一、Day75-Day77含參量反常積分必備定理歸總：

1、課本Ch19.2含參量反常積分定理【含自己整理的3個常用判別法A-D-M+反常積分（瑕積分、無窮積分）的比較原則及推論3】

2、Dirichlet積分+Poisson積分（及推廣的Poisson積分）

3、華東師大2022-2023含參量反常積分真題研究

二、Day75-Day77三天具體真題

Day75(含參量反常積分1：積分號下積分法）

（一）需要復(fù)習(xí)的

1、復(fù)習(xí)有理函數(shù)不定積分求解過程【數(shù)分上P185-188】

【題2有涉及裂項等過程，注意裂項操作，有時候求解級數(shù)也會使用到,下面舉中山大學(xué)例子，通過這個例子可以學(xué)習(xí)裂項+調(diào)和級數(shù)+Stolz公式】

注：這里還用到Stolz公式，需要復(fù)習(xí)掌握

2、①（sinbx-sinax）/x*e^(-px)在[0,+∞）的反常積分=arctanb/p-arctana/p;【題1】

②（cosbx-cosax）/x*e^(-px)在[0,+∞）的反常積分=1/2*ln[(p^2+a^2)/(p^2+b^2)];【題3】

3、定理19.12可積性【具體見本專欄開頭】

（二）具體題目

1【山東大學(xué)】

①先觀察被積函數(shù)，必須先寫成定積分形式才能往下做;

②于是可以將上述積分改寫成累次積分;

③繼續(xù)分析被積函數(shù)，注意要用到一個關(guān)于指數(shù)函數(shù)的公式；利用一下M判別法，因為大的收斂，所以關(guān)于參數(shù)y一致收斂；

④利用到定理19.12(可積性），因為被積函數(shù)連續(xù)+這個積分一致收斂，可以得到他們能交換積分順序，然后求解即可，要用到一個關(guān)于指數(shù)函數(shù)的公式。

2【河海大學(xué)】

①問：

先觀察被積函數(shù)，然后利用M判別法，由于這個上界的積分是收斂的，所以積分關(guān)于參量y一致收斂；

②問：

（1）①問其實是一個鋪墊，所以arctanαx/x的原函數(shù)是1/(x^2+y^2）,這個形式就是①問的一部分；

（2）再寫成累次積分；

（3）分析被積函數(shù)，然后利用一下放縮，把參量y約掉，然后由于1/(1+x^2)積分收斂，用一下M判別法，所以得到積分關(guān)于參量y一致收斂；

（4）想利用定理19.12可積性的交換積分次序，利用積分一致收斂以及被積函數(shù)連續(xù)，所以可以交換積分。

（5）交換積分次序后然后求解，這個式子需要裂項，裂項的技巧就是常數(shù)對應(yīng)常數(shù)，對應(yīng)好就可以，計算一下，最后算一下積分。

注：可以復(fù)習(xí)一下有理函數(shù)不定積分求解過程

3【北京郵電】

【法一】如果記住原型公式

e^(-px)*(cosbx-cosax)/x在【0，+∞】上的積分結(jié)果是1/2*ln(p^2+a^2)/(p^2+b^2);此時p=1,a=2.b=1；計算結(jié)果是1/2*ln(5/2).

【法二】如果直接推廣的話，按照原型思路走一遍

①先看被積函數(shù)寫成定積分的形式：(cosbx-cosax)/x=sinxy在【a,b】上積分，y為變量；

②于是可以寫成累次積分的形式

③再去分析被積函數(shù)，利用一下M判別法，把參數(shù)y約掉，三角函數(shù)放縮成1，由于e^(-px)在0→+∞上收斂，所以積分關(guān)于參量y一致收斂；

④由于被積函數(shù)連續(xù)

⑤可以利用含參量反常積分的可積性（定理19.12）得到積分可以交換順序，

⑥然后求解積分，千萬注意順序不要弄反了。

只不過把具體a,b,p代入就行。

Day76(含參量反常積分2：積分號下微分法）

（一）需要復(fù)習(xí)的

1、復(fù)習(xí)有理函數(shù)不定積分求解過程【數(shù)分上P185-188】

【題1有涉及裂項等過程，注意裂項操作，有時候求解級數(shù)也會使用到】

2、定理19.11可微性【題1，具體見本專欄開頭】

3、定理19.10連續(xù)性【題2②問有涉及到，具體定理見本專欄開頭】

4、反常積分的比較原則推論【題1，具體見本專欄開頭】

（二）具體題目

1【蘭州大學(xué)】

①先觀察被積函數(shù)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于參量t是奇函數(shù)，可以先考慮t≥0情形，而且I(0）=0;

②對于被積函數(shù)可以放縮成沒有參量t存在的式子，利用M判別法，得出f積分關(guān)于參數(shù)t(一致)收斂；

③利用f和ft(t是參數(shù)，tx對t求導(dǎo)結(jié)果是x）連續(xù);

④求出ft，并運用M判別法，把參數(shù)t放縮掉，得到ft積分關(guān)于參數(shù)t一致收斂，注意這里說明M判別法的時候會涉及到反常積分的比較原則推論；

⑤由于②和③和④滿足定理19.11的可微性條件，于是可以得到I'（t）=ft上積分【x是變量，t是參數(shù)】，注意計算積分過程會涉及兩次三角換元，再考慮一次裂項，最后得出表達式再去算。計算有點大。

⑥對⑤求出的I'(t)求一下積分，然后利用一下①得到的I(0)=0，推出C=π/2.

⑦由于I（t）是關(guān)于參數(shù)t的奇函數(shù)，然后考慮一下t<0情況，利用I（t）=-I(-t).

最后綜上就可以得到I（t）結(jié)果.

2【中南大學(xué)；中科大】

①問：

（1）為了方便，先記g(x,y)，發(fā)現(xiàn)g連續(xù);然后f(x)為g(x,y)在y∈[0,+∞）上的反常積分；

（2）然后利用M判別法，對這個被積函數(shù)放縮，得到g原積分關(guān)于參數(shù)x一致收斂；

（3）于是利用定理19.10連續(xù)性（滿足積分一致收斂與被積函數(shù)連續(xù)），所以積分連續(xù)；

②問：

（1）先算gx(x,y)，g關(guān)于參數(shù)x求偏導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)gx連續(xù)；

（2）運用M-判別法，對gx(x,y)做放縮，得到gx積分一致收斂；

（3）結(jié)合②問中（1）gx連續(xù)性及（2）gx的一致收斂以及①問中（1）g的連續(xù)性及（2）的（一致）收斂，一共4個滿足定理19.11的可微性條件得到f可導(dǎo)，而且f'(x)=gx在y∈[0,+∞）上的反常積分

（4）利用②問（1）和（2）得到的gx連續(xù)以及gx的反常積分一致收斂，利用定理19.10的連續(xù)性得到f'(x)連續(xù)；

（5）利用（3）得出可導(dǎo)，利用（4）得到導(dǎo)數(shù)連續(xù)，這兩點共同推出f(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；

③問：

繼續(xù)求f(x)，利用②問（3）求出的f'(x)，算反常積分，注意這里x是參數(shù)，提到前面不影響！很重要；得到2f'(x)+xf(x)=0,

整理一下得到f'(x)/f(x)=-x/2；然后兩邊取積分，注意常數(shù)取lnC,得到f(x)=C*e^(-1/4*x*2)，再把x=0代入f(x),推出C=根號π/2【得用到題干的Dirichlet積分】；

最后得到f(x)結(jié)果.

Day77(含參量反常積分3：一致收斂應(yīng)用)

（一）需要復(fù)習(xí)的

1、復(fù)習(xí)一致收斂的Cauchy準則，注意題1①、題5有個關(guān)鍵一步，【定理19.7，題1①、題5用到，且都用到這個關(guān)鍵一步】

2、反常積分一致收斂的比較原則推論【定理11.2推論3，題1②、題3用到】

3、定理19.10連續(xù)性【題1③問、題2、題3有涉及到，具體定理見本專欄開頭】

4、復(fù)習(xí)一致收斂的判別準則【定理19.8，題4用到】（可比較一致收斂的Cauchy準則）

5、A-D判別法【題4用到】

6、定理11.2比較原則（當M-判別法無法使用，即區(qū)間左端是開的時候，題5用到）

（二）具體題目

1【重慶大學(xué)】

①問：

思路：要證明非一致收斂，結(jié)合反證法和Cauchy準則.

（1）反證，先假設(shè)F（α）一致收斂，先寫出Cauchy準則一致收斂的定義；

（2）特別地，讓這個α→0+，得到這個積分≤ε

（3）根據(jù)（2）式由于Cauchy準則可以得到積分收斂，矛與這個積分實際情況矛盾。

因此F（α）在（0，+∞）上非一致收斂；

②問：

要證一致收斂，利用一下M判別法，把這個α放縮到α0，對于這個反常積分，運用比較原則推論，取p=2>1，λ=0,所以這個反常積分收斂，因此F（α）在【α0，+∞】一致收斂

③問：

要證明連續(xù)性，利用定理19.10（連續(xù)性）；

由②問得到的F（α）在【1/2*α0，+∞】一致收斂

+被積函數(shù)xe^(-αx)在【0，+∞】?【1/2*α0，+∞】上連續(xù)，

利用定理19.10（連續(xù)性）得到F（α）在【1/2*α0，+∞】上連續(xù)；

特別地在α0上連續(xù)；

再結(jié)合α0任意性，推出F（α）在（0,+∞）上連續(xù).

2【西北大學(xué)；武漢理工；華中師范】

①問：

思路：要證明不一致收斂，利用Cauchy準則和反證法；

取ε0,最后??；取一個x=1/n∈（0，+∞），利用Cauchy準則，知道其不一致收斂；

②問：

思路：若①一致收斂，那么結(jié)合被積函數(shù)連續(xù)，利用定理19.10（連續(xù)性），可以推出f(x)在（0，+∞）上連續(xù)；但是這里不一致收斂；所以下面考慮推論：內(nèi)閉一致收斂；

做法：

利用Dirichlet判別法，sinxy的積分值一致有界；

1/y關(guān)于y單調(diào)遞減，關(guān)于x∈【a,b】一致趨于0；

上述兩個條件滿足，得到f(x)在【a,b】上一致收斂；

最后結(jié)合f(x)這個積分內(nèi)閉一致收斂+被積函數(shù)連續(xù)，利用定理19.10（連續(xù)性）推出f(x)在（0，+∞）上連續(xù)！

3【北京師范大學(xué)】【很好的題，要整理好思路】

①既是瑕積分，又是無窮積分，拆成兩段0→1以及1→+∞

②先確定收斂情況下α的范圍，分瑕積分和無窮積分兩種情況；在瑕積分過程要用到等價無窮小以及p-積分性質(zhì)；在無窮積分過程中要分兩段，以α是>1還是≤1的情況，α>1情況下利用反常積分比較原則極限形式來做；α≤1的情形發(fā)散；所以得到α∈（1，4）

③任取α∈[a,b]包含于（1，4）.確定了收斂的范圍之下，再關(guān)于x的范圍分類討論；得到一致收斂；

④由于g(α）在[a,b]上一致收斂，因此在（1，4）內(nèi)閉一致收斂，再結(jié)合被積函數(shù)連續(xù)，利用定理19.10（連續(xù)性）推出g(α）在（1，4）上連續(xù).

4【太原理工】

思路：題有多解，典型的A-D判別法的應(yīng)用

①問用Dirichlet判別法；②問用Abel/反常積分Cauchy準則

具體做法：

①問：

sintx關(guān)于t一致有界；x/(1+x^2)關(guān)于x單調(diào)且關(guān)于t一致趨于0【單調(diào)性可利用求導(dǎo)做】

②問

（法一）

思路：用Abel判別法.

具體做法：

（xsintx/(1+x^2)）*((1+x^2)/x^2)=sintx/x;

對于上式，第一個用反證假設(shè)其一致收斂，而且第二個利用((1+x^2)/x^2)關(guān)于t一致有界→利用Abel判別法推出這個積分在I上一致收斂，而且這個積分就是Poisson積分，積分值為π/2；

再利用定理19.8,利用Cauchy準則推出由于這個極限值不趨于0，那么就不一致收斂.

(法二）

采取題2的思路，利用反常積分一致收斂的Cauchy準則，取t=1/n∈（0，+∞），推出其不一致收斂.

5【南昌大學(xué)，中科大】

①問：

因為這里區(qū)間左端不是開區(qū)間，所以不能用M-判別法，注意因為M-判別法對參數(shù)范圍左端是開區(qū)間;所以換思路，利用反常積分比較原則即可，被積函數(shù)放縮成e^(-xy)，這個反常積分值為1/y為常數(shù)，大的收斂，因此小的積分也收斂

②問：

此時參數(shù)區(qū)間左端是閉的，所以可以用M-判別法，放縮到e^(-ax)；

得到e^(-ax)這個的反常積分值為1/a為常數(shù)，收斂，利用M-判別法，得到原積分在【a,+∞）一致收斂

③問：

利用反證法，假設(shè)其一致收斂，寫出一致收斂的定義；

然后寫出關(guān)鍵的一步，讓y→0+,得到積分值的絕對值≤ε；

再利用Cauchy準則推出sinx的積分收斂；

這與sinx的積分不存在矛盾；

所以不一致收斂！