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第 二?章 矩陣及其運算

&3.逆矩陣

概念：

• 線性變換的逆變換：設(shè)給定一個從變量x1,x2,...,xn組成的列矩陣X到y(tǒng)1,y2,...,ym組成的列矩陣Y的線性變換，它的系數(shù)矩陣是一個n階矩陣A，則線性變換可以記作Y=AX——

????——以A的伴隨矩陣A*左乘Y=AX兩端，則A*Y=A*AX，即A*Y=|A|X

????——當(dāng)|A|≠0時，可解出

????——上式中X=BY即為從Y到X的線性變換，稱為X到Y(jié)的線性變換的逆變換。

• 規(guī)律：

• 奇異矩陣：當(dāng)|A|=0時，A稱為奇異矩陣。

• 非奇異矩陣：當(dāng)|A|≠0時，A稱為非奇異矩陣。

定義：對于n階矩陣A，如果有一個n階矩陣B，使AB=BA=E，則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，簡稱逆陣，記作

性質(zhì)：

• 如果矩陣A是可逆的，那么A的逆陣是唯一的

• 若矩陣A可逆，則|A|≠0

• 若|A|≠0，則矩陣A可逆，且??

????——A*為方陣A的伴隨陣

• 若AB=E（或BA=E），則

• A是可逆矩陣的充分必要條件是當(dāng)A|≠0，即可逆矩陣就是非奇異矩陣。

運算律：

• 矩陣A的m次多項式

• 定義：設(shè)

????????——為x的m次多項式，A為n階矩陣，記

????????——φ(A)稱為矩陣A的m次多項式。

• 運算律：

&4.矩陣分塊法

概念：

• 分塊法：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運算時常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算。

• 分塊矩陣：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

運算規(guī)則：

• 加法：設(shè)A與B的行數(shù)相同、列數(shù)相同，采用相同的分塊法，有

????——其中Aij與Bij的行數(shù)相同、列數(shù)相同，那么

• 數(shù)乘：設(shè)

????——λ為數(shù)，那么——

• 乘法：設(shè)A為mxl矩陣，B為lxn矩陣，分塊成

????——其中Ai1,Ai2,...,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,...,Btj的行數(shù)，那么

????——其中

• 轉(zhuǎn)置：設(shè)

????——則

• 分塊對角矩陣：

• 定義：設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對角線上的子塊都是方陣，即

????????——其中Ai(i=1,2,...,s)都是方陣，那么稱A為分塊對角矩陣。

• 性質(zhì)：

1. |A|=|A1||A2|...|As|

2. 若|Ai|≠0(i=1,2,...,s)，則|A|≠0，并有

• 按行分塊：mxn矩陣A有m行，稱為矩陣A的m個行向量，若第i行記作

????——則矩陣A便記為

• 按列分塊：mxn矩陣A有n列，稱為矩陣A的n個列向量，若第j列記作

????——則矩陣A便記為

• 矩陣乘法的向量表示：對于矩陣A=Aaij)是一個m行s列矩陣，B=(bij)是一個s行n列矩陣