對于前幾節(jié)的內柔我們做一個簡單的總結并給出一個粒子產生的例子。考慮一個時空中具有Minkovski in 和 out 區(qū)域，作為一個最簡單的例子?？紤]2-維Robertson-Walker宇宙，它的線元是：

做一個參數變換：

然后得到線元為：

容易看出這個時空是Minkovski時空的保型變換。

假設：

在遙遠的過去和未來就會變?yōu)镸inkovski時空，

如下圖所示：

考慮最小耦合（注意這里最小耦合和共性耦合是一樣的），因為是2-維的時空。并且假設標量模式場函數(3.30):

將這個解帶入到場方程中，并且結合（3.83）式，我們會得到一個過于\eta的函數，并且是X的方程：

我們可以解出這個函數，得到在遙遠的過去：

在遙遠的未來：

可以看出在in和out區(qū)域，這兩個模式的解是不同的。

據此我們可以計算出Bogoliubov變換的系數：

?

根據之前我們計算Bogoliubov系數的過程可以得到：

我們對這個結果做一個物理的解釋，首先在遙遠的過去慣性探測器不會探測到任何粒子，因為時空中定義在Minkovski時空的真空態(tài)。而在遙遠的未來他們定義的真空是不同的，所以在遙遠未來觀測者會觀測到粒子。這個粒子的出現我們可以解釋為宇宙膨脹的結果。