錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1bs4y1d7zY/

這篇文章主要是翻譯了一篇英文博客的，自己略加修改。

原文鏈接： https://www.gaussianwaves.com/2012/07/intuitive-derivation-of-performance-of-an-optimum-bpsk-receiver-in-awgn-channel/



信道是 AWGN 信道，沒有衰落，則可以表示為：?? r = x + w

其中 x 是 BPSK 調(diào)制， w 是高斯白噪聲，符合均值為 0 ，方差為? $$\frac{N_0}{2}$$ 的 高斯分布。

因?yàn)?x 是 BPSK? 調(diào)制，我們假定其信號能量為 Es (因?yàn)槭?BPSK，所以 Eb = Es).

當(dāng)傳輸?shù)谋忍?是 0 時(shí)，則 ， 因?yàn)?w 是均值為 0 ，方差為?? 的 高斯分布，所以， r? 是均值為? ，方差為?? 的 高斯分布.

當(dāng)傳輸?shù)谋忍?是 1 時(shí)，則 ， 因?yàn)?w 是均值為 0 ，方差為?? 的 高斯分布，所以， r? 是均值為? ，方差為?? 的 高斯分布.

表示成數(shù)學(xué)公式為：

那么做最優(yōu)判決的時(shí)候，如下圖所示：

那么發(fā)生比特錯(cuò)誤的情況為：

* 發(fā)送的是 0，但是被判決為 1
* 發(fā)送的是 1，但是被判決為 0

用數(shù)學(xué)公式表示為：

即：

其中 D 表示 Decided，即被判決出來的; T 表示 transmit，即發(fā)送的。

用貝葉斯定理，公式 (3) 可以表示為：

從下圖的示意，我們可以知道? 和? 的數(shù)學(xué)表達(dá)式，實(shí)際上表示的就是下圖中紅色的區(qū)域的概率。

則：

以及：

把公式 (1A) 代入 (5A)，把公式 (1B) 代入 (5B) 有：

以及

因?yàn)檫@兩個(gè)分布具有對稱性，所以，公式 (4) 可以推導(dǎo)為（把公式 6 A? 和 B 代入公式 (4) ，并利用對稱性 ， 且發(fā)送的符號是等概率分布的）：

我們繼續(xù)來分析公式 (7) 中的積分公式，做積分變量的變量代換，令：

?則積分上下限就變成：

則公式(7) 的積分就變成：

這里就剛好是推導(dǎo)出來了 Q 函數(shù)的模樣， 均值為 0 ，方差為 1 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從 x 開始一直到無窮，計(jì)算其概率的大小，這是一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)，即 Q(x)，定義如下：

把公式 (8) 和 (9) 逐級帶回到 (7) 有：

畫上圖的 Python 代碼