# 四、2 ^ (n+1)=O(2 ^ n)成立嗎? 2^(2n)=O(2 ^ n)成立嗎?

文心一言：

chatgpt：

第一個式子不成立，第二個式子成立。

1. 2 ^ (n+1) = O(2 ^ n)

該式不成立。按照大O符號的定義，如果存在正常數(shù)c和n0，使得n>n0時，2^(n+1)<=c*2^n，則該式成立。但實際上，沒有任何正常數(shù)c和n0滿足該條件。因為當n趨近無窮大時，2^(n+1)與2^n的比值趨近于2，即2^(n+1) = 2 * 2^n。這與大O符號的定義矛盾。

2. 2 ^ (2n) = O(2 ^ n)

該式成立。按照大O符號的定義，如果存在正常數(shù)c和n0，使得n>n0時，2^(2n)<=c*2^n，則該式成立。此時可以取c=1，n0=1。因為當n趨近無窮大時，2^(2n)與2^n的比值趨近于無窮小，即2^(2n) = (2^n)^2。這也符合大O符號的定義。

綜上所述，第一個式子不成立，第二個式子成立。

文心一言和chatgpt的結(jié)果都是錯誤的。實際上是第一個式子成立，第二個式子不成立。

# 五、證明定理 3.1。定理 3.1是：對任意兩個函數(shù) f(n)和g(n)，我們有 f(n)=θ(g(n))，當且僅當f(n)=O(g(n)且f(n)=Ω(g(n))。

文心一言：

chatgpt：

定理 3.1的證明可以分為兩個部分：充分性和必要性。

首先證明充分性，即如果f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))，則有f(n)=θ(g(n))。根據(jù)大O符號的定義，存在正數(shù)c和n0，使得當n≥n0時，有f(n)≤c*g(n)。同樣地，根據(jù)Ω符號的定義，存在正數(shù)c'和n0'，使得當n≥n0'時，有f(n)≥c'*g(n)。因此，當n≥max(n0,n0')時，我們有：

c'*g(n) ≤ f(n) ≤ c*g(n)

這表明f(n)和g(n)之間的比值是有界的，即存在正常數(shù)c1和c2，使得c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)，因此f(n)=θ(g(n))。

接下來證明必要性，即如果f(n)=θ(g(n))，則有f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。根據(jù)大O符號的定義，存在正數(shù)c1和n1，使得當n≥n1時，有f(n)≤c1*g(n)。根據(jù)θ符號的定義，還存在另外一對正數(shù)c2和n2，使得當n≥n2時，有f(n)≥c2*g(n)。因此，當n≥max(n1,n2)時，我們有：

c2*g(n) ≤ f(n) ≤ c1*g(n)

這表明f(n)和g(n)之間的比值是有界的，即存在正常數(shù)c和n0，使得當n≥n0時，有f(n)≤c*g(n)，因此f(n)=O(g(n))。同樣地，我們也可以找到一對正數(shù)c'和n0'，使得當n≥n0'時，有f(n)≥c'*g(n)，因此f(n)=Ω(g(n))。

因此，定理3.1得證。

真正證明如下：

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