自學(xué)量子力學(xué)的人就喜歡問(wèn)這個(gè)問(wèn)題，原因就是對(duì)波的性質(zhì)本身沒(méi)有學(xué)好，基礎(chǔ)不扎實(shí)。

我純物理專業(yè)出身，但是在校期間都是在玩游戲，之前學(xué)到這的時(shí)候也是迷茫了很久。但是后來(lái)自學(xué)通信，突然就把這里搞懂了。

其實(shí)一點(diǎn)也不難。

首先所有的薛定諤方程的解都可以分離變量么？當(dāng)然不是。可以分離變量的都是特解。所以用分離變量法解薛定諤方程得出來(lái)的都是特解。這些特解符合線性疊加原理，所以他們的線性組合也是薛定諤方程的解。

你可以去簡(jiǎn)單驗(yàn)證，只要對(duì)兩個(gè)能量本征值不同的特解求和，就無(wú)法分離變量了。但是這個(gè)求和出來(lái)的解，依然會(huì)是薛定諤方程的解。

所以有了這些通過(guò)分離變量法求出的特解，可以線性組合出不可以分離變量的各種其他解。剩下的問(wèn)題就是這些特解的線性組合是否完備了，換句話說(shuō)，這些特解的組合可以構(gòu)成所有可能的薛定諤方程的解么？

這就是通信專業(yè)學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)擅長(zhǎng)的工作了。對(duì)于周期性波函數(shù)（其實(shí)是包含束縛態(tài)和固體物理中遇到的周期性邊界條件）大都可以進(jìn)行傅里葉分解，分解出單頻波，就是一個(gè)個(gè)的分離變量的解，也就是一個(gè)個(gè)的能量本征態(tài)，自然而然的就得出了量子力學(xué)需要的離散的答案。（這里說(shuō)的大都可以分解，你可以認(rèn)為就是所有函數(shù)了，或者是現(xiàn)實(shí)中可能存在的波函數(shù)。實(shí)變函數(shù)學(xué)科中遇到的那些奇葩的幾乎處處不可導(dǎo)的函數(shù)，我就無(wú)法保證了）

對(duì)于非束縛態(tài)，無(wú)法傅里葉分解，但其實(shí)絕大多數(shù)函數(shù)還可以進(jìn)行傅里葉變換，這時(shí)候其實(shí)也能構(gòu)成解。但是這時(shí)候解是連續(xù)的，而且由于全空間積分為有限值，所以具體到一個(gè)點(diǎn)上，概率密度都為0，量子力學(xué)就不太關(guān)注而已。

在把初量搞懂的過(guò)程中，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)初等量子力學(xué)真的沒(méi)啥東西，簡(jiǎn)單到很多人都不相信"所有懂量子力學(xué)的人都會(huì)感覺(jué)困惑”的初等量子力學(xué)就這么點(diǎn)內(nèi)容。就是薛定諤方程加一些數(shù)學(xué)技巧。

那些數(shù)學(xué)技巧也大多不難，只是太雜，初量用的時(shí)候一般都不解釋，而且那些有助于理解的通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，量子力學(xué)那是一概不用，雖然表示的是同樣的意思，但是量子力學(xué)非要自己定義一套符號(hào)，所以讓很多沒(méi)啥基礎(chǔ)的自學(xué)者感覺(jué)很難而已。

據(jù)說(shuō)量子力學(xué)這么做的原因是當(dāng)初創(chuàng)立量子力學(xué)的那幫物理學(xué)家都是一幫聰明的學(xué)渣，沒(méi)學(xué)過(guò)這部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容，所以自行創(chuàng)立了一套符號(hào)。但是后來(lái)人呢？后來(lái)人為啥不整理成通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這其中很難說(shuō)有不是人故意把這玩意弄得很玄而已。