【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)134】常微分方程：史濟(jì)懷老師視頻微分方程相關(guān)內(nèi)容總結(jié)（三）
史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——
&2.一階微分方程
&2.2齊次方程
齊次函數(shù)——函數(shù)P（x，y）滿足P（tx，ty）=t^mP（x，y），稱P（x，y）為x和y的m次齊次函數(shù)。
齊次方程——
定義一：形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，即滿足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），則稱這個(gè)方程為齊次方程。
易證明——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=φ（x/y）。
定義二：形如dy/dx=φ（x/y）的微分方方程為齊次方程。
方法——變量替換法——令y=ux，u=y/x，是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)。
例子——解方程dy/dx=x+y/x-y。
令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；
由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；
則左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；
左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回歸到變量分離的類型；
[（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；
兩邊積分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C'；
將u=y/x代入，arctan?（y/x）- ln{[1+（y/x）^2]^（1/2）}=ln C'|x|；
化簡，arctan?（y/x）=?ln {[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）* C'|x|}=?ln?[C'（x^2+y^2）^（1/2）]，得到e^[arctan?（y/x）]=C'（x^2+y^2）^（1/2）；
令C=1/C'，得到Ce^[arctan?（y/x）]=（x^2+y^2）^（1/2）；
我們將這個(gè)結(jié)果寫成參數(shù)方程的形式，Ce^θ=r，這個(gè)圖線是著名的指數(shù)螺線，我們以后在解析幾何的內(nèi)容中會(huì)聊到如何分析圖線的形狀。
例子——解方程dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x
解：令y=ux，由dy/dx=y/x+（x^2+y^2）^（1/2）/x得到d（ux）/dx=ux/x+[x^2+（ux）^2]^（1/2）/x=u+（1+u^2）^（1/2）|x|/x——
a.當(dāng)x>0時(shí)
d（ux）/dx=u+（1+u^2）^（1/2）；
u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；
則由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u=右式，即x（du/dx）+u=u+（1+u^2）^（1/2），即x（du/dx）=（1+u^2）^（1/2）——回歸到變量分離的類型；
將相同變量移到一側(cè)：du/（1+u^2）^（1/2）=dx/x；
兩邊積分得到，ln[u+（1+u^2）^（1/2）]=ln?x+ln?c；
底數(shù)相等，u+（1+u^2）^（1/2）=cx；
將u=y/x代入，左邊=y/x+[1+（y/x）^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）/x^2]^（1/2）=y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=右邊，即y/x+[（x^2+y^2）]^（1/2）/x=cx；
解得方程：y+[（x^2+y^2）]^（1/2）=cx^2。——到這一步即可，記作A式。
也可以化簡得好看一些（手動(dòng)狗頭）：
左右同時(shí)乘以y-[（x^2+y^2）]^（1/2）：左邊=y^2-（x^2+y^2）=-x^2，右邊=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}；
左邊=右邊：-x^2=cx^2{y-[（x^2+y^2）]^（1/2）}，即y-[（x^2+y^2）]^（1/2）=-1/c——記作B式；
將A、B式相加得：2y=cx-1/c，即y=（cx-1/c）/2，即為所求解。
b.x<0時(shí)，結(jié)果一致。
可化為齊次方程/可分離變量的方程——這部分內(nèi)容和同濟(jì)內(nèi)容大同小異
定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時(shí)為齊次方程，當(dāng)c和c1至少有一個(gè)不為0時(shí)，可以做相關(guān)變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，令——
x=X+h，則dx=dX；
y=Y+k，則dy=dY；
1、2中h和k是待定的常數(shù)，所以我們要列方程組，解出它們，這部分內(nèi)容，涉及到了《線性代數(shù)》里的克萊姆法則?！?span id="s0sssss00s" class="color-lblue-01">我們由這個(gè)方程組解的有無，來判定，這種類型的微分方程，轉(zhuǎn)化的方式。
過程——
ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
dY/dX=dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；
因?yàn)?中方程應(yīng)該滿足齊次方程的形式，故而得到方程組ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；
由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b不等于0的時(shí)候，方程組有解，我們解出對(duì)應(yīng)的k與h，將原方程轉(zhuǎn)化為dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；
由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b=0的時(shí)候，則a1/a=b1/b=l，將l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；
我們令v=ax+by，則dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；
又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是關(guān)于x的函數(shù)；
則dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，轉(zhuǎn)化為一個(gè)可分離變量的微分方程。
