自適應(yīng)魯棒滑模控制原理

2022-10-05 00:50 作者:學(xué)海行舟 0人讀過(guò) | 我要投稿

????????通過(guò)前面博文的介紹，我們了解了滑模控制的基本原理及其在電力電子中的應(yīng)用，并對(duì)簡(jiǎn)單的魯棒滑?？刂七M(jìn)行了介紹。在本文中我們?cè)诳紤]系統(tǒng)不確定項(xiàng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了系統(tǒng)中某些參數(shù)未知的情況，并通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)魯棒滑?？刂剖沟孟到y(tǒng)達(dá)到很好的動(dòng)態(tài)特性。

????????首先，我們考慮如下機(jī)械系統(tǒng)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cfrac%7Bdx_1%7D%7Bdt%7D%3Dx_2%5C%5C%0A%26%5Ctheta%5Cfrac%7Bdx_2%7D%7Bdt%7D%3Du(t)%2B%5CDelta%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$

? ? ? 其中， $%5Ctheta$ 表示的是未知的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且為大于零的常數(shù)，而 $%5CDelta$ 表示包括模型不確定項(xiàng)和干擾的總和。

??????在進(jìn)行自適應(yīng)魯棒滑模設(shè)計(jì)前，我們需要給出一定的假設(shè)條件，給出的假設(shè)條件如下：

??????假設(shè)1：不確定參數(shù) $%5Ctheta$ 具有上下界，且可以表示為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $0%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5Cle%20%5Ctheta%20%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmax%7D$

? ? ? 假設(shè)2：不確定項(xiàng)有界，且滿足下面的條件

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%7C%5CDelta%7C%5Cle%20D$

? ? ? ?我們?cè)O(shè)計(jì)如下滑模面

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $s%3D%5Cdot%7Be%7D%2Bce%3D%5Cdot%7Bx_d%7D-x_2%2Bce$

? ? ? ?其中， $x_d$ 表示期望的位置信號(hào)， $e%3Dx_d-x_1$ 表示位置的跟蹤誤差， $c%3E0$ 。

???????則有

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Ctheta%20%5Cdot%7Bs%7D%3D%5Ctheta(%5Cdot%7Bx_d%7D-x_2%2Bce)$

? ? ? ?我們?nèi)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Chat%7B%5Ctheta%7D" alt="%5Chat%7B%5Ctheta%7D">為 $%5Ctheta$ 的估計(jì)值，則定義李雅普諾夫函數(shù)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%20s%5E2%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cgamma%7D%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%5E2$

? ? ? ?其中， $%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%3D%5Ctheta-%5Chat%7B%5Ctheta%7D%2C%5Cgamma%3E0$

? ? ? ?對(duì)上述函數(shù)求導(dǎo)可得

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cdot%7BV%7D%3D%5Ctheta%20s%5Cdot%7Bs%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%5Cdot%7B%7B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%7D%7D%3Ds%5Ctheta(%5Cddot%7Bx_d%7D-%5Cdot%7Bx_2%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%3Ds(-u-%5CDelta%2B%5Ctheta%20%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Ctheta%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$

? ? ? ? 本文我們?cè)O(shè)計(jì)指數(shù)趨近率，則控制率可以設(shè)計(jì)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $u%3D%5Chat%7B%5Ctheta%7D(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-ks-%5Ceta%20sign(s)$

????? ? ?將控制率帶入到 $%5Cdot%7BV%7D$ 的表達(dá)式則有

????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? $%5Cdot%7BV%7D%3Ds%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D$ ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%3D-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta%2B%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D%5Bs(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cgamma%7D%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%5D$ ???

????????? ?則自適應(yīng)率可以設(shè)計(jì)為

????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? $%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%3Ds%5Cgamma(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D)$ ? ?

? ? ? ? ? ?則

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? $%5Cdot%7BV%7D%3D-ks%5E2-%5Ceta%7Cs%7C-s%5CDelta%20%5Cle%20-ks%5E2%20%5Cle%200$

? ? ? ? 由于僅當(dāng) $s%3D0$ 時(shí)， $%5Cdot%7BV%7D%3D0$ 。則根據(jù)LaSalle不變性原理，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，s會(huì)趨于0。系統(tǒng)的收斂速度與k相關(guān)。

????????值得注意的是，上述條件表明t趨于無(wú)窮時(shí)V是由界的，同時(shí)也能表明 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 是有界的，但無(wú)法保證 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 會(huì)趨于 $%5Ctheta$ 。根據(jù)LaSalle不變性原理，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)s會(huì)趨于0，但是無(wú)法保證 $%5Ctilde%7B%5Ctheta%7D$ 趨于0。為了防止 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 過(guò)大而造成控制輸入u(t)過(guò)大或者出現(xiàn) $%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%20%5Cle%200$ 的情況，需要通過(guò)自適應(yīng)率的設(shè)計(jì)使得 $%5Chat%7B%5Ctheta%7D$ 的變化在 $%5B%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5Cquad%5Ctheta_%7Bmax%7D%5D%20$ ，可采用一種自適應(yīng)映射算法，則自適應(yīng)可以修正為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cdot%7B%5Chat%7B%5Ctheta%7D%7D%3DProj(s%5Cgamma(%5Cddot%7Bx_d%7D%2Bc%5Cdot%7Be%7D))$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $%5Cbegin%7Bequation%7D%0AProj(.)%3D%5Cleft%5C%7B%0A%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%260%20%5Cquad%20if%20%5C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cge%20%5Ctheta_%7Bmax%7D%20%5C%20and%20.%3E0%20%5C%5C%0A%260%20%5Cquad%20if%20%5C%20%5Chat%7B%5Ctheta%7D%20%5Cle%20%5Ctheta_%7Bmin%7D%20%5C%20and%20.%3C0%20%5C%5C%0A%26%20.%20%5Cquad%20otherwise%0A%5Cend%7Baligned%7D%0A%5Cright.%0A%5Cend%7Bequation%7D$