這篇文章[1]反映了阿諾德對布爾巴基的批判，對龐加萊直覺主義的支持。

撰文 | Vladimir Arnold

圖1 獲2008年邵逸夫數(shù)學(xué)科學(xué)獎時(shí)的阿諾德(圖片來源：http://shawprize.org)

數(shù)學(xué)是物理學(xué)的一部分。物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)乃是物理學(xué)中實(shí)驗(yàn)代價(jià)較小的部分。

雅可比恒等式(蘊(yùn)涵垂心定理：三角形的三條高相交于一點(diǎn))[2]如同地球是圓的(即同胚于球體)一樣，是一個實(shí)驗(yàn)事實(shí)，只不過發(fā)現(xiàn)前者不那么昂貴。

20世紀(jì)中葉，人們試圖割裂物理學(xué)與數(shù)學(xué)。其后果已被證明是災(zāi)難性的。整整幾代數(shù)學(xué)家在對其所從事科學(xué)之另一半極其無知的情況下成長，遑論其他科學(xué)了。這些人先是把他們丑陋的學(xué)院式偽數(shù)學(xué)傳給他們的弟子，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被教給中小學(xué)校里的孩子們（他們渾然忘卻了哈代的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在世上無永存之地[3]）。

學(xué)院式數(shù)學(xué)脫離物理，既于教學(xué)無益，又對其他科學(xué)無用武之地，其后果是人們對數(shù)學(xué)家的普遍怨恨。這樣的人有學(xué)校里那些可憐的孩子們（他們當(dāng)中有的可能還會成為將來的部長），也有應(yīng)用這些數(shù)學(xué)的人。

圖2 法國巴黎探索皇宮

由那些既無法掌握物理學(xué)又困倦于自卑中的半桶水式數(shù)學(xué)家們所拉起來的丑陋建筑，總使人想起“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。顯然，完全可以創(chuàng)造一種能夠使得學(xué)生們稱贊其完美無暇、內(nèi)部結(jié)構(gòu)和諧統(tǒng)一的理論（例如，可定義奇數(shù)個項(xiàng)的和以及任意多個因子的乘積）。按此狹隘觀點(diǎn)，偶數(shù)要么被認(rèn)為是“異端”，要么以后被當(dāng)作“理想”對象補(bǔ)充入該理論，以此來應(yīng)付物理與現(xiàn)實(shí)世界的需要。

不幸的是，數(shù)十年來，正是如上述這樣丑陋扭曲的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)充斥著我們的數(shù)學(xué)教育。它肇始自法國，很快傳染到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國，接著是其他國家，包括俄羅斯）。

倘若你問法國小學(xué)生，“2+3等于幾”，他會這樣回答：“3+2，因?yàn)榧臃ㄟm合交換律”。他不知道其和為幾，甚至不能理解你的問題是什么！

還有的法國小學(xué)生會如下闡述數(shù)學(xué)（我認(rèn)為很有可能）：“存在一個正方形，但仍需證明。”

根據(jù)我本人在法國的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)生們對數(shù)學(xué)的認(rèn)知與這些小學(xué)生們同樣槽糕(甚至包括那些在“高等師范學(xué)?！盵高師][4]里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生──我為這些明顯很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜)。

從洛必達(dá)的第一部微積分教科書(名字即為“用于理解曲線的微積分”)[5]開始，大致到古爾薩寫的課本[6]，解決這些問題的能力(和熟悉單位數(shù)乘法表一樣) 一直都被認(rèn)為是每一個數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)具備的基本技能。

弱智的“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者將幾何(由此物理和現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系能常在數(shù)學(xué)中反映)統(tǒng)統(tǒng)摒除于教學(xué)之外。由古爾薩、埃爾米特、皮卡等人寫的微積分教程被認(rèn)為是過時(shí)而有害的，最近差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的學(xué)生圖書館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。

這樣的事情怎么會在法國發(fā)生呢？！這可是為我們這個世界貢獻(xiàn)了拉格朗日與拉普拉斯、柯西與龐加萊、勒雷與托姆這樣的大家的國度??！我覺得一個合理的解釋出自彼德羅夫斯基[7]。他在1966年曾教導(dǎo)過我：真正的數(shù)學(xué)家決不會拉幫結(jié)派，唯有弱者才會結(jié)黨營生。他們可能因各種原因而聯(lián)合(可能為超抽象，反猶主義或?yàn)椤皯?yīng)用的和工業(yè)上的”問題)，但其本質(zhì)總是在一些非數(shù)學(xué)的社會問題中求生存。

我在此順便提醒大家溫習(xí)路易?巴斯德[8]的忠告：從來沒有所謂的“應(yīng)用科學(xué)”，有的只是科學(xué)的應(yīng)用 (而且非常實(shí)際的應(yīng)用！)。

當(dāng)時(shí)我一直對彼德羅夫斯基的話心存疑慮，但現(xiàn)今我愈來愈堅(jiān)信：他說的一點(diǎn)沒錯?？捎^的超抽象活動最終歸結(jié)為以工業(yè)化的模式無恥地掠奪原創(chuàng)者的成果，然后系統(tǒng)地將這些成果歸功于拙劣的推廣者。就如美洲沒有以哥倫布的名字命名一樣，數(shù)學(xué)結(jié)果也幾乎從未以它們真正的發(fā)現(xiàn)者來命名。

為避免被誤引，我須聲明，由于某些未知的緣故，我自己的成果從未被上述方式侵占，雖然這樣的事情經(jīng)常發(fā)生在我的老師(柯爾莫哥洛夫、彼德羅夫斯基、龐特里亞金、洛赫林) 和我的學(xué)生身上。M.Berry教授曾提出如下兩個原理：Arnold原理：如果某概念出現(xiàn)了某人名，則該人必非發(fā)現(xiàn)此概念者。

Berry原理：阿諾德原理適用于自身。

我們還是回到法國的數(shù)學(xué)教育上來。

在我為莫斯科國立大學(xué)數(shù)學(xué)與力學(xué)系一年級學(xué)生時(shí)，微積分課教師是集合論拓?fù)鋵W(xué)家L.A. 圖馬金。他認(rèn)真地講解古爾薩版的古典法式微積分教程。他告訴我們?nèi)粝鄳?yīng)黎曼面是球面，則有理函數(shù)沿著代數(shù)曲線的積分可以求出來；若相應(yīng)黎曼面虧格更高，則該積分一般來說不可求；此外，給定次數(shù)曲線上二重點(diǎn)個數(shù)足夠多，則對應(yīng)曲面可為球面 (由此知該曲線是有理的：即可以將其實(shí)值點(diǎn)在射影平面上一筆畫出來)。

這些結(jié)果 (即使不給出證明)緊緊地抓住了我們的想象，它們表現(xiàn)了更好更正確的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想，比布爾巴基學(xué)派[9]那卷帙浩繁的所有論著不知道好到哪里去了。確實(shí)，我們能在這里找到表面上似乎完全不同的事物之間令人驚奇的聯(lián)系：一方面，積分可否顯式表達(dá)與相應(yīng)黎曼面的拓?fù)溆嘘P(guān)；另一方面，相應(yīng)的黎曼面上的虧格與二重點(diǎn)個數(shù)之間也有重要的聯(lián)系。這又和黎曼面的實(shí)部分的一筆畫性質(zhì)相關(guān)聯(lián)。

圖6 1938年布爾巴基會議（從左到右分別為：Simone Weil, Charles Pisot, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann, Jean Delsarte）

作為數(shù)學(xué)中最迷人的性質(zhì)之一，雅可比曾指出：同一個函數(shù)控制著用四個平方數(shù)之和對整數(shù)的表示[10]以及擺的真實(shí)運(yùn)動。

發(fā)現(xiàn)這些不同種類的數(shù)學(xué)對象之間聯(lián)系，就如發(fā)現(xiàn)物理學(xué)中電與磁之間聯(lián)系，也類似于地質(zhì)學(xué)上發(fā)現(xiàn)美洲大陸的東海岸與非洲大陸的西海岸之間的相似性。

這些發(fā)現(xiàn)對于教學(xué)的情感意義是難以估量的。正是它們指引著我們?nèi)パ芯亢桶l(fā)現(xiàn)宇宙中和諧而精彩的現(xiàn)象。

然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及對物理學(xué)的背離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅是學(xué)生，絕大部分的當(dāng)代代數(shù)幾何學(xué)家也都不知道如下雅可比事實(shí)：第一類橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個橢圓相曲線的運(yùn)動時(shí)間。

套用關(guān)于電子與原子的著名說法，可以說圓內(nèi)旋輪線就如同多項(xiàng)式環(huán)中的理想一樣是無窮竭的。但若要把理想這一概念教給從不知道圓內(nèi)旋輪線的學(xué)生，就如把分?jǐn)?shù)加法教給從未將蛋糕或蘋果等分切割過(至少在腦子里切過)的學(xué)生一樣令人迷惑。一點(diǎn)也不奇怪孩子們做分?jǐn)?shù)加法時(shí)常常分子加分子、分母加分母。

我從法國朋友那里聽說這種超抽象的一般化正是他們的傳統(tǒng)國民性。我不完全否認(rèn)這種遺傳病的說法，不過我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個從龐加萊那兒借來的“蛋糕與蘋果”的例子[11]。

構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與在其它自然科學(xué)中建立理論的方式完全相同。首先我們要考察某些對象并在特定例子中進(jìn)行觀察。然后我們通過試驗(yàn)找到所得觀察結(jié)果適用的邊界，尋求反例以阻止我們將所得想當(dāng)然地推廣到過于廣泛的情形(例如：將連續(xù)奇數(shù)1,3,5,7,9拆為奇數(shù)個自然數(shù)之和的分拆數(shù)[12]給出序列1,2,4,8,16，但接下來卻是29)。

我們盡可能清晰地將所得經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)(如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想)表述為結(jié)論。之后的階段將是困難的，因?yàn)橐獧z驗(yàn)所得結(jié)論在多大程度上可靠。

圖8 圖為法國1952年發(fā)行的紀(jì)念龐加萊郵票

數(shù)學(xué)中已對此發(fā)展出來一套特別的方法。這種方法，在被應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，有時(shí)很有用，但有時(shí)也會導(dǎo)致自欺欺人。這就是“建?！薄＝r(shí)需做如下理想化：某些只以一定概率或一定的精確性知道的事實(shí)，被認(rèn)為是“絕對”正確的并被當(dāng)作“公理”來接受。這種“絕對性”的意義，恰在于我們?nèi)菰S自己根據(jù)形式邏輯規(guī)則來運(yùn)用這些“事實(shí)”，而后把所有從這些事實(shí)推導(dǎo)出的結(jié)論稱為“定理”。

顯然在任何現(xiàn)實(shí)活動中，要完全依賴于這樣的推理是不可能的。原因至少在于所研究現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對準(zhǔn)確地確定，而且參數(shù)(例如過程的初始條件)的微小變化能夠完全地改變結(jié)果。例如，正是因?yàn)檫@個原因使得任何可信賴的長期天氣預(yù)報(bào)都是不可能的，將來也無可能——無論計(jì)算機(jī)或是記錄初始條件的設(shè)備有多發(fā)達(dá)。

與此同理，(不能完全可靠的)公理的一個小小改變，通常能得出與從這些公理推導(dǎo)出來的定理完全不同的結(jié)論。推理之鏈(“證明”)越長越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論的可靠性就越低。

復(fù)雜的模型(除了對寫論文的人)幾乎毫無用處。

數(shù)學(xué)建模方法忽略這些麻煩，把所得到的模型當(dāng)成是確切地與現(xiàn)實(shí)世界相吻合的。從自然科學(xué)的觀點(diǎn)來看,這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的結(jié)果，該事實(shí)被稱為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效性”(或叫做“魏格納原理”)[13]。

圖9 匈牙利1999年發(fā)行的魏格納紀(jì)念郵票

我在此提一下蓋爾方德的一個觀點(diǎn)：還有另一類與魏格納注意到的數(shù)學(xué)在物理中不可思議的有效性相仿的現(xiàn)象——即數(shù)學(xué)在生物學(xué)中也同樣有不可思議的有效性。

然而，我還要提到，這個唯一性定理也可解釋船只在停泊碼頭時(shí)的靠岸階段為什么必須要人工操作：倘若機(jī)動，設(shè)行進(jìn)的速度是距離的光滑(線性)函數(shù)，則整個靠岸的過程將會耗費(fèi)無窮長的時(shí)間。否則只能采取與碼頭相撞(船與碼頭之間要有非理想的彈性物體形成緩沖)的方法。值得指出的是，月球和火星探測儀器的著陸以及空間站的對接時(shí)，此類問題曾嚴(yán)肅地?cái)[在我們面前——此時(shí)唯一性問題在與我們做對。

不幸的是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)教材里，即便是其中較好者，既沒有這樣的例子，也沒有討論迷信定理的危險(xiǎn)性。我甚至覺得，那些學(xué)院派數(shù)學(xué)家(對物理知之甚少)都對公理化形式的數(shù)學(xué)與建模的主要差異習(xí)以為常，而且他們覺得在自然科學(xué)中這是很普遍的，只是需要用后期的實(shí)驗(yàn)來控制理論推演。

即使不提及初始公設(shè)的相對特征，人們也不會忘記在冗長的論證中犯邏輯錯誤是不可避免的(例如，宇宙射線或量子振動引發(fā)計(jì)算機(jī)崩潰)。任何做研究的數(shù)學(xué)家都知道，如果不對自己有所控制(最好的方法是用實(shí)例來控制)，那么在大約10頁紙的論述之后，半數(shù)公式中的符號會出問題，而數(shù)字2會從分母跑到分子的位置上。

與如此謬誤相抗的技術(shù)在任何實(shí)驗(yàn)科學(xué)中都一樣，都是通過實(shí)驗(yàn)與觀察進(jìn)行的外部控制。而且這一技術(shù)應(yīng)該一開始就教給所有大學(xué)低年級的學(xué)生。

試圖創(chuàng)造“純粹”推論式公理化數(shù)學(xué)的做法，導(dǎo)致了摒棄物理學(xué)中研究模式 (觀察-建模-研究模型-得出結(jié)論-再由觀察來檢驗(yàn))，而代之以定義-定理-證明的模式。人們不可能理解一個沒有來由的定義，但這并不能阻止“代數(shù)-公理學(xué)家”違規(guī)。例如，他們會用長乘規(guī)則來定義自然數(shù)的乘積。這樣一來，乘法的交換性變得難以證明，但仍可以從公理中得出這樣的定理。這樣就可能逼迫可憐的學(xué)生來學(xué)習(xí)該定理及其證明(其目的不外乎是提升這門學(xué)科以及教授它的人的地位)。顯然，如此定義、如此證明只會傷害教學(xué)和實(shí)際工作。

要理解乘法的可交換性，只有通過分別按行、列來數(shù)方陣?yán)锸勘鴶?shù)，或用這兩種方式來計(jì)算長方形的面積才可能。做不與物理和現(xiàn)實(shí)世界交叉的數(shù)學(xué)的任何企圖都屬于宗派主義和孤立主義。這必將破壞所有具有合理思維能力的人們眼中數(shù)學(xué)創(chuàng)造是有用的人類活動的這一美好印象。

我再揭示幾個這樣的秘密(以此來幫助可憐的學(xué)生們)。

一個矩陣的行列式就是一個以矩陣的各列為各邊的平行多面體的(有向)體積。如果學(xué)生們被告知了這個秘密(在純粹的代數(shù)式的教育中，該秘密被小心地隱藏著)，則整個行列式理論都將成為多維線性型理論的一部分。如果用別的方式來定義行列式，則任何聰明人都將會永遠(yuǎn)怨恨行列式、雅可比式以及隱函數(shù)定理這些東西。

什么是一個群呢？代數(shù)學(xué)家會這樣來教學(xué)：這是附有兩個滿足一組令人容易忘卻的規(guī)則的運(yùn)算的集合。這個定義會引起自然的抗議：為何需要這一對運(yùn)算？“哦，該死的數(shù)學(xué)”——這就是學(xué)生們的結(jié)論(將來他們中有人可能成為國家科學(xué)部長)。

如果我們按照歷史發(fā)展的順序，不是由群而是從變換的觀點(diǎn)(一個集合到自身的1-1映射) 出發(fā)，我們就有完全不同的情形。一個集合的一族變換稱為一個群，如果其中任何兩個變換的復(fù)合仍在此族內(nèi)，并且每個變換的逆變換也是如此。

此即該定義的核心。那些所謂的“公理”事實(shí)上僅為變換群(明顯)的性質(zhì)。公理化主義者所稱的“抽象群”不過是同構(gòu)(保持運(yùn)算的1-1映射)意義下不同集合的變換群。正如凱萊所證明的，根本就不存在“更抽象的”群。那么為什么代數(shù)學(xué)家仍要用抽象的定義來折磨學(xué)生呢？

順便提一下，1960年代我曾為莫斯科的中學(xué)生們講授群論。我未使用任何公理，盡可能地貼近物理，半年時(shí)間我就能教給學(xué)生一般五次方程無根式解的阿貝爾定理 (同時(shí)還教了復(fù)數(shù)、黎曼面、基本群以及代數(shù)函數(shù)的單值群)。這門課程的內(nèi)容后來由我的一個聽眾V. Alekseev編輯成書出版，書名為The Abel theorem in problems & solutions[16]。

什么是一個光滑流形？我見到一本美國人最近撰寫的書稱龐加萊對此概念并不清晰(盡管是由他引入的)，其“現(xiàn)代的”定義直到上世紀(jì)20年代末期才由維布倫給出：一個流形是滿足一系列公理的一個拓?fù)淇臻g。

學(xué)生們究竟為何罪孽要在這些扭轉(zhuǎn)曲折中嘗試、摸索來尋求其正途？事實(shí)上，在龐加萊的《位置分析》(Analysis Situs) 中有比現(xiàn)代“抽象”定義更有用，也絕對更清晰的定義。

圖12 1887年的埃爾米特(1822-1901)；圖13 埃爾米特的微積分教程標(biāo)題頁

光滑流形之間的光滑映射可自然地定義。微分同胚是其逆也光滑的光滑映射。

“抽象”光滑流形是在微分同胚意義下的歐氏空間的光滑子流形。世上根本無所謂“更抽象的”有限維光滑流形(惠特尼定理)。為什么我們總是要用抽象的定義來折磨學(xué)生們呢？把閉二維流形(曲面)的分類定理證給學(xué)生看難道不更好嗎？

恰是如此精彩的定理(例如，任意緊連通的可定向曲面都是一個帶若干柄的球面) 使我們對什么是現(xiàn)代數(shù)學(xué)有了一個正確的印象，而不是那些歐氏空間簡單子流形的超抽象的推廣，事實(shí)上后者根本沒有給出任何有新意的東西，不過是被公理化主義者們作為成果用來炫耀的而已。

圖11 帶三個柄的球面

曲面分類定理是頂級的數(shù)學(xué)成就，堪比美洲大陸或X射線的發(fā)現(xiàn)。這是數(shù)學(xué)自然科學(xué)里一個真正的發(fā)現(xiàn)，我們甚至難說該發(fā)現(xiàn)是屬于物理學(xué)的或?qū)儆跀?shù)學(xué)的。它對應(yīng)用以及對發(fā)展正確的世界觀的意義目前已超越了數(shù)學(xué)中的其他“成就”——如費(fèi)馬大定理的證明，或?qū)θ魏纬浞执蟮恼麛?shù)都能表示成三個素?cái)?shù)之和這類事實(shí)的證明。

為了出風(fēng)頭，當(dāng)代的數(shù)學(xué)家有時(shí)候總要展示一些“運(yùn)動會式的”成就，并聲稱那就是他們的學(xué)科里蓋棺之作?？上攵@樣的做法不僅無助于社會對數(shù)學(xué)的欣賞，而且適得其反，會使人們產(chǎn)生疑問：對于這樣的毫無用處的奇異問題，有必要浪費(fèi)力量來做這些(仿佛攀巖似的)練習(xí)嗎？

曲面分類定理應(yīng)該放到高中數(shù)學(xué)的課程里(或許不加證明)，但由于某些原因甚至在大學(xué)的數(shù)學(xué)課程里也找不到(順便提一下，在法國近幾十年來所有的幾何都從大學(xué)課程中被刪去)。

所有層次的數(shù)學(xué)教育由學(xué)院式腔調(diào)全面回歸到展示自然科學(xué)的重要領(lǐng)域，對法國來說是一個極其重要的任務(wù)。使我感到異常震驚的是所有那些寫得最好而且最重要的闡述數(shù)學(xué)方法的書在這里卻幾無學(xué)生知曉(在我看來，甚至可能沒被譯為法文)。這些書有拉德梅徹-托普利茨寫的《論數(shù)與形》、希爾伯特和康福森寫的《直觀幾何》、柯朗和羅賓斯寫的《數(shù)學(xué)是什么》、波利亞寫的《如何解題》和《數(shù)學(xué)合情推理》、克萊因?qū)懙摹?9世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史》[17]。

我清晰地記得，當(dāng)我在學(xué)校求學(xué)時(shí)，埃爾米特所寫的微積分教程[18]（有俄語譯本?。┙o我留下了多么強(qiáng)烈的印象。

我記得在最開始幾講中就出現(xiàn)了黎曼曲面(當(dāng)然所有分析的內(nèi)容都是針對復(fù)變量的，也本該如此) 。而漸近積分理論是在分支點(diǎn)運(yùn)動下通過黎曼曲面上道路形變的方法來研究(如今，我們稱此方法為皮卡-萊夫謝茨理論；順便提一下，皮卡是埃爾米特的女婿——數(shù)學(xué)能力往往是由女婿來傳承：阿達(dá)馬—萊維—許瓦茲—弗里希王朝就是巴黎科學(xué)院中另一范例)。

埃爾米特一百多年前撰寫的教程(也許早就被法國大學(xué)的學(xué)生圖書館扔掉了)，已被認(rèn)為“過時(shí)”，但實(shí)際上要比那些折磨學(xué)生、最令人無聊的微積分課本現(xiàn)代化得多。

如果數(shù)學(xué)家們再不醒悟，則那些對(在最恰當(dāng)意義下的)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論仍有需要，同時(shí)又對那些毫無用處的公理嘮叨具有免疫力(任何具有合理思維的人共有的特點(diǎn)) 的消費(fèi)者終將會拒絕這些中學(xué)和大學(xué)里面教育不良的學(xué)究們所提供的服務(wù)。

一位數(shù)學(xué)教師，倘若至今還未掌握多卷本的朗道和栗弗席茲的教程[19]中的一部分知識，必將成為古董，猶如迄今仍不懂開集與閉集之間差別的人。

圖14 2008年阿塞拜疆發(fā)行的紀(jì)念朗道誕辰100周年的郵票

圖15《理論物理學(xué)教程第三卷：量子力學(xué)(非相對論理論)》封面

致謝：譯者感謝陸俊博士對文中代數(shù)幾何等部分內(nèi)容的討論，也特別感謝美國西北大學(xué)徐佩教授的閱讀校訂。

——2012年6月于比勒費(fèi)爾德

參考文獻(xiàn)

[1] 作者為著名的俄羅斯數(shù)學(xué)家弗拉基米爾?阿諾德 ( Vladimir Igorevich Arnold, 1937-2010)。他是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，曾獲克拉福德獎(1982)、沃爾夫獎(2001)和邵逸夫獎(2008)等獎。此文為1997年3月7日作者在法國巴黎探索文化宮(Palais de la Découverte，為法國科學(xué)教育中心博物館)所發(fā)表演講的擴(kuò)充版，以俄文發(fā)表于Uspekhi Mat. Nauk 53( 1998), no. 1(319), 229-234; 英譯見Russian Math. Surveys 53(1998), no. 1, 229-236。英譯網(wǎng)頁版本可參http://pauli.uni-muenster.de/~munsteg/arnold.html。亦有中譯流傳于網(wǎng)絡(luò)。然而此中譯不僅有筆誤、漏譯等不完善處，錯譯也不少。因該中譯譯者佚名，現(xiàn)遵《數(shù)學(xué)文化》主編之托，參考該中譯，根據(jù)英譯重譯該文。英譯中也有不清晰處，是故徐佩教授也幫助參考了俄文。譯文中盡可能為初學(xué)者可能不熟悉的部分、較易說清楚的內(nèi)容加了些注釋并配圖以方便閱讀。翻譯本非易事，本文涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容又很廣，錯誤、不恰當(dāng)處請讀者批評。最后，關(guān)于阿諾德的故事以及與本文類似的觀點(diǎn)的更多闡述，有興趣的讀者可閱讀他于1999年春意外受傷后養(yǎng)病期間撰寫的書Yesterday and Long Ago (原書為俄文，2006年出版；英譯2007年由Springer出版) 。

這篇文章反映了阿諾德對布爾巴基的批判，對龐加萊(Jules Henri Poincaré, 1854-1912)直覺主義的支持。值得指出的是，今年（2012）恰為龐加萊逝世100周年。

[3] 哈代(G. H. Hardy, 1877-1947)為英國著名數(shù)學(xué)家。該引語出自他的名著《一個數(shù)學(xué)家的自白》(A Mathematician′s Apology, Cambridge University Press, 1994)。整段表達(dá)為：正像畫家和詩人的模式一樣，數(shù)學(xué)家的模式也必須是優(yōu)美的；正像色彩和文字一樣，數(shù)學(xué)家的思想也必須和諧一致。優(yōu)美是第一關(guān)：丑陋的數(shù)學(xué)在世上無永存之地。(The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must ?t together in a harmonious way. Beauty is the ?rst test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics. )

[4] 高師是法國最好的大學(xué)，法國最具選拔性和挑戰(zhàn)性的高等教育研究機(jī)構(gòu)。校友中迄今已有施瓦茨、托姆以及新近的吳寶珠、維拉尼等共10位菲爾茲獎得主。

[5] 洛必達(dá)(Guillaume Fran?ois Antoine, Marquis de l'H?pital, 1661-1704)，法國數(shù)學(xué)家。所提他撰寫的教材原文名為Analyse des infiniment petits pour l′intelligence des lignes courbes，1696年出版。著名的洛必達(dá)法則即出現(xiàn)在此書中。

[6] 古爾薩(Edouard Goursat, 1858-1936)，法國數(shù)學(xué)家。他的課本指1902年開始陸續(xù)出版的三卷本《數(shù)學(xué)分析教程》(Cours d′analyse mathématique)。中譯最早有19世紀(jì)30年代王尚濟(jì)的《解析數(shù)學(xué)講義》以及40年代劉景芳翻譯的《數(shù)學(xué)分析教程》。

[7] 彼德羅夫斯基(Ivan Georgievich Petrovsky, 1901-1973) 研究偏微分方程等，對希爾伯特第19和第16問題有重要貢獻(xiàn)。曾任莫斯科國立大學(xué)校長(期間阿諾德被錄取) 。

[8] 路易?巴斯德(Louis Pasteur, 1822-1895)，法國微生物學(xué)家、化學(xué)家，微生物學(xué)的奠基人之一。巴斯德原文常見英譯為 “There are no such things as applied sciences, only applications of science”。

[9] 尼古拉?布爾巴基(Nicolas Bourbaki)是二十世紀(jì)一群法國數(shù)學(xué)家為自己作品的集體筆名，其團(tuán)隊(duì)的正式稱呼是“尼古拉?布爾巴基合作者協(xié)會”。主頁為http://www.bourbaki.ens.fr。布爾巴基希望在集合論的基礎(chǔ)上用公理方法重新構(gòu)造整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)，致力于數(shù)學(xué)的嚴(yán)格化與一般化。布爾巴基認(rèn)為：數(shù)學(xué)，至少純粹數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)，序結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基他們自1935年開始撰寫題為《數(shù)學(xué)原理》(éléments de mathématique)的一系列著作以述說他們的觀點(diǎn)。這套書共9卷，有七千多頁。

[11] 龐加萊是直覺主義的先驅(qū)，認(rèn)為直覺是發(fā)明的工具。1905年龐加萊發(fā)表《數(shù)學(xué)中的直覺與邏輯》。英譯可參考http://www-history. mcs.st-and.ac.uk/Extras/Poincare_Intuition.html，中譯可參考《科學(xué)的價(jià)值》(李醒民譯，光明日報(bào)出版社，1988)。龐加萊在此文中討論了兩類數(shù)學(xué)家，而邁克爾?阿蒂亞爵士在其演講《二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)》中區(qū)分了形式主義傳統(tǒng)的代表人物(萊布尼茲—希爾伯特—布爾巴基)和直覺主義傳統(tǒng)的代表人物(牛頓—龐加萊—阿諾德)。此處“蛋糕與蘋果”的例子，按阿諾德所述，源自龐加萊。阿諾德 在一次俄法 “Mistral” 會議上的演講(參Yersterday and Long Ago, 第157頁)也提到分?jǐn)?shù)教學(xué)，明確提到龐加萊曾說，只有這兩種方式來教分?jǐn)?shù)。阿諾德還提到盧梭在其《懺悔錄》的回憶：只有在分割矩形后他才理解完全平方和公式

編輯切換為居中

[12] 舉例來說，5有如下7種整數(shù)分拆方式：5 = 5; 5 = 1 + 4; 5 = 2 + 3; 5 = 1 + 2 + 2; 5 = 1 + 1 + 3; 5 =2+ 1+ 1+ 1; 5 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1。其中為奇數(shù)之和的分拆數(shù)為4。歐拉曾經(jīng)證明奇數(shù)之和的分拆數(shù)與不等數(shù)之和的分拆數(shù)相等。

[13] 尤金?魏格納(Eugene Paul Wigner, 1902-1995)系匈牙利-美國物理學(xué)家，諾貝爾物理學(xué)獎獲得者(1963)。這一說法參魏格納的文章：The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Richard courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, Communications on Pure and Applied Mathematics ( 1960), 13:1, 1– 14.

編輯切換為居中

[15] 阿諾德在Yersterday and Long Ago(第36-37頁)中也提到相同的內(nèi)容，并說唯一性定理與物理現(xiàn)實(shí)不符是M. L. Lidov教給他的。

[16] 此書英譯2004年由Kluwer出版。阿諾德的針對中學(xué)生(14-16歲)的課程由正在進(jìn)行教學(xué)改革(更新歐幾里得傳統(tǒng))的柯爾莫哥洛夫組織。參考Yersterday and Long Ago第158–163頁。

[17] 《數(shù)學(xué)是什么》與《論數(shù)與形》的介紹，可參《數(shù)學(xué)文化》2012年第三期歐陽順湘作《最美的數(shù)學(xué)就如文學(xué)》一文。

[18] 埃爾米特的原著Cours d′analyse de lécole polytechnique ( 1873)，可下載自 http://archive.org/details/coursdanalysedel01hermuoft。

[19] 列夫?朗道(Lev Landau, 1908-1968)是前蘇聯(lián)著名物理學(xué)家，凝聚態(tài)物理學(xué)的奠基人。1962年的諾貝爾物理學(xué)獎獲得者。栗弗席茲(Evgeny Lifshitz, 1915-1985)為朗道的學(xué)生、理論物理學(xué)家。這里所提教程為著名的《理論物理學(xué)教程》，全書共10卷，由朗道、栗弗席茲與皮塔耶夫斯基等人合作完成。

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“數(shù)學(xué)文化”，原標(biāo)題為《論數(shù)學(xué)教育》。