小時候?qū)τ跀?shù)學(xué)的多次方程很感興趣，也許是從小對高維度空間的向往。一般來說無論義務(wù)教育考試還是競賽，三次或四次方程都是特例形式巧解而不用公式法，甚至有些初中高中老師大言不慚說沒有公式。那時候我就自己找有沒有公式，還是小學(xué)三年級的時候，偶在新華書店找到一本書，但是上面寫的很亂，我就記得一個換元和配方，其他的沒看懂。然后過了幾天之后研究了一下發(fā)現(xiàn)了門道。首先自己發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，就是你要解一個一元n次方程，就需要同時經(jīng)歷解若干n-1，n-2...1次方程，并且我憑著那天在書上看到的三次和四次都有一個相同的開始步驟，就是設(shè)x=y-b/(na)，[對于ax^n+bx^(n-1)+.....+C=0這個一般形式]，開始不是很理解這種做法，后來發(fā)現(xiàn)它是為了減少n-1次項，甚至我后來嘗試了一下竟然發(fā)現(xiàn)所有的高次方程利用這種設(shè)法可以得到關(guān)于y的缺n-1次項的n次方程(不過好像沒什么意義，因為五次以上沒有常規(guī)代數(shù)解法)。然后那時候就自己推導(dǎo)了三次方程和四次方程的公式。今天突然想到很懷念就寫了這篇文章。

具體解法如下

3次方程原理：首先用上面那個換元法可以得到一個沒有二次項的三次方程，然后可以繼續(xù)換元設(shè)y=A+B，然后兩邊同時三次方整理成一般式，會發(fā)現(xiàn)也是一個缺二次項的三次方程，然后把這個含A、B的系數(shù)與原來關(guān)于y的三次方程的系數(shù)一一對應(yīng)列出含A、B的二元二次方程，就可以解出A、B兩個根，然后再用多次方程根之間的關(guān)系再求出第三個根。

4次方程解法原理：首先也是用最開始的那個換元法得到一個沒有三次項的四次方程，然后進(jìn)行整理將四次項和二次項放到等式左邊，一次項和常數(shù)放到右邊，然后額外設(shè)置一個含有未知數(shù)系數(shù)的二次項，方程等式兩邊同時加這個二次項，然后保證加了這個二次項之后兩邊都可以同時配成完全平方的形式，根據(jù)這個條件求解那個二次項的系數(shù)(這個需要求一個三次方程)，然后反代方程中。就可以整理出一個完全平方項等于完全平方項的方程，兩邊開根，那就只需要解二次方程了。

五次以上好像是被一個日本的學(xué)者研究圓錐曲線的時候意外證明了無法用代數(shù)解法。