【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)34】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個數(shù)量，稱為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合積性質(zhì)：
a.當a，b，c組成右手系時，（a，b，c）>0；
b.當a，b，c組成左手系時，（a，b，c）<0；
幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；
性質(zhì)：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實數(shù)）。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習題演練》（周民強?編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習題演練（周民強?編著）》）——
試證明數(shù)列{an}不收斂：an=b（an+1/an）（a1>0，b>1）.
證：反證法——
如果lim an=a，則lim?an=lim b（an+1/an），即a=b（a+1/a）；
由1：a^2=b/（1-b）<0，導(dǎo)出矛盾，證畢。
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
設(shè)a，b，c為三個不共面的向量，求任意向量d關(guān)于a，b，c的分解式d=xa+yb+zc中的諸系數(shù)x，y，z.
解：
先求x，（d，b，c）=（xa+yb+zc，b，c）=x（a，b，c），x=（d，b，c）/（a，b，c）；
同理，y=（a，d，c）/（a，b，c），z=（a，b，d）/（a，b，c）.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
如果n級矩陣B滿足B^3=0，求（E-B）（E+B+B^2）.
解：（E-B）（E+B+B^2）=（E+B+B^2）-（B+B^2+B^3）=E-B^3=E-0=E.
到這里！
