用集合描述為：

｛（a，b）|a∈A，b∈B｝

 稱之為有序，是因為一般

（a，b）≠（b，a）

數(shù)學(xué)家將其稱之為AB的直積或笛卡爾積

如果知道平面直角坐標(biāo)系的別名叫笛卡兒坐標(biāo)系的話，就能理解這個名字了

利用A×B這個集合，我們就把兩個集合間元素關(guān)系變成了一個集合中元素的關(guān)系，兩個元素間有且只有兩種可能，要么有某種“關(guān)系”，要么沒有某種“關(guān)系”
那哪位同學(xué)可以僅考慮集合語言，說一說這個和集合里哪種關(guān)系類似呢？

學(xué)生D（迷惑）：

×是指什么？

老師（耐心解釋到）：

用集合描述為：

｛（a，b）|a∈A，b∈B｝

這個就是A×B,一個新集合。

學(xué)生A（補充）：

叫作原來兩個集合的直積，

可以看作原空間維數(shù)的一個擴(kuò)大。

老師（略顯興奮）：

比如兩根直線的笛卡爾積可以描述一個平面，

平面與直線的笛卡爾積可以描述空間。

老師（平靜了一下）：

你看A×B的元素形式

（a，b）

a是用A中一個元素決定的，b是由B中一個元素決定的，并且直線可以用集合描述，反之不可。而平面上一點也由x軸上一個值，y軸上一個值描述。這樣，兩個元素就變成一個元素（序?qū)Γ┝?，很好理解吧?br/>此時a與b有且只有兩種可能，要么有關(guān)系R，要么沒有關(guān)系R。
哪又有誰可以告訴我這個可以類比成元素（a，b）在A×B中哪個形式呢？

學(xué)生D（再次迷惑）：

老師，R是什么東西？

老師：

比如等于關(guān)系，平行關(guān)系，不是寫成

a＝b

a∥b

么？

R就是表示其中關(guān)系的那個符號。

學(xué)生B（突然）：

R是指relation吧？

老師：

是的，所以有無關(guān)系就可以看作在某個A×B的某個子集里。

學(xué)生A（自言自語道）：

a∈A b∈B?

老師：

因為一個元素，要么屬于一個子集，要么不屬于。

現(xiàn)在我們可以宣稱：

aRb（就是a與b有關(guān)系R）

等價于（a，b）∈S，S?A×B

學(xué)生D（持續(xù)迷惑）：

S又是個啥玩意?

老師：

S是一個集合：set。

老師（頓了一下）：

那么現(xiàn)在進(jìn)入舉例子階段：
設(shè)X是一個平面上所有的直線的集合。

X2（也就是X×X）

里選出所有兩兩平行的直線構(gòu)成一個子集，

a∥b，等價于（a，b）∈這個子集，

實數(shù)R，在R2中選出a≤b的所有情況。
構(gòu)成序?qū)Γ╝，b）（固定a左邊，b右邊），序?qū)M成的子集也對應(yīng)這個比較大小的關(guān)系。

老師（吸了口氣）：

不過搞這個惡心的概念，不僅僅是集合論學(xué)者的需求，也是為了惡心學(xué)生的，也是為了將各種關(guān)系抽象出來。

上面就是兩種常見關(guān)系——等價關(guān)系和偏序關(guān)系

像等價類，同余類，函數(shù)芽全都是這樣來的。

老師（劃重點）：

尤其是偏序！

學(xué)生A（疑問）：

等價是指:一個集合屬于另一個集合?

偏序:由大小決定（a，b）?

學(xué)生A（追問）：

集合（a，b）取決于a與b的大小?

這些概念是指什么？

老師（板書中）：

等價關(guān)系：
aRa（反身性）
若aRb，則bRa（對稱性）
若aRb，bRc則aRc（傳遞性）

偏序關(guān)系：
aRa（反身性）
若aRb，bRc，則aRc（傳遞性）
若aRb，bRa，則a＝b（反對稱性）

學(xué)生A（窮追不舍）：

話說R不僅指位置還有位置關(guān)系?

老師（劃重點）：

因為這兩個關(guān)系的建立不依賴集合的類型，所以可以獨立得出性質(zhì)。同時以后只需要證明某個關(guān)系是哪種關(guān)系，所需要的性質(zhì)就可以直接用。

學(xué)生D（略加思索）：

等價和偏序我怎么就看出一個區(qū)別……

老師（接著之前的重點）：

當(dāng)然了，因為aRb本質(zhì)上就是

（a，b）∈S?A×B

老師（回答）：

因為就是只有一個區(qū)別

學(xué)生D（做筆記中）：

還行……

學(xué)生C（迷惑）：

反對稱性不是很懂……

老師（解釋）：

a≥b，b≥a，則a＝b

學(xué)生D（提問）：

確立關(guān)系三個條件要同時滿足嗎？

老師（解釋）：

把關(guān)系進(jìn)行分類就需要同時滿足。

那么來一個無獎競猜：問函數(shù)關(guān)系的定義是？

學(xué)生B（不確定）：

自變量因變量什么的。

老師：

說起來你們聽過那個數(shù)學(xué)家燒水的故事就知道這個了吧……

學(xué)生A（不自信）：

y y∈某關(guān)系式?

老師：

就是初高中都強調(diào)的，一個自變量只能對應(yīng)一個因變量，對應(yīng)關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系的意思。

學(xué)生D（插嘴）：

一個x只能對應(yīng)一個y唄。

老師（進(jìn)一步解釋）：

也就是指：

若xRy1，xRy2，那么只能y1＝y(tǒng)2

這就是函數(shù)關(guān)系的定義，純用集合論語言，沒有含糊不清的“對應(yīng)關(guān)系”。

學(xué)生D：

y1y2必須相等。

學(xué)生B（小聲BB）：

（你直接說單射不就完了……

老師（糾正）：

單射是反過來

x1Ry，x2Ry，則x1＝x2。

這個才是單射......

其實偏序關(guān)系所要求的還不多，它并沒有要求兩兩元素一定可以比較大小。

而像實數(shù)這樣兩兩一定可以比較大?。ㄐ颍┑木徒芯€性序集。于是就可以把“這又沒有可比性”說成“這又不是線性序集”（霧）

上面這個小概念雖然大多只在數(shù)學(xué)層面出現(xiàn)得多
但是仔細(xì)觀察生活中的集合/事物，很多關(guān)系都可以歸類于那三種關(guān)系。
即使沒什么用......也很無聊......但是其中滲透了兩個重要的數(shù)學(xué)思想。
比如世界杯比賽就是個偏序集，但不是個線性序集。

學(xué)生C（疑問）：

為什么這么說呢？

老師（解釋）：

因為比賽要么A打敗或戰(zhàn)平B，要么反之。

學(xué)生B：

偏序就是為了比較大小而產(chǎn)生的……

路人（插嘴）：

而到了淘汰賽就沒有平的可能了。

老師（開始舉例）：

韓國戰(zhàn)勝德國，中國戰(zhàn)勝韓國，但是中國和德國沒有建立偏序關(guān)系，所以不能由傳遞性得到中國戰(zhàn)勝德國。（沒有傳遞性）

戰(zhàn)勝或戰(zhàn)平，擇一即可
這兩個思想，一個是抽象化，一個是相似性
抽象就是把本質(zhì)拿出來，這樣或許有點抽象。
這個就像剃刀一樣，剔除不重要/不必要的東西
比如等價關(guān)系大多都是這樣。

老師（喝了口水）：

舉個栗子......我想想……
7除3余1，1除3余1
在研究一個數(shù)能否被三整除時，在加減乘除運算中，7和1都是一樣的。
所以它們在同一個“同余類”，也就是那個子集。
向量也是，數(shù)學(xué)里的向量不規(guī)定起點，因為對于平行和垂直關(guān)系來說，它們都是等價的。所有歸于同一個向量，向量也可以看作一個同余類。

路人2：

比如說我是sb，同學(xué)某也是sb，我們兩個也可以……

老師（沒有理會）：

第二個相似......就是很迷的東西了，一個強悍的數(shù)學(xué)家能在完全沒有聯(lián)系的東西上找出相似性。

學(xué)生A（疑問）：

同余類是指同一子集嗎？

老師（肯定）：

嗯嗯

只是里面的元素，除3余數(shù)相同，像伽羅華這樣的巨神就能看出五次方程有沒有根和五個元素排位置的聯(lián)系，從而證明了五次方程沒有根式解。

你不要問我，我也不知道他怎么做到的。

學(xué)生B：

今天的課程結(jié)束了嗎……

老師：

時間也差不多了，那今天我拿一句話結(jié)尾吧：

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要看出命題與命題的相似，數(shù)學(xué)研究者，要看出定理與定理間的相似，想要取得一番成就，就要找出學(xué)科與學(xué)科間的相似，而數(shù)學(xué)大師，則是在各個領(lǐng)域間發(fā)現(xiàn)相似。

同學(xué)們，下課！

全體同學(xué)：

老師辛苦了！

【結(jié)束】

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