{小朱施工}高考立體幾何-內(nèi)切球難？就這兩種思路！

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關(guān)于內(nèi)切球，對(duì)于錐題而言，通法是等體積法，當(dāng)然，特殊的正棱錐可以有軸截面處理，正四面體則有公式可以記憶，本文主要梳理錐體中的內(nèi)切球問題.

內(nèi)切球半徑公式：

我們學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)切圓半徑公式，其推導(dǎo)過(guò)程是利用等面積法

類比等面積法我們?nèi)菀茁?lián)想到等體積法，既而推導(dǎo)出三棱錐的內(nèi)切球半徑公式：

1、直角三角形的內(nèi)切圓的半徑

如圖所示，設(shè)一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)為a,b，斜邊的長(zhǎng)為

其內(nèi)切圓半徑

2、直角四面體（從某一頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體）的內(nèi)切球的半徑

設(shè)OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=a，OB=b，OC=c，則

設(shè)直角四面體內(nèi)切球半徑為r△OAB △OBC、△OCA、△ABC的面積分別為，S1，S2，S3，S，則

3、正三棱錐的內(nèi)切球的半徑

正三棱錐的定義.

1.底面是正三角形

2.頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心.

滿足以上兩條的三棱錐是正三棱錐.

由以上定義可知，正三棱錐底面為正三角形，三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形.

要防止和另外一個(gè)概念--正四面體混淆.

每個(gè)面都是正三角形的四面體才是正四面體.也可以這樣說(shuō)，正四面體是特殊的正三棱錐，正三棱錐具備的性質(zhì)正四面體都有，而正四面體具備的性質(zhì)正三棱錐不一定有.

等體積法是求解內(nèi)切球問題的基本方法，

其最大的優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)需尋找球心的具體位置

也不需要挖掘所給幾何體的在幾何特征

只要理解等體積法求內(nèi)切球半徑的原理

在此基礎(chǔ)上找到相對(duì)應(yīng)的量進(jìn)行帶入計(jì)算即可.

接下來(lái)就是實(shí)戰(zhàn)練習(xí)：

設(shè)內(nèi)切球半徑為r

V四棱錐=?x64x6=128

S四棱錐=64+?x6x8x2+?x8x10x2+192

r=3V/S=2

再代入S球=4πrr求解

二.畫軸截面

以上整理的是利用軸截面法來(lái)求正四、六棱錐的內(nèi)切球問題

軸截面法是從另一個(gè)角度來(lái)求內(nèi)切球，這樣思考問題會(huì)簡(jiǎn)化問題

以上整理的是利用軸截面法來(lái)求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的內(nèi)切球問題，圓柱和圓臺(tái)只有滿足一定條件才能有內(nèi)切球，圓錐一定有內(nèi)切球。對(duì)于相關(guān)的公式最好能整理到筆記上。

以上整理的是棱柱與棱臺(tái)的內(nèi)切球問題，只有特殊的棱柱與棱臺(tái)才有內(nèi)切球，學(xué)習(xí)的時(shí)候要注意這些特殊條件。整體來(lái)說(shuō)，難度不大。

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