(火柴人vs數(shù)學)視頻觀后有感

2023-07-19 13:22 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

溫馨提示：這是一篇水專欄

前言：前幾天看了@火柴人AlanBecker制作的一期視頻火柴人 VS 數(shù)學(Math)

這個視頻兼具高級的科技風以及趣味性，同時最令筆者震驚的是Alan的神奇而又強大的想象力。把一堆抽象的運算符號想象成武器零件進行拼裝，做出一個形象的視頻著實得花費不少的精力(不論是想象的腦力還是策劃時的體力)筆者詞窮只能想出用"優(yōu)秀"這種稍微書面些的詞來評價了。

鑒于其他up主也陸續(xù)出了有關(guān)的解讀視頻，筆者在這里也就偷懶不寫了(其實是菜，因為還有很多也是一知半解的不方便寫以免產(chǎn)生誤導)。因此這篇專欄就主要當補充些個人想法(邊角料)

第一個震驚我的就是在再臨發(fā)現(xiàn)除法運算這個片段中的這個情節(jié)。原來除法可以這樣理解：

比如計算 $6%7B%5Cdiv%7D%202$

就讓被除數(shù)一直減2直到減到0為止，看一個減了多少次

$6-2-2-2%3D0$ ，減了一共3次，因此得數(shù)就是3

我剛接觸除法時是用分蛋糕來理解的，就是把6塊蛋糕分成2塊一組，一共能分多少組。上面這個抽象的減法運算就可以形象為分蛋糕，先拿掉兩塊構(gòu)成一組，再拿掉兩塊構(gòu)成一組，...，一共構(gòu)成了3組。

用這個邏輯就可以解釋為什么 $6%7B%5Cdiv%7D%200$ 無意義了。

也就相當于6塊蛋糕分為0塊一組，求要分多少塊？于是我們就拿6一直減0直到減到0為止。我們發(fā)現(xiàn) $6-0-0-0-0-0-...$ 減無數(shù)次都不能減到0，因此就解釋了"除數(shù)為0"無意義的原因。(這應(yīng)該接近視頻本身的意思...吧)

以前我對 $1%7B%5Cdiv%7D%200$ 是這樣理解的，先改為 $1%7B%5Cdiv%7D%20n$ (n為正數(shù)，畢竟小學也沒寫負數(shù))，然后讓n不斷減小到趨近0.。這個1就相當于一塊蛋糕，n是每塊蛋糕的占比(面積比)，那么n趨近0時就相當于分的蛋糕越小塊，那么分的次數(shù)就越多。因此當n趨近0時分的次數(shù)就趨近于無窮?！胺譄o窮次才能完成”自然就沒有意義了。

到頭來很多支撐我對定義理解的都是這些簡單的形象小玩意兒~不過我也意識到這些形象的例子只能解釋部分抽象運算。比如 $6%7B%5Cdiv%7D%202$ 可以用上述直觀解釋。

但我非要給自己抬杠怎么辦？ $6%7B%5Cdiv%7D%20%5Csqrt%7B2%7D%20$ 又怎么解釋？難道把6塊蛋糕分成每份 $%5Csqrt%7B2%7D%20$ 塊？這明顯有些別扭了...因此這時我就會考慮換用其他形象的例子來解釋，比如....emm，還沒想到hhh我是憨憨...

再比如 $6%7B%5Cdiv%7D%20(-2)%2C6%7B%5Cdiv%7D%20%5Cpi$ 這些就更加不能用上述形象例子解釋了。

我們小學時學習 $1%2B1%3D2$ 這種運算，無可避免要借助“一個蘋果+一個蘋果=2個蘋果”，“一支鉛筆+一支鉛筆=2支鉛筆”這樣的形象例子來作為接受概念的“暫時的支撐”。這種形象例子明顯是支撐不了多久了，但不代表否定其價值了，總不能為了嚴謹性讓小學就學復數(shù)吧....

那這又怎么解決？目前比較膚淺的1就是尋找其他形象的例子來解釋。萬一找不到那也只能先死記了...我們的認知都不斷在"炸裂"中開拓的你承認么？就比如因很難理解"把一個西瓜均分成3份"而難以接受 $%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D$ 這個分數(shù)；因"面積為2的正方形"測不出具體邊長而難以接受 $%5Csqrt%7B2%7D$ 這個分數(shù)；因找不到具體表示形式而難以接受 $x%5E2%3D-1$ 這個方程有根...數(shù)域的每次拓展對我們而言都是認知上強烈的沖擊

我覺得我當下的認知也還僅僅停留在教科書教學式的記背定義，考刷來提升所謂的“熟練度”這么膚淺的學習上。真講到頭其實對于諸如除法化乘法的"除以一個數(shù)等于乘以它的倒數(shù)"負指數(shù)冪的“底倒指反”乃至99乘法表都是先姑且當成記憶的“規(guī)則”來使用，至于其邏輯我也沒能完全搞明白，講再多也是片面的。

當然，這也給我留下一個值得思考的問題，或許會伴隨我以后的求學生涯(

太渺小了...估計得先買本實分析的書看看才行(

上面的話最好過目即忘，我只是分享個人觀點僅此而已，這篇文章并不是企圖要教會讀者些什么的。我自己也承認我對概念體系的理解也很淺，所以我是很有自知之明滴[滑稽]~

好了，概念這種東西我不想講太多，面向大多讀者當作約定俗成的還好些...

對于視頻中再臨和小歐第一次搏斗的時候，可以考慮加入以下元素：

眾所周知歐拉公式 $e%5E%7Bi%20%5Cpi%20%7D%20%3D-1$ 言簡意賅，被稱為“數(shù)學界的天橋”。它將自然數(shù) $1$ ,超越數(shù) $e%2C%5Cpi%20$ 以及虛數(shù) $i$ 構(gòu)建了聯(lián)系

歐拉公式的一般形式是 $e%5E%7Bi%20%5Ctheta%20%20%7D%20%3D%5Ccos%20%5Ctheta%20%2Bi%5Csin%20%5Ctheta%20$ ，因此它也構(gòu)建了復指數(shù)和三角的轉(zhuǎn)化關(guān)系。對于虛數(shù)而言可表示為： $%5Crho%20e%5E%7Bi%20%5Ctheta%20%20%7D%20%3D%5Crho%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%2Bi%5Crho%20%5Csin%20%5Ctheta%20$ ，左邊類似于"極坐標"，用模長 $%5Crho%20$ 和輻角 $%5Ctheta%20$ 來表示；右邊類似于“直角坐標”，用實部和虛部表示

在復數(shù)的加減運算上，用“直角坐標”理解可類比向量的線性加減運算。比如 $(1%2Bi)%2B(2%2Bi)%3D3%2B2i$ 可類比為 $(1%2C1)%2B(2%2C1)%3D(3%2C2)$

因此復數(shù)加減可形象為在復平面的平移。視頻后面也體現(xiàn)了這點。

在復數(shù)的乘除運算上，用“極坐標”理解可類比向量的伸縮和旋轉(zhuǎn)。比如

$2e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%7D%5Ccdot%203e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%7D%3D6e%5E%7B%5Cfrac%7B3%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%7D$ 可類比為：

$%5Cunderbrace%7B%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A2%20%260%20%5C%5C%0A0%20%20%262%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%7D_%7B%5Ctext%7B%E4%BC%B8%E7%BC%A9%E5%8F%98%E6%8D%A2%7D%7D%0A%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%5Ccos%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%26-%5Csin%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%5Csin%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%20%26%5Ccos%20%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D%7D_%7B%5Ctext%7B%E6%97%8B%E8%BD%AC%E5%8F%98%E6%8D%A2%7D%7D%0A%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%202%5Ccos%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%20%5C%5C%0A%202%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B4%7D%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D$

因此復數(shù)加減可形象為在復平面的伸縮和旋轉(zhuǎn)。

。。。后面發(fā)現(xiàn)這點在視頻中也有體現(xiàn)了，挺尷尬的，就當前面說了一堆廢話吧(

很多細節(jié)還是處理得很好

然后是這個情節(jié)

這個背景就能聯(lián)想到很多了，比如簡諧運動。平面上的圓周運動投影到x,y方向就是簡諧運動(具體證明應(yīng)該得用微分方程)。如果x,y方向的頻率、振幅、初相位都任意，那么疊加后的圖就是利薩茹曲線

再比如用傅里葉變換繪圖

ps:圖片源于3b1b視頻：【謎之舒適】12分鐘的傅立葉級數(shù)動畫

可視為多個圓周運動疊加形式，也與三角函數(shù)有聯(lián)系

然后是小歐的第一次變身

這個變身蘊含著很多奧妙，先來講講這個轉(zhuǎn)化怎么來的。

由歐拉公式：

$e%5E%7Bi%5Ctheta%20%7D%3D%5Ccos%20%5Ctheta%20%2Bi%5Csin%20%5Ctheta%20%20$ ①

將 $%5Ctheta%20$ 替換為 $-%5Ctheta%20$ 得：

$e%5E%7B-i%5Ctheta%20%7D%3D%5Ccos%20(-%5Ctheta)%20%2Bi%5Csin%20(-%5Ctheta)$

即 $e%5E%7B-i%5Ctheta%20%7D%3D%5Ccos%20%5Ctheta%20-i%5Csin%20%5Ctheta$ ②

聯(lián)立①②，將 $%5Ccos%20%5Ctheta%2C%5Csin%20%5Ctheta%20%20$ 視為未知數(shù)解得：

$%7B%5CLarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%5Ctheta%20%7D%2Be%5E%7B-i%5Ctheta%20%7D%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%5Csin%20%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%5Ctheta%20%7D-e%5E%7B-i%5Ctheta%20%7D%7D%7B2i%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%7D%20$

這便得到三角函數(shù)和復指數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

另外，注意到右邊的形式和雙曲函數(shù)相同

ps:雙曲余弦 $y%3D%5Cfrac%7Be%5Ex%2Be%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D$ ；雙曲正弦 $y%3D%5Cfrac%7Be%5Ex-e%5E%7B-x%7D%7D%7B2%7D$

于是上述轉(zhuǎn)化關(guān)系也可以寫成：

$%7B%5CLarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%3D%5Ccosh%20(i%5Ctheta%20)%20%5C%5C%0A%5Csin%20%5Ctheta%20%3D-i%5Csinh%20(i%5Ctheta)%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%7D%20$

因此圓函數(shù)( $%5Csin%20%2C%5Ccos%20$ 等)便與雙曲函數(shù)( $%5Csinh%20%2C%5Ccosh%20$ 等)構(gòu)建了聯(lián)系，他們可謂是一對孿生兄弟呀！轉(zhuǎn)化的橋梁也依舊是歐拉公式！

對比他們的諸多公式：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Ccos%5E2%5Ctheta%20%2B%5Csin%5E2%5Ctheta%20%3D1~%26%2C~%5Ccosh%5E2%5Ctheta%20-%5Csinh%5E2%5Ctheta%20%3D1%5C%5C%0A%5Csin%202%5Ctheta%20%3D2%5Csin%20%5Ctheta%20%5Ccos%5Ctheta%20~%26%2C~%5Csinh%202%5Ctheta%20%3D2%5Csinh%20%5Ctheta%20%5Ccosh%5Ctheta%5C%5C%0A%5Ctan%20%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7B2%5Ctan%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%7D%7B1-%5Ctan%5E2%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%7D~%26%2C~%5Ctanh%20%5Ctheta%20%3D%5Cfrac%7B2%5Ctanh%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%7D%7B1%5Ctanh%5E2%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Balign%7D$

還有很多就不一一列舉了。他們之間形式是相同的，只是有些部分有正負號差別。三角恒等變換的任意一個公式，都可以通過上述轉(zhuǎn)換化為雙曲恒等變換，因此三角運算和指數(shù)運算就可以相互轉(zhuǎn)化了，這是一次多么偉大的突破！

然后到了小歐的第二次變身，我目前對有些像泰勒展開，復對數(shù)這些還尚未完全能理解所以就先撇開，只覺得這波形態(tài)帥炸了！沒想到公式可以組合成一個數(shù)學“變形金剛”！

對于小歐用求和符號接住了再臨的"電磁炮"化為積分符號，筆者學識淺薄只能先想到定積分的定義了(內(nèi)核應(yīng)該是相關(guān)的)

$%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20f(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20%7B%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%7D%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%7B%5Ccolor%7BDodgerBlue%7D%20%7Bf(a%2B%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D%20i)%7D%7D%20$

其中紅色部分為矩形的每一段寬，藍色部分為矩形的每一段長

然后左邊的這些積分還是了解了一定的背景

第一個比較簡單，表里有的(

$%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%5Ctan%5E%7B-1%7D%20t%7C%20_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20$

不過話說這玩意好像跟貝塔函數(shù)有點關(guān)系[思考]~

然后左邊有個 $e%5E%7B2i%7D$ ，一開始沒看明白展開成 $%5Ccos%202%2Bi%5Csin%20%202$ 了...后面才揣摩出原意是 $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20$ 乘到指數(shù)上，即 $e%5E%7B2i%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%7D%3De%5E%7Bi%5Cpi%20%7D$ ，也就又是小歐的身影

第二個積分也是很著名的，其中一種解法就是費曼積分法(含參積分)

后面幾個應(yīng)該也可以用含參積分做

然后這幾個形式我又聯(lián)想到另外一個有趣的問題。

也就是著名的Borwein積分

先是觀察以下的積分：

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%26%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%26%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%20%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%5C%5C%0A%26%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%20%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20x%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%20%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B5%7D%20%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%0A%5Cend%7Balign%7D$

于是我們大膽推測 $%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%20%20%7D%20%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bx%7D%7B2k-1%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B2k-1%7D%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%2Ck%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%5E%7B%2B%7D%7D$ 恒成立

但很可惜，事實上這個式子只在正整數(shù) $k%5Cleqslant%207$ 時成立

當k取8時，算出來只是比 $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D$ 小一丁點的數(shù)，這個一丁點的具體值為：

$%5Cfrac%7B6%2C879%2C714%2C958%2C723%2C010%2C531%7D%7B935%2C615%2C849%2C440%2C640%2C907%2C310%2C421%2C750%2C000%7D%5Cpi%20%20$

"數(shù)學是真的好玩！xdm，開卷開卷，全部給我去學數(shù)學?。。。?/p>

ps:相關(guān)講解參考3b1b的視頻：研究人員覺得這里有個bug...

另外，對于公式的組裝，還可以考慮引入如下常見的公式

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%5E2%7D%7B6%7D$

關(guān)鍵詞：巴塞爾問題

$%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7B2n-1%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D$

關(guān)鍵詞：萊布尼茲等式

$%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20(1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20)%5En%3De$

即e的極限定義式

$%5Clim_%7Bn%20%5Cto%20%5Cinfty%7D%20(1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20)%5En%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%20$

這個不知有無背景，是在我做一道題時計算發(fā)現(xiàn)的，也就是獨立重復地進行 $n$ 次抽獎，每次中獎率為 $%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20$ ，求n次內(nèi)不中獎的概率？求出來就是上面這個表達式。然后讓n趨向正無窮發(fā)現(xiàn)算出的極限是 $%5Cfrac%7B1%7D%7Be%7D%20%5Capprox%2036.8%5Ctext%7B%25%7D$ ，e這個超越數(shù)又出其不意地蹦出來了...