Part 1?宮內(nèi)網(wǎng)和交叉網(wǎng)

你知道嗎？之前講到的題目，在完成基本網(wǎng)的刪數(shù)后，繼續(xù)往下做，會(huì)得到兩三個(gè)數(shù)對(duì)的刪數(shù)，然后可以出數(shù)，然后題目依然比較難（雖然網(wǎng)的使用有降低題目的難度，不過依然會(huì)比較難）。

不過，有一些思維可以幫助我們?cè)谕粋€(gè)技巧之中找到更多的刪數(shù)。諸如標(biāo)準(zhǔn)魚刪除不了的數(shù)，可以借助它的變型版本，諸如宮內(nèi)魚和交叉魚來為宮建立定義域區(qū)域，然后刪數(shù)。網(wǎng)其實(shí)也是由宮內(nèi)和交叉版本的。

我們依然拿出之前的示例作出解釋。

如圖所示，我們只去看綠色的單元格。我們按照網(wǎng)的思路，對(duì)全部綠色單元格內(nèi)的候選數(shù)作出全覆蓋策略：每一個(gè)數(shù)都找一個(gè)它所屬的行和列。發(fā)現(xiàn)的結(jié)果如下所示：

• r3(45)、r6(68)、r9(257)

• c2(24)、c4(38)、c7(59)

• b1(16)、b5(29)、b7(36)、b9(3)

結(jié)構(gòu)一共涉及了10個(gè)區(qū)域（r369c247b1579），而恰好使用了20個(gè)單元格，且一共包含20個(gè)不同的數(shù)字分配情況（稱為鏈接點(diǎn)）。所以我們可以知道，20個(gè)單元格恰只能填入這20個(gè)不同的數(shù)字，不存在多余的數(shù)。所以可以刪除共同對(duì)應(yīng)的區(qū)域下的對(duì)應(yīng)候選數(shù)。比如，我們因?yàn)榭梢源_定c2的2和4一定填入到結(jié)構(gòu)之中（r12678c2），所以c2的其余單元格一定不可填入2和4。所以刪除它們。

圖中所有不在結(jié)構(gòu)之中的深色候選數(shù)（紅、青、紫）均為刪數(shù)。為了讓讀者看圖更為清晰和明白，使用了顏色作為區(qū)分。

那么，根據(jù)魚的命名規(guī)范，標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)其實(shí)也屬于一種交叉網(wǎng)，因?yàn)榻徊妫∕utant）一詞被定義為定義域區(qū)域或刪除域區(qū)域同時(shí)涉及行和列的結(jié)構(gòu)。而很明顯，鏈接點(diǎn)按之前的說明，可以被視作為刪除域區(qū)域。所以它肯定是一種交叉的結(jié)構(gòu)。這里為了規(guī)避理解，網(wǎng)的宮內(nèi)和交叉被定義為：

• 鏈接點(diǎn)只涉及行和列的，稱為標(biāo)準(zhǔn)網(wǎng)（Basic MSLS）；

• 鏈接點(diǎn)涉及宮，但不同時(shí)涉及行和列的，稱為宮內(nèi)網(wǎng)（Franken MSLS）；

• 鏈接點(diǎn)同時(shí)涉及行、列、宮的，稱為交叉網(wǎng)（Mutant MSLS）。

那，這里給出的是交叉網(wǎng)，因?yàn)樾?、列、宮全部都涉及到了。那么，宮內(nèi)網(wǎng)結(jié)構(gòu)有哪些呢？最基礎(chǔ)的SDC就可以使用宮內(nèi)網(wǎng)的理解思路來思考。

這個(gè)是之前的例子。你可以使用網(wǎng)的視角：

涉及4個(gè)單元格，且恰好有4個(gè)鏈接點(diǎn)。3和8是宮鏈接點(diǎn)，4和7是列鏈接點(diǎn)，恰好實(shí)現(xiàn)了全覆蓋。所以可以刪除對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)應(yīng)候選數(shù)。

不過說起來，最上面的圖甚至可以看成是一個(gè)多段SDC（多米諾環(huán)），這就好像是部分交叉魚可以看作是環(huán)一樣。

Part 2 非矩形網(wǎng)

由于網(wǎng)結(jié)構(gòu)類比于魚結(jié)構(gòu)來說，定義域區(qū)域變?yōu)榱藛卧瘢ǘx格），所以形態(tài)就不一定非要呈現(xiàn)魚那樣的矩形狀態(tài)了。

如圖所示，結(jié)構(gòu)涉及21個(gè)單元格，其中的E5就是結(jié)構(gòu)“多出來”的部分。之所以“多出來”三個(gè)字打了引號(hào)，是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)需要它們，它們并不是多余的，但對(duì)于矩形形狀來說，就多了一塊。

你可以嘗試自行尋找結(jié)構(gòu)的鏈接點(diǎn)。只要鏈接點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了全覆蓋，并且所有恰有21個(gè)鏈接點(diǎn)，就是可以的。答案并不一定是唯一的。

Part 3 其它飽和網(wǎng)

飽和一詞本出現(xiàn)在魚結(jié)構(gòu)里，不過我們套用到這里來了。不過這并不重要，我們下一節(jié)才會(huì)講到較難的部分，所以這里僅表示一個(gè)意義：定義格數(shù)和鏈接點(diǎn)數(shù)是一樣的。

如圖所示，這個(gè)網(wǎng)的刪數(shù)實(shí)際上很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲覀兗?xì)數(shù)結(jié)構(gòu)里的數(shù)字的分布情況，就可以發(fā)現(xiàn)，定義格一共8個(gè)，鏈接點(diǎn)也有8個(gè)，所以全部鏈接點(diǎn)對(duì)應(yīng)的區(qū)域都可以刪數(shù)，即圖中所有標(biāo)注在結(jié)構(gòu)外部的涂色候選數(shù)。

Part 4 不飽和網(wǎng)

在魚結(jié)構(gòu)里，我們知道了，秩可以輕松判定一個(gè)魚結(jié)構(gòu)是否是飽和的。如果魚結(jié)構(gòu)不飽和，我們計(jì)算的秩就永遠(yuǎn)得不到0的結(jié)果；即使我們發(fā)現(xiàn)，有一部分情況滿足等于0但刪數(shù)依舊不是完整的時(shí)候，它們還具有自己特殊的使用邏輯和套路，我們?nèi)绻堰@個(gè)內(nèi)容脫光到網(wǎng)里，到底會(huì)如何呢？

之前講過一點(diǎn)關(guān)于魚結(jié)構(gòu)的術(shù)語——秩的內(nèi)容。我們簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)一下：

魚的秩等于刪除域區(qū)域數(shù)減去定義域區(qū)域數(shù)。一般來說，一個(gè)符合要求的魚結(jié)構(gòu)，秩必然大于等于0（小于0是不夠填數(shù)的，直接矛盾）。那么網(wǎng)結(jié)構(gòu)呢？其實(shí)，網(wǎng)也是有秩這一個(gè)說法的。實(shí)際上，所有數(shù)獨(dú)技巧只要被包裝為強(qiáng)弱區(qū)域的形式時(shí)，就均有秩一說，不過我們不過多說明這一點(diǎn)，這一點(diǎn)內(nèi)容可以類比于魚和網(wǎng)來自行理解和操作。

網(wǎng)也是一樣，不過公式改為了這樣：如果我們用字母D表示定義格數(shù)，L表示鏈接點(diǎn)數(shù)時(shí)，網(wǎng)的秩有如下公式：

所以我們可以知道，上面的所有題目之中，結(jié)構(gòu)的秩均為0（定義格數(shù)和鏈接點(diǎn)數(shù)一樣）。那么，是否存在類比于魚結(jié)構(gòu)的情況——鏈接點(diǎn)數(shù)多于定義格數(shù)呢？當(dāng)然存在了。我們來看一則運(yùn)用很靈活的例子。

如圖所示，結(jié)構(gòu)的鏈接點(diǎn)情況表示如下：

• r2(345)、r4(345)、r9(36)；

• c1(27)、c2(1)、c4(2)、c6(17)、c9(127)。

一共是16個(gè)定義格和17個(gè)鏈接點(diǎn)。秩為17 - 16 = 1。由于秩不為0，所以不可以像之前那樣直接得到刪數(shù)。那么原本可能存在的刪數(shù)（圖上不屬于定義格外的候選數(shù)，紅色和紫色）都是可能刪掉的數(shù)字。橙色數(shù)字則是刪掉了這些可能刪的數(shù)后，產(chǎn)生的b9的127三數(shù)組的刪數(shù)。

先不管那么多。我們先來思考一個(gè)問題。紅色和紫色的刪數(shù)之中，但凡有一個(gè)是對(duì)的，會(huì)如何？如果但凡有一個(gè)刪數(shù)是對(duì)的，都會(huì)排除掉當(dāng)前所在區(qū)域下的一個(gè)鏈接點(diǎn)，這樣就變成了秩為0的網(wǎng)，所以其他的候選數(shù)（紅色和紫色）都可以刪掉了。

注意，這一步只是我們的猜想和假設(shè)，不代表這些數(shù)就一定在這一步就可以刪掉了哈。這里特別強(qiáng)調(diào)一下?？茨懿荒軇h數(shù)是需要找到與之矛盾的情況出現(xiàn)，才可以確定原假設(shè)錯(cuò)誤，這樣才可以直接刪數(shù)。

接著我們發(fā)現(xiàn)，如果我們刪掉了紅色和紫色的候選后，橙色的肯定可以刪除了（127數(shù)組），于是，觀察r89，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字1、2、7恰好只剩下六格可填：r89c359。于是這六格一定形成了一個(gè)拓展矩形結(jié)構(gòu)的致命形式。這樣一來就矛盾了。所以原假設(shè)錯(cuò)誤了，故可以刪除掉這些候選數(shù)。

另外，我們可以將上述結(jié)構(gòu)表述為16\17網(wǎng)或+1網(wǎng)（+1表示結(jié)構(gòu)的秩為1，17 - 16 = 1）。前者表示定義格數(shù)，后者表示鏈接點(diǎn)數(shù)，中間用反斜杠表示。

如圖所示，我們可以得到一個(gè)強(qiáng)關(guān)系：

如果這樣兩個(gè)節(jié)點(diǎn)同假時(shí)，結(jié)構(gòu)就會(huì)同時(shí)少兩個(gè)鏈接點(diǎn)，原本是8\9的結(jié)構(gòu)，就會(huì)變?yōu)?\7，于是秩變?yōu)? - 8 = -1 < 0，所以矛盾。所以r8c35(7)和r79c7(7)至少有一個(gè)成立，刪除r8c78(7)。

關(guān)于秩一詞，就提到這里。

Part 5 自噬網(wǎng)

只要結(jié)構(gòu)能和魚差不多，那么可以肯定的是，自噬這個(gè)定義是跑不掉的。

如圖所示，圖中所有橙色和紅色的數(shù)字都可以刪除，而紅色的數(shù)字是結(jié)構(gòu)的一部分。換句話說，紅色是自噬刪數(shù)（本來結(jié)構(gòu)需要它，但結(jié)構(gòu)又論證它可以被刪掉）。

首先我們可以數(shù)一下結(jié)構(gòu)涉及的鏈接點(diǎn)數(shù)和單元格數(shù)。鏈接點(diǎn)分別是：

• r1(159)、r9(159)

• c1(456)、c9(456)

• b1(578)、b3(235)、b7(235)、b9(578)

一共是24個(gè)鏈接點(diǎn)，而單元格只有20個(gè)。顯然是不能使用這個(gè)要求來刪數(shù)的。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的秩24 - 20 = 4 <> 0。但是這個(gè)結(jié)構(gòu)神奇就神奇在，它不需要秩為0才可刪數(shù)，但是思路需要借助之前用過的“強(qiáng)弱區(qū)域視角”和“跨區(qū)數(shù)組”的思路。

我們可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)內(nèi)的這樣24個(gè)鏈接點(diǎn)，之前說過，應(yīng)將鏈接點(diǎn)看作弱區(qū)域，所以這樣24個(gè)鏈接點(diǎn)，每一種數(shù)最多只能填入結(jié)構(gòu)涉及的區(qū)域之中出現(xiàn)一次。那么24種數(shù)最多有24個(gè)數(shù)填進(jìn)去，不過結(jié)構(gòu)保證恰只填20個(gè)數(shù)。所以必然有4種數(shù)（四個(gè)鏈接點(diǎn)）是一定不在結(jié)構(gòu)之中的。那什么數(shù)多了呢？5??！仔細(xì)觀察關(guān)于5的所有鏈接點(diǎn)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使相同位置的數(shù)字5也同時(shí)屬于兩個(gè)鏈接點(diǎn)區(qū)域之中。比如r9c2(5)就既屬于鏈接點(diǎn)r9(5)，也屬于鏈接點(diǎn)b7(5)。

繼續(xù)分析，我們可以知道，其他數(shù)恰出現(xiàn)一次，但5一共涉及8個(gè)鏈接點(diǎn)區(qū)域，但最終只有其中4個(gè)鏈接點(diǎn)區(qū)域的5才是真正有效的，所以數(shù)字5是必然有4個(gè)填數(shù)填在結(jié)構(gòu)之中，而其他的鏈接點(diǎn)還剩下24 - 8 = 16個(gè)（鏈接點(diǎn)），且此時(shí)結(jié)構(gòu)其中四個(gè)單元格已經(jīng)被5占了，剩下依然是20 - 4 = 16個(gè)（單元格）。于是這樣分析一下，秩就恰好為16 - 16 = 0了。也因此，我們的擔(dān)心——結(jié)構(gòu)無法刪數(shù)，其實(shí)是多余的。這也是稍顯特殊的一點(diǎn)；而上述這種類似于多米諾環(huán)，刪數(shù)卻含有自噬的情況的結(jié)構(gòu)，我們稱為BB環(huán)（Bigger's Loop），由中國的數(shù)獨(dú)玩家Bigger（網(wǎng)名）發(fā)現(xiàn)。

Part 6?SK環(huán)的拓展

顯然，在前文的描述里，我們找到了一種這樣的結(jié)構(gòu)，而現(xiàn)在我們來看一個(gè)長相是多米諾環(huán)，但實(shí)際上刪數(shù)不只是多米諾環(huán)基本刪數(shù)的構(gòu)型。

如圖所示。這個(gè)結(jié)構(gòu)是一個(gè)多米諾環(huán)，不過請(qǐng)仔細(xì)觀察刪數(shù)，你可以發(fā)現(xiàn)，b1379里都多出了候選數(shù)8的刪數(shù)，而8并未在b1379里存在鏈接點(diǎn)。

我們這么去思考這個(gè)問題。數(shù)字8在整體結(jié)構(gòu)內(nèi)是必然會(huì)出現(xiàn)4個(gè)的，且分屬于b1379里，換而言之，為了保證數(shù)獨(dú)規(guī)則不違背，b1379里就得各有一個(gè)8的出現(xiàn)，位于這個(gè)多米諾環(huán)涉及的16個(gè)單元格里。那么這么去分析的話，8的刪數(shù)就很好理解了：因?yàn)閎1379的每一個(gè)宮都會(huì)存在8，所以b1379里顯然是無法放入其它的8的，所以刪掉它們。