淺談高等數(shù)學（8）

2022-02-25 21:14 作者:-YD-LM- 0人讀過 | 我要投稿

計算是數(shù)學之基礎。

第八期? 導數(shù)與微分的運算法則

? ? ? ?在高等數(shù)學的教材中，微分是放在導數(shù)完全結束后講述的；但若是我們提前了解了微分，那么涉及導數(shù)的許多公式也就明晰許多了。然而，我們不得不使用許多嚴謹?shù)挠嬎?，初見時可能會有一些枯燥。與此同時，也希望讀者能體會嚴謹中蘊含的整潔與美觀。

一、函數(shù)和的導數(shù)

設函數(shù) $u%3Du(x)%2C%5C%20v%3Dv(x)$ ，求 $(u%2Bv)'$ 。推導如下：

$(u%2Bv)'%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)%2Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)-v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? $%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%2B%5Cfrac%7Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? $%3Du'%2Bv'.$

因此，函數(shù)和的導數(shù)等于它們導數(shù)的和。使用數(shù)學歸納法可以證明多個函數(shù)的情況，發(fā)現(xiàn)仍舊如此；不了解數(shù)學歸納法的請往下翻。

二、函數(shù)積的導數(shù)

設據(jù)同上，求 $(uv)'$ 。推導如下：

$(uv)'%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)v(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)v(x)%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

? ? ? ? ? ? $%3D%5Cfrac%7Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)%C2%B7%5Bv(x%2B%5Cmathrm%20dx)-v(x)%5D%2Bv(x)%C2%B7%5Bu(x%2B%5Cmathrm%20dx)-u(x)%5D%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$

? ? ? ? ? ? $%3Du(x%2B%5Cmathrm%20dx)%C2%B7v'%2Bv(x)%C2%B7u'$

? ? ? ? ? ? $%3Du'v%2Buv'.$

通過這個公式，我們對多元情況進行嘗試，容易得到

$(uvw)'%3Du'vw%2Buv'w%2Buvw'%2C$

$(uvwx)'%3Du'vwx%2Buv'wx%2Buvw'x%2Buvwx'.$

于是，我們猜想：

$(y_1y_2y_3%5C%20...y_n)'%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D.$

先解釋一下這個式子：由于 $%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B...%2B%5Calpha_n%3D1$ 且他們之和均為非負數(shù)，又因為求和號的意義，他們均為自然數(shù)——因此只有可能是其中一個為1，其余的均為0.式子中，我們定義 $y%5E%7B(0)%7D%3Dy%2Cy%5E%7B(1)%7D%3Dy'.$ 至于 $%5Calpha%0A$ 取其他數(shù)時的情況，我們以后會講述。這個式子同樣能用數(shù)學歸納法證明，數(shù)學歸納法是說：

若（1） $n%3D1$ 時，命題 $p$ 為真；

（2）若 $n%3Dk%5C%20(k%5Cin%20%5Cmathrm%20N%5E*)$ 時 $p$ 為真，則 $n%3Dk%2B1$ 時 $p$ 為真，

則 $%5Cforall%20n%5Cin%5Cmathrm%20N%5E*$ ， $p$ 為真。自然數(shù)集亦可類比。

下面是證明：首先， $n%3D1$ 時顯然成立。

若 $(y_1y_2y_3%5C%20...y_n)'%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D$ ，則

$(y_1y_2y_3...y_%7Bn%2B1%7D)'%3Dy_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(1)%7D%C2%B7%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_n%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_n%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_n%5E%7B(%5Calpha_n)%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%2By_1%5E%7B(0)%7Dy_2%5E%7B(0)%7Dy_3%5E%7B(0)%7D%E2%80%A6y_n%5E%7B(0)%7Dy_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(1)%7D$

$%3D%5Csum_%7B%5Calpha_1%2B%5Calpha_2%2B%5Calpha_3%2B...%2B%5Calpha_%7Bn%2B1%7D%3D1%5C%5C%20%0A%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Calpha_1%2C%5Calpha_2%2C%5Calpha_3%2C...%2C%5Calpha_%7Bn%2B1%7D%5Cge0%7Dy_1%5E%7B(%5Calpha_1)%7Dy_2%5E%7B(%5Calpha_2)%7Dy_3%5E%7B(%5Calpha_3)%7D......y_%7Bn%2B1%7D%5E%7B(%5Calpha_%7Bn%2B1%7D)%7D.$

命題即得證。

三、復合函數(shù)的導數(shù)

設函數(shù) $y%3Df%5B%20g(x)%5D$ 由 $y%3Df(u)$ 與 $u%3Dg(x)$ 兩個可導函數(shù)復合而成，求 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D$ 。

則 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20du%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3Df'(u)%C2%B7g'(x).$ 這是較為直觀的一條結論。

同樣地，可以證明由多個函數(shù) $u_%7Bn-1%7D%3Df_n(x)%2Cu_%7Bn-2%7D%3Df_%7Bn-1%7D(u_%7Bn-1%7D)...%2Cu_1%3Df_2(u_2)%2Cy%3Df_1(u_1)$ 復合而成的函數(shù) $y%3D(f_1%5Ccirc%20f_2%5Ccirc%E2%80%A6%5Ccirc%20f_n)(x)$ 的導數(shù)為 $%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20du_1%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_1%7D%7B%5Cmathrm%20du_2%7D%C2%B7%5C%20......%5C%20%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-2%7D%7D%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-1%7D%7D%C2%B7%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20du_%7Bn-1%7D%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D.$

四、函數(shù)商的導數(shù)

設函數(shù) $u%3Du(x)%2Cv%3Dv(x)$ ，且 $v(x)%5Cnot%3D0$ ，求 $%5Cbigg(%5Cfrac%20uv%5Cbigg)'$ 。

它是可以使用與函數(shù)積的導數(shù)相同的方法求解的，只是多了通分的步驟。讀者可以嘗試證明，并且教材上也有。這里給出另一種方法：

首先，求 $y%3D%5Cfrac1x$ 的導數(shù)：

$y'%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac1%7Bx%2B%5Cmathrm%20dx%7D-%5Cfrac1x%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7Bx-(x%2B%5Cmathrm%20dx)%7D%7Bx(x%2B%5Cmathrm%20dx)%5Cmathrm%20dx%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7Bx%5E2%5Cmathrm%20dx%7D%3D-%5Cfrac1%7Bx%5E2%7D.$

于是， $y%3D%5Cfrac1%7Bv%7D$ 對 $x$ 的導數(shù)為

$-%5Cfrac%7Bv'%7D%7Bv%5E2%7D.$

最后， $y%3D%5Cfrac%20uv$ 對 $x$ 的導數(shù)為

$y'%3D%5Cbig(u%C2%B7%5Cfrac1v%5Cbig)'%3D%5Cfrac%7Bu'%7Dv-%5Cfrac%7Buv'%7D%7Bv%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bu'v-uv'%7D%7Bv%5E2%7D.$

五、反函數(shù)的導數(shù)

其與復合函數(shù)一樣也非常直觀。設函數(shù) $x%3Df(y)$ 在某區(qū)間內具有反函數(shù) $y%3Df%5E%7B-1%7D(x)$ ，

則

$%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7B%5Cmathrm%20dx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dx%7D%7B%5Cmathrm%20dy%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf'(y)%7D.$

需要注意的是，這里是用原函數(shù)對 $y$ 求導，而非 $x$ 。

對于其幾何意義，還有一種深入的理解：

如圖是 $y_1%3D%5Csin%20x$ （藍）與 $y_2%3D%5Carcsin%20x$ （紅）的圖像，由反函數(shù)的意義可知它們的圖像是關于 $y%3Dx$ 對稱的。假如我們要考察反函數(shù)在 $B(%5Csin%20x_0%2Cx_0)$ （為了方便起見，我們只考慮 $(0%2C%5Cfrac%5Cpi2)$ 內的部分）處的導數(shù)，則對應的，原函數(shù)上的點應為 $A(x_0%2C%5Csin%20x_0)$ 。原函數(shù)切線交x軸于C，交y軸于E；反函數(shù)切線交x軸于F，交y軸于D。由于關于 $y%3Dx$ 對稱，則可知 $%E2%88%A0ECO%3D%5Cfrac%5Cpi2-%E2%88%A0FDO.$ ，即 $%5Ctan%E2%88%A0ECO%5Ctan%E2%88%A0FDO%3D1.$ 而這兩個角恰好分別是原函數(shù)與反函數(shù)的傾角，故有