幾何獎，我的大學同學田剛于1996年獲得該獎。維布倫曾這樣評價若爾當：“然而，他的證明對許多數(shù)學家來說并不令人滿意。它假設(shè)定理在簡單多邊形的重要特殊情況下成立而沒有對此證明，并且人們必須承認，從這一點開始的論證至少沒有給出所有細節(jié)。”然而，證明了開普勒裝球猜想的當代美國數(shù)學家黑爾?(Thomas Hale，1958-)?卻為若爾當辯護：“我發(fā)現(xiàn)的幾乎所有現(xiàn)代引文都同意第一個正確的證明歸功于維布倫……鑒于對若爾當證明的嚴厲批評，當我坐下來閱讀他的證明發(fā)現(xiàn)沒有任何令人反感的地方時，我感到很驚訝。從那以后，我聯(lián)系了一些批評若爾當?shù)淖髡?，但每位作者都承認并非直接知道若爾當證明中的錯誤?！?/span>
若爾當?shù)囊粋€不那么引入注目的定理屬于測度論。測度論是勒貝格積分論和柯爾莫哥洛夫概率論的基礎(chǔ)。測度是定義在可測空間σ-代數(shù)上的一個滿足可數(shù)可加性的集函數(shù)，其值域包含在非負實數(shù)另加正無窮大的集合內(nèi)，且在空集的值為0。如果去掉值的非負性要求并且不容許取值為正無窮大或負無窮大，則滿足上述其他條件的集函數(shù)稱為廣義測度。若爾當廣義測度分解定理是說廣義測度可以表達為兩個取值不為正無窮大的正測度之差。如果沒有學過測度論，可以將這個定理視為如下理工科大學生普遍熟悉的積分分解公式的推廣：記f+和f-分別為可積函數(shù)f的正部和負部，即f+(x)取f(x)與0兩數(shù)之間的最大值，f-(x)取-f(x)與0兩數(shù)之間的最大值，則f在[a，b]上的積分等于f+在[a，b]上的積分減去f-在[a，b]上的積分。
前面提到若爾當首次給出的矩陣標準型，實際上并非是建立在復(fù)數(shù)域上今日常用的那個形式，他考慮的域是“有限數(shù)域”，屬于有限群論的范疇。事實上，“有限群論”這個后來一百年間迅猛發(fā)展的抽象代數(shù)分支是若爾當開創(chuàng)的，這是他在數(shù)學史上彪炳千秋的不朽功勛。一切抽象的理論來源自有價值的具體實例，從若爾當起步的有限群論是以“置換群”鳴鑼開道的。n個不同對象可用從1到n的自然數(shù)代表，1, …, n的所有不同的排列組成了一個置換群，它有n階乘個元素，其中的群運算就是通常的“映射復(fù)合”。若爾當是歷史上第一個對置換群進行系統(tǒng)探索的人。他對至今還未完全搞清楚的有限可解群及其分類問題進行了開拓性的研究，引進了商群的符號，1869年他證明的關(guān)于有限群正規(guī)子群合成列的一個基本結(jié)果，現(xiàn)在被稱為若爾當-赫爾德定理，兩個人名中的德國數(shù)學家赫爾德?(Otto H?lder，1859-1937)?于1889年強化了若爾當二十年前的最早結(jié)論。
作為置換群之父，若爾當對伽羅瓦群的發(fā)展起到了關(guān)鍵性的作用。伽羅瓦?(Evariste Galois，1811-1832)?因決斗而亡十一年后，劉維爾?(Joseph Liouville，1809-1882)?閱讀了他的原始論文，掂出了它的巨大份量，于1846年將之發(fā)表在自己十年前創(chuàng)辦的期刊《純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志》上。之后他關(guān)于伽羅瓦理論的講座吸引了埃爾米特?(Charles Hermite，1822-1901)?等數(shù)學家參加，這些法國數(shù)學家對伽羅瓦開天辟地新理論的研究也隨之開始。然而，指出伽羅瓦理論的發(fā)展走向應(yīng)在何方的是若爾當。他關(guān)于有限群的一個主要工作對象是關(guān)于含有素數(shù)個元素的有限域上的一般線性群，他獲得的結(jié)果可以用于確定代數(shù)方程所對應(yīng)的伽羅瓦群的結(jié)構(gòu)。他提出了置換群的解析表示，十九世紀末二十世紀初，德國數(shù)學家佛羅貝尼烏斯?(Georg Frobenius，1849-1917)?等人將他的表示理論推廣到任意有限群。若爾當是代數(shù)學分支“群表示論”當之無愧的一位祖師爺。
這些創(chuàng)造性工作以及與伽羅瓦理論的聯(lián)系被他寫進了于1870年出版的那部科學院獲獎專著《代換與代數(shù)方程論》(Traité des substitutions et des équations algebraique)，其篇幅超過650頁，包含了許多近世代數(shù)中的新概念，“阿貝爾群”就是他在書中首次采用的術(shù)語。在這有史以來的第一本群論書中，他對伽羅瓦理論進行了全面的研究。該書還包含了他關(guān)于有限域上矩陣的標準型定理，后人將它推廣至復(fù)數(shù)域上，極大地擴充了應(yīng)用范圍。最重要的是這部史無前例的著作將置換群放到了數(shù)學的一個中心位置，在未來的三十年里為有限群論提供了基礎(chǔ)?？梢院敛豢鋸埖卣f，若爾當這本書出版后的百年間，群論不僅已經(jīng)發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學的主要研究領(lǐng)域之一，而且也成了理論物理學中有關(guān)對稱性研究的重要數(shù)學工具，這是我們在楊振寧先生幾十年來的大眾科學演講中經(jīng)常聽到的。
正因為若爾當對群論的開創(chuàng)性工作為他贏得了國際聲譽，一些外國的未來數(shù)學之星，如德國的克萊因?(Felix Klein，1849-1925)?和挪威的李?(Sophus Lie，1842-1899)，于1870年奔赴巴黎訪問他，向他請教新穎的思想。法國這位老師由于受到礦物學家關(guān)于晶體結(jié)構(gòu)研究的啟發(fā)而做出的關(guān)于三維空間歐幾里得變換群的分類工作，激發(fā)了這兩位國際學生分別對離散群和連續(xù)群提出并發(fā)展了他們各自的理論。克萊因留名數(shù)學史的埃爾蘭根綱領(lǐng)，將幾何按照給定變換群的不變量進行分類，對現(xiàn)代數(shù)學有深遠的影響。李的名字出現(xiàn)在“李群”、“李代數(shù)”等數(shù)不清的術(shù)語中，他是將代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓撲結(jié)構(gòu)成功嫁接的一位園藝大師。
在其群論著作發(fā)表后的十多年間，若爾當繼續(xù)為建造群論這座大廈添磚加瓦，證明了幾個有基礎(chǔ)重要性的結(jié)果，如關(guān)于本原置換群的有限性定理。此外，他在其他數(shù)學領(lǐng)域繼續(xù)耕耘，一個在分析學領(lǐng)域中的突出工作是他推廣了傅里葉級數(shù)的一個收斂準則。四十余年前我學過這個收斂準則：如果可積函數(shù)f在x的一個鄰域內(nèi)是有界變差的，那么它的傅里葉級數(shù)在x收斂到f在這點的左極限和右極限之算術(shù)平均數(shù)。在十九世紀的最后十年中，他參與了創(chuàng)建與積分有密切關(guān)系的“容量”理論，引進了內(nèi)容量、外容量及容量等概念，并給出了它們在重積分理論中的應(yīng)用。這些內(nèi)容都被加進了1893年出版的《分析教程》第二版中。
劉維爾1836年創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學雜志》那時通常被稱作“劉維爾的雜志”，它是十九世紀的國際領(lǐng)先數(shù)學期刊，為數(shù)學傳播與發(fā)展功不可沒，比如伽羅瓦的偉大手稿就是首發(fā)于此的。1882年劉維爾去世后，若爾當于1885年起擔任該雜志的編輯（那時大概沒有“主編”一說，不像當今期刊的編輯委員會有一大堆成員），歷時35年，這也充分說明了若爾當在法國數(shù)學界的地位。一般認為，在十九世紀下半葉的法國，若爾當?shù)臄?shù)學歷史地位介于龐加萊和埃爾米特之間。
若爾當雖然已經(jīng)離世一百年，但他的數(shù)學不僅沒有離世，而且繼續(xù)茁壯成長，惠及全世界的數(shù)學家、科學家及工程師。每當我們用到若爾當?shù)木仃嚇藴市?，?yīng)當想起他在32歲時就為我們打造出這把極好使的數(shù)學工具。在2022年快要結(jié)束的時刻，謹以此文紀念這位杰出的法國數(shù)學家，展示對他的崇敬之心。

寫于2022年12月11日星期日美國哈蒂斯堡夏日山莊

出品：科普中國