牛頓367、羅爾中值定理

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?2014-03-20，網(wǎng)友“醫(yī)者仁心326”上傳名為《不定積分的概念和性質(zhì)》的文檔。

…不，定，積、分、積分，定積分，不定積分：見《牛頓353~364》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…性、質(zhì)、性質(zhì)：見《歐幾里得37》…

文檔內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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定理1 若F（x）為f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則F（x）+C（C為任意常數(shù)）就是f（x）在I上的原函數(shù)的全體。

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

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證明

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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設Φ（x）是f（x）在I上的任意一個原函數(shù)[即對任一x∈I，都有：Φ’（x）=f（x）]，則：

[Φ（x）-F（x）]’=Φ’（x）-F’（x）=f（x）-f（x）=0

“此處運用了求導法則，函數(shù)和的導數(shù) 等于各個函數(shù)的導數(shù)的和?！爆F(xiàn)代學者說。

…Φ：第21個希臘字母。讀音：fài…見《牛頓359》…

…求導法則：見《牛頓366》…

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…

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由拉格朗日中值定理的推論可知，Φ（x）-F（x）=C或Φ（x）=F（x）+C，其中C為常數(shù)。

…值：見《歐幾里得74》…

…推、論、推論：見《歐幾里得66》…

拉格朗日中值定理（百度百科）：又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關系。

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…學：見《歐幾里得4》…

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…反、映、反映：見《歐幾里得22》…

…可導：若f（x）在x0處連續(xù)，則當a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導…見《牛頓360》…

…率：見《歐幾里得58》…

…關、系、關系：見《歐幾里得75》…

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

羅爾中值定理（百度百科）：羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

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羅爾定理描述如下：

如果R上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間?[a，b] 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（3）f（a）=f（b）。

則至少存在一個ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

…R：Real number（實數(shù)）首字母，這里表示實數(shù)…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學上的隨機變量…

證明：因為函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用M和m表示，分兩種情況討論：

1.?若 M=m，則函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

（常數(shù)的導數(shù)是0。

證明見《牛頓333》。）

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2.?若M>m，則因為f（a）=f（b）使得最大值M與最小值m至少有一個在（a，b）內(nèi)某點ξ處取得，從而ξ是f（x）的極值點。

又條件f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，得：f（x）在 ξ 處取得極值。

由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'（ξ）=0。

“駐：

本義是停留在一個地方。如：駐足、駐顏（讓顏貌停留，不使衰老）。

請看下集《牛頓368、駐點：函數(shù)導數(shù)為0的點》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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