環(huán)在鏈里的應用非常廣泛，由于它的結構的特殊性，強弱關系能夠首尾拼接形成環(huán)結構，甚至完全找不到開頭。但正是因為這個特征，導致環(huán)的刪數(shù)非常多，因而受到眾多難題玩家的青睞。

Part 1?標準環(huán)

在學習技巧之前，我們先來看看環(huán)的基本形態(tài)。

如圖所示。鏈的寫法如下：

發(fā)現(xiàn)了兩點神奇的現(xiàn)象：r1c4(4)首尾成環(huán)了，而且強弱關系是交替的，也就意味著，就圖上的情況而言，隨便找個藍色節(jié)點都有可能成為開頭。于是我們隨便選了個節(jié)點，比如r1c4(4)作為了開頭，然后寫成了環(huán)形。

還有一點是刪數(shù)，所有紅色的都是刪數(shù)，但這一次，紅色的刪數(shù)比起之前用過的鏈技巧而言，刪數(shù)多太多了。那么如何推導呢？反正都是個環(huán)結構，隨便找個弱關系，把它拆掉。比如我們拆掉最下方的r7c4-r7c9(8)的弱關系。然后鏈變成這樣：

這樣就會發(fā)現(xiàn)，它就是一個AIC了。那么刪數(shù)就是兩個8共同對應的區(qū)域（r7）的其余8了。那我再留下這個弱關系，去斷開剩下的隨便一個弱關系，也可以得到對應的刪數(shù)。所以所有刪數(shù)如最開始的盤面所示。

這種結構特殊之處就在于，鏈的首尾是完全拼接在一起的，而且鏈頭還不好去找到唯一的那一個位置，這就區(qū)別于之前講到的不連續(xù)環(huán)了。不連續(xù)環(huán)雖然名叫不連續(xù)環(huán)，是有環(huán)這個字的，但是我們依然知道它是一種鏈結構，并且有頭有尾，這一點就和現(xiàn)在講到的這個東西不同了。

那么，這樣的特別結構，叫做標準環(huán)（或連續(xù)環(huán)，簡稱環(huán)，Continuous Nice Loop）。

最后需要引起注意的是，弱關系也包括單元格內的弱關系，比如圖中的r1c8(2-4)時候，可以刪掉r1c8(7)，至于原因，把鏈從r1c8(2-4)這里拆開，得到了一條鏈頭為r1c8(4)，鏈尾為r1c8(2)的AIC，它們的交集，因為是異數(shù)的，而且同一單元格，所以交集只能是r1c8內的其余候選數(shù)。所以這一點千萬別忘記了。

所以說，環(huán)有哪些性質可以直接使用呢？

Part 2?環(huán)的基本形式和特征

標準環(huán)具有如下的特征（請最好背下它們）：

• 任意弱關系都能直接拆掉，并得到一條鏈，從而獲得當前的刪數(shù)效果；

• 任意節(jié)點都可以作為整條鏈的鏈頭；

• 環(huán)內的填數(shù)情況一共只有兩種；

• 環(huán)的長度一定為偶數(shù)；

• 環(huán)里面的所有的相鄰節(jié)點既可以看作強關系，也可以看作弱關系。

那么，這五點我將一一論證。

第一點，這是環(huán)的刪數(shù)原則和基本思想。所以這一點我就不用說明了（就是拆成鏈結構，然后找刪數(shù)）。

第二點，例如下面兩個舉例的節(jié)點：r1c4(4)作為開頭和r7c9(8)作為開頭。

可以從例子里看到，實際上，除了換了鏈的方向以外，鏈沒有發(fā)生任何變動。由于鏈必須以強關系開頭的關系，使得有些以弱關系起頭的節(jié)點不得不反向繪制鏈。不過反向繪制并不會影響到什么，因為強弱關系是可以反向的，而且反向后，弱關系開頭就變?yōu)榱藦婈P系開頭了，這是因為以弱關系開頭的節(jié)點和它后一個節(jié)點連接；而在反向后，就會和它前面一個節(jié)點連接，而它前一個節(jié)點和它本身是形成強關系的。

第三點，我們在推理的過程都是最簡單的“不填 -> 填 -> 不填 -> 填 –> ……”，這樣的周而復始的循環(huán)。而環(huán)結構之中，由于推理最終回回到最初的位置，并且仍舊能夠按照原來假設所定的填數(shù)狀態(tài)繼續(xù)重新推理，所以這一定是其中的一種情況，而根據(jù)性質2，我們知道，任何節(jié)點都能做起始點，也就是說，我們不妨將節(jié)點切換到與其相鄰（它的上一個候選數(shù)填數(shù)狀態(tài)或者其下一個候選數(shù)填數(shù)狀態(tài)）的位置上去，讓它作為鏈頭，這個時候填數(shù)狀態(tài)就能全部交換了。但是，由于結構內就兩種填數(shù)情況，所以這就說明了，環(huán)結構內一定只涉及兩種填數(shù)。

第四點，強弱關系數(shù)量一樣，強關系有n個，弱關系就有n個，那長度自然是2n個，2n是一個偶數(shù)。

第五點，根據(jù)性質3，我們可以直到環(huán)內僅存在兩種填數(shù)情況，而兩種填數(shù)情況顯然只可能使得任意相鄰的兩個節(jié)點一真一假，而一真一假的情況是既滿足強關系的定義（不同假），也滿足弱關系的定義的（不同真）。有些時候，第五點也被說成“所有強關系都能轉為弱關系理解；而所有弱關系都能轉為強關系理解”，因為一真一假的邏輯恰好是同時滿足強關系和弱關系的定義的。

不過之前說的不連續(xù)環(huán)并不滿足這些特性，只是一種結構成環(huán)而邏輯無環(huán)的特別情況罷了。實際上，不連續(xù)環(huán)里的“環(huán)”字的意義和我們此處介紹的環(huán)的意義不同。所以，不連續(xù)環(huán)和連續(xù)環(huán)實際上就差在了“不”這個字上：不連續(xù)環(huán)是無法連續(xù)推導的，因為它始終是符合鏈的規(guī)則，有頭有尾，找交集刪數(shù)；而連續(xù)環(huán)，任意節(jié)點為頭都可以。

Part 3?常見技巧的環(huán)視角

下面來介紹一些常見技巧的環(huán)視角。

3-1?標準鏈列

如左圖所示，這是一個X-Wing（二鏈列）技巧，它的定義域是c34。我們可以嘗試把定義域上的兩個單元格視為共軛對，并構成強關系，然后把刪除域上同列的兩個候選數(shù)作為弱關系連起來，最終構成右圖的環(huán)，這種環(huán)的刪數(shù)和原結構的刪數(shù)完全一樣。而理解方式，只需要變化一點，因為X-Wing結構的形式導致了共軛對一定會出現(xiàn)兩處，便可立馬繪制出環(huán)結構。

實際上，只要我們能在魚的所有定義域都構成共軛對的形式，那么結構就一定是一個環(huán)，比如下面的這個三鏈列的例子，它的所有定義域區(qū)域都會產生共軛對。

如圖所示，這就是一個三鏈列，它的環(huán)的畫法。

3-2?顯隱性數(shù)組

數(shù)組之所以也能刪除很多數(shù)字，是因為它實際上也是一個環(huán)。

如圖所示，這是1、4顯性數(shù)對的環(huán)視角?？梢园l(fā)現(xiàn)，由于顯性數(shù)對是雙值格的關系，單元格之間的候選數(shù)的關系變?yōu)槿蹶P系，而單元格內的候選數(shù)關系即為強關系。

同樣地，三數(shù)組也是如此。只要三數(shù)組的三個單元格都是雙值格，那么就一定可以畫成環(huán)，如圖所示。

除了顯性數(shù)組外，還有隱性數(shù)組結構也可以這么干，不過在之前我們說到，隱性數(shù)對實際上是兩個數(shù)形成了共軛對，只是恰好位于同樣兩個單元格里，所以我們此處就會使用到這一個結論。

我們將其中的共軛對視為強關系，而單元格內作為弱關系，就形成了環(huán)，并得到刪數(shù)。

所以我們可以看到，實際上可以刪不同位置的數(shù)值的情況，一般都是使用環(huán)來解決的，只是我們平時很少，甚至不會使用環(huán)來作圖。

3-3?欠一數(shù)對

還記得欠一數(shù)對嗎？欠一數(shù)對我們通過了例子來解釋，而且還通過了直觀層面，假設為x和y的方式來得到數(shù)對形式。不過實際上，正是因為它能通過x和y的方式來假設，才有了它的環(huán)的視角。

如圖所示，右圖就是左圖的環(huán)的畫法?？梢钥吹?，這個例子帶了一個區(qū)塊，而這個區(qū)塊還是很簡單的結構，所以不用過多考慮刪數(shù)的問題。注意r7c3單元格內的弱關系，也是要刪數(shù)的。

3-4?雙RCC的ALS-XZ

實際上，這個古怪的玩意兒就是一個環(huán)。不過這個環(huán)的邏輯在之前已經超綱地提到了（因為它還帶有兩個ALS區(qū)域，還要考慮ALS區(qū)域的刪數(shù)，所以在前面提到算是“超綱”了），所以我們就不用過多去啰嗦它的基本邏輯。下面的一些復雜的環(huán)結構，它們的刪數(shù)將涉及到這些內容，所以具體的原理我們在下方會提到。