所用方法的原因和簡(jiǎn)要背景

流動(dòng)性市場(chǎng)的大量參與者，他們?cè)诮?jīng)營(yíng)時(shí)會(huì)基于不同的投資期限，這便產(chǎn)生了很多市場(chǎng)噪音。 因此，市場(chǎng)的信噪比較低。 嘗試整數(shù)型時(shí)間序列差分能令情況惡化，其會(huì)消除殘余記憶，并將報(bào)價(jià)轉(zhuǎn)換為以平穩(wěn)性為特征的序列。 價(jià)格序列有記憶性，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)值都建立在具有悠久歷史的價(jià)位之上。 時(shí)間序列變換，例如增量對(duì)數(shù)，會(huì)裁剪記憶，因?yàn)樗鼈兪腔谟邢薜拇翱陂L(zhǎng)度來(lái)創(chuàng)建的。 當(dāng)轉(zhuǎn)換平穩(wěn)地消除市場(chǎng)記憶時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)家使用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法來(lái)提取殘余的記憶。 這就是為什么許多相關(guān)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法會(huì)導(dǎo)致虛假的結(jié)果。 長(zhǎng)期依賴(lài)的概念 長(zhǎng)期依賴(lài)（LRD），也稱(chēng)為長(zhǎng)期記憶或長(zhǎng)期持續(xù)，是一種分析金融時(shí)間序列時(shí)可能出現(xiàn)的現(xiàn)象。 它可表示為兩個(gè)價(jià)格之間的統(tǒng)計(jì)依賴(lài)性的衰減率隨時(shí)間間隔（或它們之間的距離）的增加而增加。 當(dāng)依賴(lài)性衰減慢于指數(shù)衰減時(shí)，這種現(xiàn)象則被認(rèn)為具有長(zhǎng)期依賴(lài)性。 長(zhǎng)期依賴(lài)通常也與自相似過(guò)程相關(guān)。 有關(guān) LRD（長(zhǎng)期依賴(lài)）的詳情，請(qǐng)參閱維基百科文章。 平穩(wěn)性和記憶存在的問(wèn)題

價(jià)格圖表的一個(gè)共同特征是非平穩(wěn)性：它們有很長(zhǎng)的價(jià)位歷史，隨時(shí)間的推移平均價(jià)格會(huì)改變。 為了進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，研究人員需要處理價(jià)格增量（或增量的對(duì)數(shù)），盈利能力或波動(dòng)性的變化。 這些變換可從價(jià)格序列中消除記憶，令時(shí)間序列更加平穩(wěn)。 雖然平穩(wěn)性是統(tǒng)計(jì)結(jié)論的必要屬性，但并非總需要消除整個(gè)記憶，因?yàn)橛洃浭穷A(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)屬性。 例如，均衡（平穩(wěn)）模型必須包含一些記憶，以便能夠評(píng)估價(jià)格偏離其預(yù)期價(jià)值的程度。

問(wèn)題在于價(jià)格增量是固定的，但不包含過(guò)去的記憶，而價(jià)格序列包含全部數(shù)量的可用記憶，但它是非穩(wěn)定性的。 問(wèn)題出現(xiàn)了：如何差分時(shí)間序列令其平穩(wěn)，同時(shí)最大程度地保留可能記憶。 因此，赫茲股票量化理應(yīng)概括價(jià)格增量的概念，以便研究平穩(wěn)性系列，其中并非所有記憶都被消除。 在這種情況下，比之其他可用方法，價(jià)格增量不是價(jià)格變換的最優(yōu)解。

為此，將引入分?jǐn)?shù)型差分的概念。 兩個(gè)極端之間存在廣泛的可能性：?jiǎn)我缓土悴罘帧?在一側(cè)來(lái)看，它們是完全不同的價(jià)格。 從另一側(cè)來(lái)看，價(jià)格沒(méi)有任何差別。

分?jǐn)?shù)型差分的應(yīng)用范圍足夠廣泛。 例如，差分序列通常作為機(jī)器學(xué)習(xí)算法的輸入。 問(wèn)題是，必須在機(jī)器學(xué)習(xí)模型可識(shí)別的前提下，顯示相應(yīng)歷史階段的新數(shù)據(jù)。 在非平穩(wěn)序列的情況下，由于模型可能地錯(cuò)誤操作，新數(shù)據(jù)也許位于已知數(shù)值范圍之外。

分?jǐn)?shù)型差分的歷史

在各種科技文獻(xiàn)中論述的幾乎所有用于分析和預(yù)測(cè)金融時(shí)間序列的方法，都提出了整數(shù)型差分的概念。 在這方面會(huì)出現(xiàn)以下問(wèn)題：

• 為什么整數(shù)型差分（例如，單位滯后）是最優(yōu)的？ ? ?

• 這種過(guò)度差分是不是經(jīng)濟(jì)理論容易產(chǎn)生有效市場(chǎng)假設(shè)的原因之一？

應(yīng)用于時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)的分?jǐn)?shù)型差分概念至少可以追溯到霍金斯（Hosking）。 在他文章中，ARIMA 過(guò)程家族是廣義的，允許差分度擁有分?jǐn)?shù)部分。 這是有道理的，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)型差分過(guò)程體現(xiàn)出長(zhǎng)期持久性或抗持久性，因此比之標(biāo)準(zhǔn)ARIMA 提高了預(yù)測(cè)能力。 該模型被稱(chēng)為 ARFIMA（自回歸分?jǐn)?shù)積分移動(dòng)平均值）或 FARIMA。 之后，其他作者在主要與加速計(jì)算方法相關(guān)的文獻(xiàn)中有時(shí)會(huì)提到分?jǐn)?shù)型差分。 這種模型可用于長(zhǎng)期記憶時(shí)間序列的建模，即，自長(zhǎng)期平均值的偏差比指數(shù)衰減更慢的情況下。

分?jǐn)?shù)型差分的概念

赫茲股票量化來(lái)研究回漂運(yùn)算符（或滯后算子） B ，應(yīng)用于實(shí)數(shù)值矩陣{Xt}，其中 B^kXt = Xt-k，對(duì)于任意整數(shù) k ≥ 0。 例如，(1 ? B)^2 = 1 ? 2B + B^2，其中 B^2Xt = Xt?2，由此，(1 ? B)^2Xt = Xt ? 2Xt?1 + Xt?2。 注意 (x + y)^n = ?

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針對(duì)每個(gè)正整數(shù) n。 對(duì)于實(shí)數(shù)值 d，

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則是一個(gè)二項(xiàng)式序列。 在分?jǐn)?shù)模型中， d 可以是具有以下二項(xiàng)式序列正式擴(kuò)展的實(shí)數(shù)值：

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分?jǐn)?shù)型差分的情況能夠保留市場(chǎng)記憶

赫茲股票量化來(lái)看看有理非負(fù) d 如何能夠保留記憶。 該算術(shù)序列由標(biāo)量乘積組成：

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含有權(quán)重 ??

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合數(shù)值 X

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當(dāng) d 為正整數(shù)時(shí)， ?

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，在這種情況下，記憶被裁剪。 例如，d = 1 用于計(jì)算增量，

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且 ?? = {1,?1, 0, 0,…}。 固定觀察窗的分?jǐn)?shù)型差分 分?jǐn)?shù)型差分通常應(yīng)用于時(shí)間序列的整個(gè)順序。 在這種情況下，計(jì)算的復(fù)雜性更高，而變換序列的偏移則是負(fù)數(shù)。 Marcos Lopez De Prado 在其 金融機(jī)器學(xué)習(xí)的進(jìn)展 一書(shū)中提出了一種固定寬度窗口的方法，其中當(dāng)模塊 (|??k|) 小于指定閾值 (??) 時(shí)，系數(shù)順序會(huì)被丟棄。 與傳統(tǒng)的擴(kuò)展窗口方法相比，該過(guò)程具有以下優(yōu)點(diǎn)：對(duì)于任何原始序列的順序它允許具有相等的權(quán)重，降低計(jì)算復(fù)雜度，并消除回漂。 這種轉(zhuǎn)換可以保存有關(guān)價(jià)位和噪音的記憶。 由于存在記憶、不對(duì)稱(chēng)和過(guò)度峰度，這種變換不是正態(tài)（高斯）分布，然而它可以平穩(wěn)的。 分?jǐn)?shù)型差分過(guò)程的展示 赫茲股票量化創(chuàng)建一個(gè)腳本，令您可以直觀地從時(shí)間序列的分?jǐn)?shù)型差分中評(píng)估獲得的效果。 我們會(huì)創(chuàng)建兩個(gè)函數(shù)：一個(gè)用于獲得權(quán)重 ω，另一個(gè)用于計(jì)算序列的新值： //+------------------------------------------------------------------+ void get_weight_ffd(double d, double thres, int lim, double &w[]) { ? ? ArrayResize(w,1); ? ? ?ArrayInitialize(w,1.0); ? ? ArraySetAsSeries(w,true); ? ? ? ? ?int k = 1; ? ? int ctr = 0; ? ? double w_ = 0; ? ? while (ctr != lim - 1) { ? ? ? ? w_ = -w[ctr] / k * (d - k + 1); ? ? ? ? if (MathAbs(w_) < thres) break; ? ? ? ? ? ArrayResize(w,ArraySize(w)+1); ? ? ? ? ?w[ctr+1] = w_; ? ? ? ? ? ? ? k += 1; ? ? ? ? ctr += 1; ? ? } } //+------------------------------------------------------------------+ void frac_diff_ffd(double &x[], double d, double thres, double &output[]) { ? ?double w[]; ? ?get_weight_ffd(d, thres, ArraySize(x), w); ? ? int width = ArraySize(w) - 1; ? ? ? ?ArrayResize(output, width); ? ?ArrayInitialize(output,0.0); ? ?ArraySetAsSeries(output,true); ? ?ArraySetAsSeries(x,true); ? ?ArraySetAsSeries(w,true); ? ? ? ?int o = 0; ? ?for(int i=width;i<ArraySize(x);i++) { ? ? ? ArrayResize(output,ArraySize(output)+1); ? ? ? ? ? ? ?for(int l=0;l<ArraySize(w);l++) ? ? ? ? ? ? ? ? output[o] += w[l]*x[i-width+l]; ? ? ? ? ? ? o++; } ? ? ArrayResize(output,ArraySize(output)-width); } 赫茲股票量化顯示一個(gè)動(dòng)畫(huà)圖表，該圖表根據(jù)參數(shù) 0<d<1: 而變化 //+------------------------------------------------------------------+ //| Script program start function ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?| //+------------------------------------------------------------------+ void OnStart() ? { ? ?for(double i=0.05; i<1.0; plotFFD(i+=0.05,1e-5)) ? ? ? ?} //+------------------------------------------------------------------+ void plotFFD(double fd, double thresh) { ? ?double prarr[], out[]; ? ?CopyClose(_Symbol, 0, 0, hist, prarr); ? ? ? ?for(int i=0; i < ArraySize(prarr); i++) ? ? ? prarr[i] = log(prarr[i]); ? ? ? ? frac_diff_ffd(prarr, fd, thresh, out); ? ?GraphPlot(out,1); Sleep(500); } 此為結(jié)果:

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圖例 1. 分?jǐn)?shù)型差分 0<d<1 正如預(yù)期的那樣，隨著差分度 d 的增加，圖表變得更加平穩(wěn)，同時(shí)逐漸失去以往價(jià)位的“記憶”。 序列的權(quán)重（按價(jià)格值計(jì)算的標(biāo)量乘積的函數(shù)）在整個(gè)序列期間保持不變，不需要重新計(jì)算。 根據(jù)分?jǐn)?shù)型差分創(chuàng)建指標(biāo) 為了便于在智能交易系統(tǒng)中使用，赫茲股票量化創(chuàng)建一個(gè)指標(biāo)，應(yīng)能夠指定各種參數(shù)：差分度，刪除過(guò)度權(quán)重的閾值大小，和顯示歷史的深度。 我不會(huì)在這里發(fā)布完整的指標(biāo)代碼，您可以在源文件中查看它。 我僅指出權(quán)重計(jì)算函數(shù)是相同的。 以下函數(shù)用于計(jì)算指標(biāo)緩沖區(qū)數(shù)值： frac_diff_ffd(weights, price, ind_buffer, hist_display, prev_calculated !=0); ?

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圖例 2. 冪指數(shù)為 0.3 和 0.9 的分?jǐn)?shù)型差分 現(xiàn)在赫茲股票量化擁有了一個(gè)指標(biāo)，可以非常準(zhǔn)確地指示時(shí)間序列中動(dòng)態(tài)變化的信息量。 當(dāng)差分度增加時(shí)，信息丟失，序列變得更加平穩(wěn)。 不過(guò)，只有價(jià)位數(shù)據(jù)丟失。 也許剩下的是周期性循環(huán)，它將成為預(yù)測(cè)的參考點(diǎn)。 因此，赫茲股票量化正在接近信息論方法，即信息熵，這將有助于評(píng)估數(shù)據(jù)量。 信息熵的概念 信息熵是與信息論相關(guān)的概念，它示意事件中包含的信息量。 通常，事件越具體或確定，它所包含的信息越少。 更具體地說(shuō)，信息與不確定性的增加有關(guān)。 這個(gè)概念是由 Claude Shannon 引入的。 隨機(jī)值的熵可以通過(guò)引入隨機(jī) X 值的分布概念來(lái)判定，該值取有限數(shù)量的值：

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然后，事件（或時(shí)間序列）的具體信息定義如下：

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熵值評(píng)估可以如下書(shū)寫(xiě)：

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信息量和熵的測(cè)量單位取決于對(duì)數(shù)基數(shù)。 例如，這可以是 bits，nat，trits 或 hartleys。 我們不會(huì)詳細(xì)闡述 Shannon 的熵理論。 然而，應(yīng)當(dāng)注意的是，這種方法不適合評(píng)估短期和有噪聲的時(shí)間序列。 因此，Steve Pincus 和 Rudolf Kalman 提出了一種與金融時(shí)間序列相關(guān)的稱(chēng)為 “ ApEn”（近似熵）的方法。 該方法在 “不規(guī)則，波動(dòng)，風(fēng)險(xiǎn)和金融市場(chǎng)時(shí)間序列” 一文中有詳細(xì)論述。