其一、數(shù)正方形

⑨老師發(fā)現(xiàn)，解數(shù)學(xué)題的時(shí)候，自由隨意或許不是一個(gè)好的做法。

例如——

如果⑨老師左邊數(shù)一數(shù)、右邊又?jǐn)?shù)一數(shù)……大正方形找?guī)讉€(gè)、小正方形又找?guī)讉€(gè)……他很快就會(huì)忘記正在數(shù)的這個(gè)正方形是否之前已經(jīng)數(shù)過，又或者數(shù)到最后對(duì)答案時(shí)發(fā)現(xiàn)漏數(shù)了幾個(gè)正方形……

于是⑨老師看著這個(gè)4×4的網(wǎng)格，心想——

這個(gè)漂亮又對(duì)稱的圖形，給人以諸多自由的遐想：人們可以從它的東南西北的任意一側(cè)去觀察，數(shù)它包含的正方形時(shí)也可以是邊長1、2、3、4中的任意一種，與那些長得“歪瓜裂棗”的圖案不同，它是那么“正”，那么的“有秩序”……

慢著——

……“有秩序”？

……“有序”？

這個(gè)4×4的網(wǎng)格真的是“有序”的嗎？

⑨老師稍微頭腦風(fēng)暴了一下——

假如在4×4的網(wǎng)格里隨意填入1到16來表示數(shù)格子的先后順序，那么填入前和填入后誰更“有序”？

填入前空空如也、非常整齊看似“有序”——

填入后亂七八糟、毫無頭緒看似“無序”——

但是在數(shù)學(xué)上、物理學(xué)上，“無序“與”有序“的概念與人們?nèi)粘５母泄袤w驗(yàn)可能相反——

如上圖所示，填入前是一張白紙，其上具備數(shù)格子順序的各種可能性；

而填入后，數(shù)格子的順序就被永遠(yuǎn)固定了下來，無論誰來數(shù)右邊4×4網(wǎng)格的格子，大家的順序都是一樣的，而去數(shù)左邊的4×4網(wǎng)格卻是“千人千序”。

順序多且雜亂的是無序（看上去白凈的左圖），順序一致統(tǒng)一的則是有序（看上去混亂的右圖）。

恰好與我們的第一印象相反。

“原來如此！擁有更多的自由，反而是更加‘無序’的。”

⑨老師如是總結(jié)道。

——頭腦風(fēng)暴結(jié)束！

⑨老師回到“數(shù)正方形”的正題上來——

盡管4×4的網(wǎng)格整齊又對(duì)稱——但它的“無序”（太多不同的數(shù)法）卻帶來了計(jì)數(shù)上混亂，而人腦天生不適應(yīng)混亂……除非能從混亂中找出些規(guī)律來。

那么，如何徹底數(shù)清楚4×4網(wǎng)格含有多少個(gè)正方形呢？

⑨老師現(xiàn)在想明白了，他笑了笑——

“我們應(yīng)該于無序中尋找有序，finding order in disorder！”

所以⑨老師寫下了如下圖所示的解題過程——

“當(dāng)圖形數(shù)起來充滿了自由的時(shí)候（這樣數(shù)也可以、那樣數(shù)也可以），我們反而需要人為地規(guī)定順序，比如在以上解題步驟中，我們先是去數(shù)邊長為1的正方形有4×4=16個(gè)，然后去數(shù)邊長為2的正方形有3×3=9個(gè)，再去數(shù)邊長為3的正方形有2×2=4個(gè)，最后去數(shù)邊長為4的正方形，按照正方形從小到大的順序來數(shù)，最終才不重不漏地?cái)?shù)出一共有16+9+4+1=30個(gè)正方形！”

⑨老師一邊解說一邊露出了興奮的表情——

“這真是一件有趣的事兒！

“本來題目沒有規(guī)定我們一定要按照正方形從小到大的順序來數(shù)，但我們卻‘自己給自己強(qiáng)加了一道規(guī)則’并樂于遵守它！

“如果有人不想按照從小到大，那么他徹底貫徹從大到小的順序也可以成功！

“但是他最好不要既想要從小到大，又想要從大到??！如果他什么都想要，那么他什么都得不到！”

⑨老師對(duì)自己的總結(jié)很滿意，他心想，如果有人為自己制定了若干套規(guī)則，而這套規(guī)則與那套規(guī)則又相互沖突，想要同時(shí)遵守這些“秩序”、不就與混亂無異了嗎？

?

其二、拆數(shù)游戲

數(shù)完了正方形，⑨老師又玩起了“拆數(shù)游戲”——

以上問題⑨老師把它稱為“和定無序拆三數(shù)”。

⑨老師提醒自己——

“做無序計(jì)數(shù)的題目時(shí)需要注意的是——僅排序不同帶來的不同不算是真正的不同。比如對(duì)于三個(gè)正整數(shù)的和為10，3+3+4=10與3+4+3=10其實(shí)是同一組。”

可是——

明白了“我們應(yīng)該數(shù)不帶順序的數(shù)組”之后，解題好像并沒有就此變得順暢！

原本以為“無序給了更多填空的自由”、而“自由即可以更容易填空”的⑨老師做了以下嘗試——

3個(gè)正整數(shù)之和等于10，相當(dāng)于做一個(gè)填空游戲——

（ ）+（ ）+（ ）=10

我們可以填1+3+6，

也可以填2+1+7，

還可以填8+1+1，

當(dāng)然也可以填4+3+3，

填3+5+2=10也行，

填6+1+3也不錯(cuò)……

嗯？

6+1+3？

好像和最開始填的1+3+6是同一組？

“麻煩出現(xiàn)了！”⑨老師暫停了“自由地枚舉”，他放下筆自語——

“隨意地填空，會(huì)招致重復(fù)，而這種隨時(shí)可能發(fā)生的重復(fù)，讓我無法繼續(xù)自由地枚舉下去，如果我非要這樣枚舉下去，等待著我的就是計(jì)數(shù)游戲的失??！

“看來自由是需要付出代價(jià)的，做這道題自由隨意地枚舉，代價(jià)就是重復(fù)，基本上就與正確無緣了，這個(gè)代價(jià)挺沉重！”

既然做題是為了最終做正確而不是為了做得爽，⑨老師想，那么我寧可不那么自由！

來點(diǎn)約束吧！

來點(diǎn)規(guī)則吧！

比如填“（ ）+（ ）+（ ）=10”這個(gè)題目的空時(shí)，我就要給自己加上一條規(guī)則——

“必須把三個(gè)數(shù)按照從小到大的順序填寫！”

例如想要填“3、1、6”這個(gè)三個(gè)數(shù)的時(shí)候，就不能填“3+1+6”，也不能填“6+1+3”，也不能填“3+6+1”，也不能填“6+3+1”，也不能填“1+6+3”，而只能填“1+3+6”！

“添加了人為規(guī)定的填寫順序之后！一起都變得美好了起來！”

⑨老師重新拿起筆，順勢(shì)寫下如下解題步驟——

寫完題目，⑨老師心生感嘆——

無序給了太多自由，我們不能那么自由，我們必須選擇諸多自由中的一個(gè)，并遵守它，徹底執(zhí)行它，才能完成正確地解題！

“但這并不是說，我們沒有自由，”⑨老師覺得自己有必要澄清一點(diǎn)，“我們有選擇的自由，但是選擇之后，我們要承擔(dān)起徹底執(zhí)行這個(gè)選擇的責(zé)任！”

“如果當(dāng)時(shí)，”⑨老師繼續(xù)說，“我沒有選擇從小到大枚舉，我也可以通過選擇從大到小枚舉來獲得成功！條條大路通羅馬！但是你必須得行動(dòng)起來、并堅(jiān)持到最后！”

既然如此，不妨讓時(shí)光倒流，回到最初做選擇的時(shí)候——

⑨老師又想到一種做法，“如果再重來一次，我想要在諸多自由中添上這樣一條規(guī)則——先把這道題當(dāng)做有序的a+b+c=10來做，然后再把因順序不同帶來的重復(fù)給除掉！”

簡(jiǎn)單來說，就是先有序計(jì)數(shù)、再除序變無序。

具體的操作如下——

雖然圖片里寫得很詳細(xì)了，⑨老師還是不厭其煩地講解——

“我先把（ ）+（ ）+（ ）=10這種無序計(jì)數(shù)暫時(shí)先當(dāng)做a+b+c=10這種有序計(jì)數(shù)來做，一般來說，有序枚舉會(huì)比無序枚舉簡(jiǎn)單，所以我這是采用迂回戰(zhàn)術(shù)！

“我可以先假設(shè)a是1，然后去枚舉和為9的b與c有多少組，值得注意的是，此時(shí)枚舉出來的4、5與5、4算兩種不同情況，因?yàn)橐环N是b=4，另一種是b=5；然后我又假設(shè)a是2，然后去枚舉和為8的b與c有多少組；啊、我是不是發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)規(guī)律了？

“更棒的方法其實(shí)是插板法，因?yàn)閿?shù)有多少組(a,b,c)其實(shí)就與以下做法的每一種可能性一(yi)一(yi)對(duì)應(yīng)——

“把10個(gè)蘋果排成一行，在它們的9個(gè)間隔之間任選2個(gè)插上隔板，從而劃分為從左到右的三堆，這三堆的蘋果數(shù)形成的數(shù)組(a,b,c)的個(gè)數(shù)就是一個(gè)組合數(shù)C九二即9×8÷2=36個(gè)——”

第一步大功告成！

⑨老師打算乘勝追擊！

“現(xiàn)在已經(jīng)知道了a+b+c=10一共有36種情況。接下來第二步，需要對(duì)這36種情況進(jìn)行分類討論！”

其實(shí)，分類也是需要“人為規(guī)定”一個(gè)順序的，比如⑨老師就規(guī)定自己按照“相同的數(shù)的個(gè)數(shù)從多到少”來分類——

第一類，三個(gè)數(shù)均相同，10÷3無法整除，顯然第一類有0組；

第二類，三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)相同，比如1+1+8=10，在第一步插板法中，一共會(huì)產(chǎn)生(1,1,8)(1,8,1)(8,1,1)共3個(gè)與1、1、8相關(guān)的、實(shí)際上只能視為一種情況的數(shù)組，所以我們應(yīng)該對(duì)第二類的所有情況進(jìn)行“三合一”處理，也就是“除序”，即“除以三”來消除三種不同順序帶來的重復(fù)——通過對(duì)重復(fù)的數(shù)字從小到大的枚舉我們一共找到了(1,1,8)(2,2,6)(3,3,4)(4,4,2)四種屬于第二類的數(shù)組，而它們每一個(gè)都有另外2個(gè)分身，所以在第一步的36種情況中，一共有4×3=12種屬于第二類，那么第二類經(jīng)過除序后實(shí)際就有——12÷3=4組無序數(shù)組；

最后是第三類、這也是情況最多的一類，那就是“三個(gè)數(shù)互不相同”，使用排除法，a+b+c=10的一共36種情況中有0+12=12種屬于第一、二類，那么第三類就剩下了36-12=24種！

這24種都是形如“1+3+6=10”這樣的情況，對(duì)于數(shù)組(1,3,6)，它還有五個(gè)“孿生兄弟”分別是：(1,6,3)(3,1,6)(3,6,1)(6,1,3)(6,3,1)，所以第三類經(jīng)過除序后實(shí)際就有——24÷6=4組無序數(shù)組！

綜合以上三類情況，一共就有0+4+4=8組符合（ ）+（ ）+（ ）=10的無序填法！

接下來，⑨老師回顧了一下“拆數(shù)游戲”的兩種做法——

以上兩種做法都各有特點(diǎn)，第一種有序枚舉法看上去更省事更簡(jiǎn)單，第二種先插板再除序的方法看上去則更迂回卻又在思維層面上更為透徹。

“如果要我來總結(jié)兩種方法的共通之處的話，”⑨老師若有所思，“我想要強(qiáng)調(diào)的就是——限制自由！”

沒錯(cuò)、限制自由！

在無序的自由中尋找有序的約束，這種約束，更像是一條幫助解題的線索，對(duì)于解題而言，這就仿佛漂浮在“自由之海”上無助的人看見了從輪船上拋下來的“約束之繩”，相信那個(gè)時(shí)候的那個(gè)人不會(huì)因?yàn)?/span>“自由”而心生喜悅，也不會(huì)因?yàn)?/span>“約束”而感到排斥。

接著——

“如果要我來對(duì)比兩種方法的不同的話，”⑨老師若有所悟，“我想要強(qiáng)調(diào)的就是——更多的束縛往往讓某事物后期更強(qiáng)大！就好像我封印的左眼解開封印時(shí)將會(huì)引發(fā)強(qiáng)大的效果一樣！”

第二種方法看似復(fù)雜、無效率，僅僅是因?yàn)槲覀兊挠?jì)數(shù)對(duì)象還比較少而已！

如果我們把拆數(shù)游戲從“和為10拆3數(shù)”推廣到“和為100拆4數(shù)”會(huì)怎樣呢？

第一種方法還是那么好用嗎？

“當(dāng)?shù)弥还灿?/span>7153種拆法之后，”⑨老師冷笑，“我想沒有人愿意再用第一種方法來枚舉啦，只好編程讓電腦來算。”

而一開始不被看好的方法二，卻能夠用差不多的步驟（先插板后除序）以及稍微多一點(diǎn)的分類討論（四數(shù)相同、三數(shù)相同、兩對(duì)兩數(shù)相同、僅兩數(shù)相同、四數(shù)互不相同以及這些分類之間的容斥）來解決。

“說了挺多廢話，”⑨老師覺得偏離主題，打算最后說回到拆數(shù)游戲上來，“其實(shí)只需記住以下這條——

“無序計(jì)數(shù)需要人為定序、或是先有序再除序！”

?

其三、皮克定理

數(shù)過了正方形，玩過了拆數(shù)游戲，⑨老師興致仍不減半分，作為“奧術(shù)老師”的自我修養(yǎng)似乎讓他更加自律起來，繼續(xù)嘗試去數(shù)“格點(diǎn)多邊形包含的格子數(shù)”——

“想要玩這個(gè)定理游戲”，⑨老師嘀咕，“首先得知道定理本身！”

于是他上網(wǎng)搜索了一下——

以上內(nèi)容引用自知乎詞條，從中大概可以知道皮克定理與格點(diǎn)多邊形的面積有關(guān)。但是⑨老師堅(jiān)持認(rèn)為皮克定理更應(yīng)該用來“數(shù)格點(diǎn)多邊形包含的格子數(shù)”而非直接算面積——因?yàn)閱蝹€(gè)格子的面積并不總等于1。

——皮克定理到底是做什么的呢？

“So easy！”⑨老師回答，“皮克定理就是說，一個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的多邊形內(nèi)含的方格數(shù)恰好等于多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)加上二分之一的多邊形邊上穿過的格點(diǎn)數(shù)再減一！”

舉個(gè)例子——

你能用皮克定理算出下圖中“愛心多邊形”內(nèi)含多少個(gè)方格嗎？

第一步、數(shù)內(nèi)點(diǎn)數(shù)，愛心多邊形內(nèi)部只有3個(gè)內(nèi)點(diǎn)（如下圖所示）；

第二步、數(shù)邊點(diǎn)數(shù)，愛心多邊形兩條邊相交之處（joint）即頂點(diǎn)，除了6個(gè)紅色頂點(diǎn)外，不要忘了邊上穿過的格點(diǎn)也要算，所以應(yīng)該再多2個(gè)非頂點(diǎn)的邊點(diǎn)，則一共有8個(gè)邊點(diǎn)（如下圖所示）；

第三步、內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊點(diǎn)數(shù)÷2-1=3+8÷2-1=6，所以愛心多邊形內(nèi)含6個(gè)方格；

第四步、通過直接數(shù)格子去檢驗(yàn)，內(nèi)含2個(gè)完整方格加4對(duì)半格一共確實(shí)是6個(gè)方格。

如果僅僅是講到這里，⑨老師知道大部分家長和學(xué)生都不會(huì)滿意——

其一、皮克定理怎么來的沒有講清楚；

其二、皮克定理公式怎樣才能快速記住？

恰好這兩點(diǎn)⑨老師都還有所研究，今天就和盤托出了！

先說其二，死記硬背也不是不行——

內(nèi)點(diǎn)加邊點(diǎn)除以二減一

內(nèi)點(diǎn)加邊點(diǎn)除以二減一

內(nèi)點(diǎn)加邊點(diǎn)除以二減一

多背、多用個(gè)幾次應(yīng)該就行了。

但的確非常笨拙，沒有任何爽點(diǎn)。

“我想大家都應(yīng)該背過圓周率吧？”⑨老師說，“如果想要記住小數(shù)點(diǎn)后面很多位，強(qiáng)行找點(diǎn)規(guī)律，編個(gè)順口溜是不錯(cuò)的——”

按照上圖這種想法，更勝一籌，⑨老師就給大家講一個(gè)聽完就能記住并且還有那么點(diǎn)道理的小故事——

哈哈！

聽完這個(gè)腦洞故事，⑨老師敢保證沒有一個(gè)人記不住這個(gè)式子！

長期記憶的問題也就解決了！

相信大部分家長、同學(xué)到此就會(huì)滿意的！

但是肯定仍然有一部分家長、同學(xué)會(huì)比較較真——

所以讓⑨老師再講下其一、皮克定理怎么來的！

“是的，你沒聽錯(cuò)！有我在，小學(xué)生也能搞懂皮克定理！”

⑨老師自信地拍拍胸脯，繼續(xù)講——

“還記得我之前說過一句英文嗎？Finding order in disorder，也就是在無序中尋找有序，根據(jù)數(shù)正方形、拆數(shù)游戲的經(jīng)驗(yàn)，我們需要從過多的自由中主動(dòng)增加約束，從而以這條約束為線索，找出解題的思路——

“觀察皮克定理中等量關(guān)系——格子數(shù)=內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊點(diǎn)數(shù)÷2-1，發(fā)現(xiàn)格子數(shù)與內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)都有關(guān)，如果內(nèi)點(diǎn)數(shù)、外點(diǎn)數(shù)都在變化，那么就搞不清楚它們分別對(duì)格子數(shù)的影響了，所以——

“所以！我們需要——控制變量！人為約束一個(gè)變量，讓格子數(shù)暫時(shí)只與另一個(gè)變量有關(guān)！”

如下圖所示——

⑨老師精心設(shè)計(jì)了五個(gè)格點(diǎn)多邊形，它們的內(nèi)部均不包含格點(diǎn)！

既然內(nèi)點(diǎn)數(shù)都是0，那么格子數(shù)就只和邊點(diǎn)數(shù)有關(guān)系！

于是從上到下，格點(diǎn)多邊形的邊點(diǎn)數(shù)分別是：4、5、6、7、8，而格子數(shù)（可直接去數(shù)）則分別是：1、1.5、2、2.5、3。

“相信大家不難發(fā)現(xiàn)，邊點(diǎn)數(shù)每增加1，對(duì)格子數(shù)的貢獻(xiàn)卻只有半個(gè)！而就算我們把邊點(diǎn)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)除以2得到：2、2.5、3、3.5、4，這串?dāng)?shù)也比格子數(shù)多1！“

所以通過找規(guī)律，我們可以歸納出——格子數(shù)=邊點(diǎn)數(shù)÷2-1！

找到了格子數(shù)與邊點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，接下來我們可以切換待控制的變量——

如下圖所示——

⑨老師精心設(shè)計(jì)了四個(gè)格點(diǎn)多邊形，它們都有4個(gè)邊點(diǎn)（上圖紅色點(diǎn)）！

既然邊點(diǎn)數(shù)都是4，那么格子數(shù)的變化就只和內(nèi)點(diǎn)（上圖綠色點(diǎn)）數(shù)的變化有關(guān)系！

于是從上到下，格點(diǎn)多邊形的邊點(diǎn)數(shù)分別是：4、4、4、4、4，格點(diǎn)多邊形的內(nèi)點(diǎn)數(shù)分別是：0、1、2、3，而格子數(shù)（可直接去數(shù)）分別是：1、2、3、4。

“相信大家不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沒有內(nèi)點(diǎn)時(shí)，4個(gè)邊點(diǎn)帶來的是1個(gè)格子，而后續(xù)邊點(diǎn)數(shù)不變，內(nèi)點(diǎn)數(shù)每多1，格子數(shù)也多1！”

所以通過找規(guī)律，我們可以歸納出——格子數(shù)=內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊點(diǎn)數(shù)÷2-1！

至此！

⑨老師用皮克定理去數(shù)格點(diǎn)多邊形內(nèi)含格子數(shù)的推理游戲就全部結(jié)束了！

“如果讓我來總結(jié)一下的話，”⑨老師說，“那就是——與數(shù)正方形、拆數(shù)游戲一樣！我們不能讓自由失控成為無序，而應(yīng)該主動(dòng)控制自由，能夠控制的自由，才是真正的自由！”

其四、于無序?qū)び行?，從?shù)學(xué)悟生活

探索完三個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，⑨老師終于停了下來。

他把目光投向窗外——

這座城市高樓林立，在陽光的照耀下，刺眼的玻璃幕墻，斑駁掉漆的外立面，界線分明的陰影都是那么的真實(shí)，天空朵朵白云緩慢地變幻著姿態(tài)，似乎一再提醒人們，時(shí)間、不要忘了時(shí)間正在流逝，看似一成不變的高樓，也在一點(diǎn)一點(diǎn)地落灰與掉漆——但城市的主宰，人類，卻又壯志滿滿，一邊粉刷著墻面，一邊擦拭著玻璃，還不斷把新的建筑堆疊在樓宇之間的間隙……

看著這番景象，⑨老師動(dòng)筆寫下一段感悟——

熱力學(xué)第二定理告訴我們，熵隨時(shí)間增加，整個(gè)宇宙朝著更加均勻、更加無序的方向發(fā)展；但人類本身卻又用種種行動(dòng)反抗熵增，甚至在某些局部戰(zhàn)場(chǎng)還反擊成功，比如空調(diào)就可以在炎炎夏日讓人們?cè)诟惺芮锶盏臎鏊?/span>……

這讓我不禁想到，人的身體隨時(shí)間熵增，但人的意識(shí)卻努力地追尋熵減，讓他們?cè)谌松?jīng)歷中不斷反思總結(jié)，形成屬于自己的有序信條或原則，但這些規(guī)則僅僅是不同人的不同選擇，沒有絕對(duì)的好壞之分。

人生只有一次，所以我們也只能選擇一次，那么解出人生難題的方法是什么呢？

很簡(jiǎn)單，和做數(shù)學(xué)題一樣，弱水三千，只取一瓢，約束自由，堅(jiān)持原則，貫徹信念直到最后即可。

愿我們堅(jiān)持做適合自己的事，愿我們都有光明的未來！