第一次在高中數(shù)學(xué)課上看到"集合"這個(gè)詞,我卻迅速想起上學(xué)時(shí)的體育課上,老師在整理隊(duì)伍時(shí)會(huì)喊:"同學(xué)們,集合啦!"這里的"集合"自然是一個(gè)動(dòng)詞,那現(xiàn)在數(shù)學(xué)課本上的"集合"還有沒(méi)有原來(lái)的意義呢?

???我們來(lái)看課本上給出的"集合"的定義:一般地,某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡(jiǎn)稱集.看來(lái)數(shù)學(xué)中的"集合"這個(gè)概念并沒(méi)有完全失去當(dāng)初作動(dòng)詞時(shí)的意義,而是在此基礎(chǔ)上作了進(jìn)一步的引申,拓寬,充實(shí),使之內(nèi)涵更豐富多彩,涉及面更廣泛,這一點(diǎn)在定義中也很明顯,如"某些指定的對(duì)象",究竟是哪些對(duì)象?這是學(xué)習(xí)此概念首先會(huì)想到的問(wèn)題.其實(shí),早在初中數(shù)學(xué)中,我們就已經(jīng)接觸過(guò)"集合"一詞,在初中代數(shù)中學(xué)習(xí)數(shù)的分類時(shí),就用到"正數(shù)的集合""負(fù)數(shù)的集合"等,此外,對(duì)于一元一次不等式2x-1>3,所有大于2的實(shí)數(shù)都是它的解,我們也可以說(shuō),這些數(shù)組成了這個(gè)不等式的解的集合,簡(jiǎn)稱為這個(gè)不等式的解集.學(xué)習(xí)圓時(shí),說(shuō)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.而所有的幾何圖形都可以看成點(diǎn)的集合.由此可見,如果把集合比做一個(gè)人,那他肯定是一個(gè)如魚得水左右逢源的人,人緣極佳,因?yàn)槲覀兊教幎伎梢郧埔娝纳碛?

????的確,集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,自德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor,G.F.P,1845年~1918年)創(chuàng)立集合論以來(lái),集合論的基本思想已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.從我們課本上的相關(guān)內(nèi)容也能體會(huì)到這一點(diǎn).從"我?；@球隊(duì)的隊(duì)員"到"太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋""世界上最高的山峰""組成中國(guó)國(guó)旗圖案的顏色",再到自然數(shù)的全體,實(shí)數(shù)的全體,滿足某些條件的點(diǎn),等等,這些具體的或抽象的對(duì)象遍布天南海北,天涯海角,從宏觀到微觀,大到宇宙天體,小到光電微粒,從看得見的到看不見的,從想得到的到想不到的,由遠(yuǎn)及近,由此及彼,由表及里,縱橫幾萬(wàn)里,上下幾千年.你會(huì)發(fā)現(xiàn)"集合"似乎像科幻影視劇中無(wú)所不能的超人,可以穿越宇宙,讓時(shí)光倒流,凡是你能想到的東西,無(wú)一不與集合有關(guān)聯(lián).可見"集合"的兼容性特別強(qiáng),無(wú)論古今中外,上下左右,都似乎可以與集合有聯(lián)系.

???集合作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念,必然要用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述,因?yàn)閿?shù)學(xué)本身就具有抽象概括簡(jiǎn)潔的特點(diǎn),所以我們常用答謝的拉丁字母來(lái)代表集合,這就好象我們每個(gè)人都有區(qū)別與他人的姓名一樣,相應(yīng)地,用小寫的拉丁字母來(lái)表示集合中的元素,并且我們要把這些元素寫在大括號(hào)里來(lái)表示其組成的集合,如A={a,b,c},為了今后學(xué)習(xí)的方便,我們還給一些常用的數(shù)集規(guī)定了名字:自然數(shù)集記為N,正整數(shù)集記為N*,整數(shù)集記為Z,有理數(shù)集記為Q,實(shí)數(shù)集記為R,而且這些大寫字母通常不宜挪作他用,一定要用,就要具體說(shuō)明,否則可能會(huì)產(chǎn)生歧義,造成不必要的麻煩.

???至此,我們看到集合如此神通廣大,涵蓋眾多對(duì)象,看來(lái)集合就像是一個(gè)神奇的寶葫蘆,從外面是看不清楚它的真正面目的,既然這樣,對(duì)于一個(gè)具體的集合,我們就關(guān)鍵要看它的"元素"了,而且任何一個(gè)元素必然有它的歸屬,它是不是給定集合的元素是明明白白的,這就是集合元素的第一個(gè)重要特征:確定性,這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)嚴(yán)密,給定一個(gè)元素屬于某個(gè)集合,它昨天是,今天是,明天還是,不會(huì)隨著時(shí)間的推移而有所改變;而且這是一個(gè)客觀存在,不會(huì)因?yàn)槟硞€(gè)人的主觀意志而發(fā)生變化,不論你看到還是沒(méi)有看到,認(rèn)識(shí)到還是沒(méi)有認(rèn)識(shí)到.集合中元素的第二個(gè)重要特征是:互異性,就是集合中任何一個(gè)對(duì)象只能出現(xiàn)一次,不允許重復(fù),再者,凡是想成為某一個(gè)集合中的元素,集合將會(huì)公平對(duì)待,沒(méi)有先后主次之分,這就是集合元素的第三個(gè)特征:無(wú)序性.這三個(gè)特征當(dāng)中,考題都會(huì)有所表現(xiàn),互異性的考查會(huì)多一些,如數(shù)集{a-3,2a-1}中的a所滿足的條件為(??).在志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)的學(xué)生用書中有不少這類題目,請(qǐng)予參考.

??對(duì)于一個(gè)集合,既然最重要的是它的元素,那么根據(jù)它們所包含的元素個(gè)數(shù)的多少,就有了有限集與無(wú)限集之分,而有限集之中,若其元素個(gè)數(shù)較少,能夠一一列舉出來(lái),就可以用所謂的列舉法來(lái)表示,元素之間變化規(guī)律明顯的無(wú)限集也是可以用列舉法來(lái)表示的,如自然數(shù)集N={1,2,3,4,…},正偶數(shù)集可以表示為{2,4,6,…};對(duì)于大多數(shù)用列舉法不容易表示的集合來(lái)說(shuō),我們通常用描述法來(lái)表示,就是在大括號(hào)里選擇出一個(gè)代表元素,畫一條豎線,在寫清楚這個(gè)集合中所有元素的公共屬性,即形如A={x|P(x)},前面提到的不等式2x-1>3的解集就可以寫成{x|2x-1>3}={x|x>2}.當(dāng)然也有一些集合,因?yàn)閷?duì)象很明顯,我們也會(huì)省略代表元素和豎線,如{直角三角形},{平方等于1的數(shù)}.為了形象地表示集合,我們常常也回畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部表示集合,這種形象直觀的方法就是韋恩圖法,今后在某些集合類題目的解答中大家能體會(huì)到這種方法的優(yōu)越之處.如果換一個(gè)角度,按照集合中元素的種類來(lái)看,集合又回分為數(shù)集,點(diǎn)集,圖形集,以及其他類的集合等等,前面的三類集合也是我們?cè)跀?shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到的,我們需要準(zhǔn)確掌握這些集合的規(guī)范的表示方法.

???總之,集合如同一個(gè)容器,關(guān)鍵的不是它的外表多么華麗誘人,多么色彩鮮艷,而是它所包含的元素究竟是什么,看清楚了其元素,也就認(rèn)清了集合的本質(zhì)所在,這就是我們所謂的"元素分析法",是研究與集合有關(guān)的問(wèn)題必須把握的原則,而且在實(shí)踐當(dāng)中要特別注意區(qū)分各個(gè)集合的元素與元素之間的細(xì)微差異,否則,差之毫厘,謬以千里,這就需要我們煉就一雙明察秋毫,洞察一切的慧眼,把這些個(gè)集合看得請(qǐng)清楚楚,明明白白,真真切切.

(2006-09-22 11:18:43)[