通過前兩篇專欄的介紹，我們已經(jīng)基本了解了有關(guān)常微分方程的基本概念與一階微分方程的初等解法。這些基本內(nèi)容將成為我們?nèi)蘸蠼鉀Q常微分方程問題的基本依據(jù)。

但是，我們的討論卻只是集中于一階微分方程來討論的。對(duì)于高階方程，我們并沒有什么好的討論方法。因?yàn)橐话愣裕唠A微分方程的情況更為復(fù)雜，很多直接積分的想法都很難實(shí)現(xiàn)。所以我們就需要另辟蹊徑，去尋求其他的方法。并且，我們也只能針對(duì)一些具有特殊性質(zhì)的高階微分方程來討論。

比如，線性微分方程。

——這里是寫完了幾節(jié)高等代數(shù)之后跑過來更新常微分方程的魚，我只想說，還是分析簡單（くるしいね…）。

Chapter? Three? 常系數(shù)線性方程

3.1? 常系數(shù)其次線性方程（單根情形）

我們已經(jīng)提到過，所謂線性常微分方程，就是具有如下形式：

（在專欄（一）當(dāng)中的線性微分方程的表達(dá)式寫錯(cuò)了……以這里的為準(zhǔn)~）

的常微分方程。如果有：

為常數(shù)，則稱此時(shí)的線性微分方程為常系數(shù)線性微分方程。我們已經(jīng)介紹過一階常系數(shù)線性微分方程的初等積分法解法，即公式法與常數(shù)變易法。那么，對(duì)于高階常系數(shù)線性微分方程，我們又有怎樣的解法呢？

為了便于討論，我們引入一種概念——算子（或者叫算符）。所謂算子，實(shí)際上就是對(duì)函數(shù)的一種作用方式，可以理解為是原像集為函數(shù)集合的映射關(guān)系（對(duì)應(yīng)法則）。最為基本的，用一個(gè)常數(shù)去乘一個(gè)函數(shù)，得到了一個(gè)新的函數(shù)，我們就可以乘這個(gè)常數(shù)提供了一個(gè)數(shù)乘算子，其作用結(jié)果就是使得函數(shù)乘了一個(gè)給定常數(shù)。

在微分方程當(dāng)中，應(yīng)用得最多的，就是微分算子。即：

（x是自變量，字母可以隨便取。）

按照定義，應(yīng)該有：

于是，線性微分方程就可以寫作：

于是，對(duì)高階線性微分方程的研究，就可以轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)線性微分算子的多項(xiàng)式的研究。即研究：

我們先從簡單的情況研究起，考慮齊次常系數(shù)線性微分方程：

的解的情況。

考慮到一階線性微分方程的解的形式，我們猜測(cè)對(duì)于高階的線性微分方程也有類似的結(jié)構(gòu)，即：

當(dāng)方程為齊次方程時(shí)，就有。

我們先來研究，齊次線性微分算子作用在指數(shù)函數(shù)上有什么樣的效果。對(duì)于指數(shù)函數(shù)：

而言，直接作用，我們就得到：

也就是說，對(duì)于指數(shù)函數(shù)而言，線性微分算子作用在其上的結(jié)果，相當(dāng)于用微分算子所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式代入后得到的數(shù)值結(jié)果直接與函數(shù)本身相乘。

于是，我們利用這一結(jié)果，作用到我們猜測(cè)的解上，就得到：

如果這真是該微分方程的解，那么顯然應(yīng)該有：

我們立馬可以想到，最好的解決辦法就是令：

也就是去尋找方程：

的根。

我們稱與齊次微分方程相對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為該微分方程的特征多項(xiàng)式，上述多項(xiàng)式方程的解稱為該微分方程的特征根（或者稱為特征值）。此時(shí)，我們知道，函數(shù)：

確為該微分方程的解。同時(shí)，每個(gè)函數(shù)：

都是該微分方程的解。

注意到我們并沒有限制系數(shù)的數(shù)域，所以它們最大可以屬于復(fù)數(shù)域，因此特征根也可以屬于復(fù)數(shù)域。

那我們接下來的想法就是去研究，這樣形式的解是否涵蓋了齊次線性方程組的解的全部形式。換句話說，就是對(duì)于任何齊次線性方程組而言，是否我們得到的解都可以寫作上述形式。

我們先討論簡單的情形，即所有特征根都是單根的方程。即要說明，如果一個(gè)微分方程的特征根都是單根，那么它的解一定具有上述形式。

在此意義下，我們可以理解為，上述表達(dá)形式是該類齊次線性微分方程的通解。既然是通解，那就表示任何特解都是被包含在內(nèi)的（如果將特解實(shí)際上看做是方程的解的集合的一種表達(dá)形式的話）；同時(shí)，另一方面，通解本身應(yīng)該是由所有的特解所構(gòu)成的。因此，我們只要考慮對(duì)于任意給定條件的特解，是否能夠被表達(dá)成這一形式即可。

我們知道，方程的解唯一地決定于該方程的初值條件。也就是說，在一定的初值條件下，我們求出來的其實(shí)是方程的某一個(gè)特解。那么，不同的初值條件對(duì)應(yīng)的就是不同的特解。而對(duì)于任何一個(gè)特解而言，我們都能夠給出足夠個(gè)數(shù)的值對(duì)（自變量—函數(shù)值數(shù)對(duì)），作為從方程中定向解出該特解的初值條件。在這個(gè)意義上，我們說方程的解被初值條件完全確定，任何一個(gè)解都是由從初值條件到解集的一個(gè)通過微分方程所達(dá)成的映射關(guān)系的像。

此時(shí)，我們就只要研究某種類型的初值條件即可，因?yàn)槿魏翁亟舛寄苋〕鲞@樣類型的值對(duì)出來。

我們現(xiàn)在設(shè)方程的某個(gè)特解為，那么，最為簡單的初值條件，即為：

我們?nèi)绻胍屧撎亟廪D(zhuǎn)變?yōu)槲覀兿胍男问?，就是要讓其滿足：

最后的等式是個(gè)線性方程組，其系數(shù)矩陣為：

這是個(gè)Vandermonde矩陣，我們知道它的行列式結(jié)果為何。（在高等代數(shù)部分的專欄（四）的思考部分，。）

所謂單根，即是說：

這就是說，此時(shí)Vandermonde行列式不為零。根據(jù)我們?cè)诟叩却鷶?shù)部分對(duì)線性方程組的研究，我們知道，此時(shí)方程組有且僅有唯一解。于是，我們可以解出一組作為組合系數(shù)，使得特解變?yōu)槲覀兯岢龅男问?。又由于解函?shù)任取，所以任何特解都可以被表示成為已有形式。這說明此時(shí)該形式確實(shí)為此微分方程的通解。

我們都知道，代數(shù)基本定理告訴我們，任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都能夠在復(fù)數(shù)域內(nèi)被分解為n個(gè)單項(xiàng)式的乘積，即n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定有n個(gè)解。但是，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，我們最多只能做到將其分解為一次多項(xiàng)式與不可分解的二次多項(xiàng)式的共同乘積。這就表明，按照這種方法所得出的微分方程的解，不可避免地要面對(duì)復(fù)值解的存在。但是，如果就實(shí)際情況而言，我們不希望出現(xiàn)復(fù)值解，那么我們希望尋求一種方法，將復(fù)值解轉(zhuǎn)化為我們所需要的實(shí)值解。（此時(shí)，雖然可解決的問題的范圍會(huì)變窄，但是利用實(shí)值解研究問題應(yīng)該要比利用復(fù)值解研究問題要便利許多。）

記由復(fù)數(shù)作為分量的n維向量為：

其共軛向量為：

我們很容易能夠證明：

記線性方程組的解向量為：

又令：

則微分方程的特解可以表示成為：

根據(jù)代數(shù)基本定理，我們知道，將n次代數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上分解以后，代數(shù)方程實(shí)際上就被分解為多個(gè)實(shí)一次代數(shù)方程以及不可分解的實(shí)二次方程。對(duì)于一次方程而言，根一定是實(shí)的；而對(duì)于不可分解的二次方程而言，我們將其在復(fù)數(shù)域上分解，得到：

設(shè)二次方程為：

兩個(gè)復(fù)根分別為，則有：

于是我們得到：

所以在向量中，所有屬于該微分方程的復(fù)值解一定是成對(duì)出現(xiàn)的。每對(duì)復(fù)值解彼此共軛。于是，向量也是該微分方程的解向量（由各個(gè)解分支作為分量所構(gòu)成的向量）。又由于向量是一個(gè)實(shí)向量，同時(shí)各分量都是微分方程的解，于是這就給我們提供了一個(gè)思路，即通過對(duì)這兩個(gè)向量做以線性組合，使得它們組合成實(shí)解向量。

不難猜測(cè)，我們分別對(duì)解向量與系數(shù)向量做這樣的組合處理，得到的：

可能是一個(gè)合理的解。

我們只要分別證明這四個(gè)部分都是原微分方程的解，那么命題也就得證了。

不難看出，這四個(gè)部分存在兩兩一對(duì)的共軛關(guān)系，所以我們只要證明：

（1）如果一個(gè)表達(dá)形式是微分方程的解，那么它的共軛也是該微分方程的解；

（2）這兩對(duì)中各自有一個(gè)是該微分方程的解。

現(xiàn)在，我們已經(jīng)知道第一部分是微分方程的解，所以我們只要證明第二部分是微分方程的解，以及解的共軛也是解即可。

由于：

以及：

（因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=p(%5Clambda_k)%3Dp(%5Coverline%20%7B%5Clambda%20_k%7D)%3D0" alt="p(%5Clambda_k)%3Dp(%5Coverline%20%7B%5Clambda%20_k%7D)%3D0">）

于是這四個(gè)部分都是該微分方程的解。我們能夠證明，對(duì)于常系數(shù)線性微分方程而言，任意兩個(gè)解之間的加減仍舊是這個(gè)微分方程的解。（命題1）所以，我們猜測(cè)的結(jié)果是正確的。

這樣，我們就通過線性組合的方式，將原本的復(fù)值解組合了起來，得到了實(shí)值解。又因?yàn)閷?duì)于任意復(fù)值解，這樣的構(gòu)造法都是成立的，于是我們可以將任意的復(fù)值解組合成實(shí)值解。

同時(shí)，注意到第（1）點(diǎn)，于是：

也是方程的實(shí)值解。

這樣的組合思想在量子力學(xué)的某些處理當(dāng)中有所體現(xiàn)。比如氫原子體系的波函數(shù)的表示法，就有實(shí)波函數(shù)和復(fù)波函數(shù)兩種。實(shí)波函數(shù)就是兩個(gè)復(fù)波函數(shù)的組合結(jié)果。它能表明的信息雖然比原本的復(fù)波函數(shù)少，但是形式簡單，使用便捷，利于直接應(yīng)用，也有一些記憶點(diǎn)，所以應(yīng)用得反而更為廣泛。

我們上述的討論，全部總結(jié)出來，可以得到以下幾點(diǎn)：

（1）常系數(shù)線性微分方程的通解的形式與求法是已知的；

（2）微分方程的任意復(fù)數(shù)特征根都是成對(duì)出現(xiàn)的；

（3）復(fù)值解的實(shí)部和虛部都是微分方程的解；（命題2）

（4）復(fù)值解可以通過一定的流程實(shí)化；

（5）實(shí)化后的復(fù)值解的信息變少了，但是應(yīng)用范圍可能變廣。

研究過復(fù)值解的實(shí)化問題之后，我們最后提出一個(gè)問題——什么時(shí)候解出來的解一定是實(shí)的？

這個(gè)問題留給大家作為思考~

思考：

1. 證明命題1；

2. 證明命題2；

3. 解微分方程：

   （1）

   （2）

   （3）

4. 試探究方程的解為實(shí)值解時(shí)的充分必要條件。

最後の最後に、ありがとうございました！