1. 浮力的本質(zhì)

我們來想象以下三個場景，分別是受到了什么力保持平衡的：

a. 手機，放在桌子上

b. 你，坐在沙發(fā)上

c. 木塊，在水面上漂浮

答案很簡單，前兩者是重力與支持力，第三個是重力與浮力。

想想他們有沒有共性呢？ 是形變。桌子有一個微小的形變，沙發(fā)有一個明顯的形變，而水有一個較為特殊的形變。擠壓導(dǎo)致形變，形變產(chǎn)生彈力，彈力充當了支持力/浮力的角色。

2. 形變

為什么桌子、沙發(fā)和水的形變有這么大區(qū)別？是什么物理量決定的？這其實涉及了比較高級的知識，比如固體材料的彈性模量，流體物理學(xué)等等。我們現(xiàn)在就感性的覺得，因為桌子硬，沙發(fā)軟，水會流動，就好了。

3. 力的分類

我還是學(xué)生時，剛剛接觸到力學(xué)的時候，有一陣經(jīng)常有這樣的疑問：

手機放在桌子上，重力自然不用多說，另外一個力是叫彈力還是叫支持力？彈力和支持力是什么關(guān)系？什么時候叫彈力，什么時候叫支持力？

現(xiàn)在我們清楚了，這兩個力完全就是一個東西的兩個名字。

“彈力”是從力的性質(zhì)角度進行描述的，描述了力的由來：桌子受到手機的壓力，分子變形，形成抗拒變形的力，宏觀上表現(xiàn)為對手機的彈力。

“支持力”“浮力”是從力的效果角度進行描述的：這個力使得手機被支持了從而沒掉下去，使木塊被浮了而沒沉底。

所以說，上述的問題完全是我們的語言在進行描述時，側(cè)重點不同而產(chǎn)生的區(qū)別，而完全不是物理上物理量的區(qū)別。

4. 力之間的因果關(guān)系

還是手機放在桌子上的問題。我們先約定好，這次要討論的系統(tǒng)包括地面。我們知道手機受重力和支持力，受力平衡。桌子受到手機的壓力、自身重力，以及大小等于兩者之和的地面支持力。其中，手機給桌子的壓力與桌子給手機的支持力互為反作用力，大小等于手機所受重力。

現(xiàn)在試問：

a. 這組作用力與反作用力有因果關(guān)系嗎？

b. 這組作用力與反作用力有時間先后順序嗎？

c. 手機受的重力，與手機給桌子的壓力，有因果關(guān)系嗎？

d. 手機受的重力，與手機給桌子的壓力，有時間先后順序嗎？

我們先來考慮時間先后的問題。如果你已經(jīng)學(xué)習(xí)過沖量的概念，就會輕易得出結(jié)論：作用力反作用力一定是同時誕生，同步變化的，否則這個系統(tǒng)的沖量就不守恒了。如果我們忽略桌子的微小的形變量，那么手機其實始終是平衡的，所以推斷手機重力、對桌子壓力、桌子對手機的支持力，三者是同時變化的。

現(xiàn)在我們解決了時間，接下來我們思考因果性。說起來你可能不信，這其實是個哲學(xué)問題。手機給了桌子壓力，和桌子給了手機支持力，這兩件事情，究竟是因果關(guān)系呢，還是并列關(guān)系呢。如果桌子有思想的話，他會如何覺得呢？是因為手機壓了他，他才還擊了支持力呢；還是他和手機有著神奇的默契，倆人一拍即合互相給力呢。我即將公布答案，無所謂。對的，其實是無所謂。你作為一個人，把他倆的關(guān)系解讀成因果或是并列，和你的世界觀有關(guān)系，但是和這個世界的運行規(guī)律沒有關(guān)系。

說了這么久，結(jié)論是：力的變化是同時的，邏輯關(guān)系是無所謂的。我能猜到你現(xiàn)在的想法：這不是逗我玩嘛，無所謂你說這么久干嘛。我告訴你這一段的意義：實際在題目中做受力分析時，場景要比現(xiàn)在復(fù)雜的多：帶電小球在電場加速沖出軌道進行平拋運動，以斜角進入磁場進行變向，某個點向心力不夠了小球此時達到最高點。類似這種問題，在思考的過程中非常容易陷入混亂，混亂的一大原因就是分析中摻雜了多余的時間軸和多余的因果關(guān)系。這個時候，希望你能及時在腦中大喊一聲“在這停頓”，把無關(guān)的因素屏蔽掉。

5. 力與運動狀態(tài)的因果關(guān)系

這里要說的是一個平時經(jīng)常用混的邏輯，那就是力決定運動狀態(tài)的改變量，觀測運動狀態(tài)的改變量可以推斷受力情況。

舉個錯誤的例子：因為物體靜止，所以受力平衡，所以支持力等于重力。正確的邏輯關(guān)系應(yīng)該是：觀測到物體靜止，且當前參考系為慣性參考系，基于牛二律的結(jié)論，推斷其處于受力平衡狀態(tài)。由常識可知，其受重力，故推斷其獲得了一個等大反向的支持力。

注意到這里的區(qū)別了么，受力是因，平衡是果。正向決定，反向推斷。那么現(xiàn)在有個問題，桌子憑什么這么智能，可以一瞬間衡量出手機的重力，從而提供一個等大方向的支持力，使得手機既沒有彈起來，又沒有陷下去呢？答案：桌子當然沒這么智能，它是在一系列變化中穩(wěn)定于平衡狀態(tài)的，即使我們看起來就是一瞬間而已。為了把這個過程想明白，我們把這個“一瞬間”放大去思考?，F(xiàn)在，我們把桌子的桌腿以外的部分的材料換成橡膠，把手機換成鉛球，這個系統(tǒng)變成了在蹦床上扔鉛球。

6. 現(xiàn)在我們手持鉛球放到橡膠桌子的上方，使其接觸但不受力。這時放手，我們分析一下接下來的情況。放手的一瞬間，鉛球只受重力，鉛球向下做加速運動，向下產(chǎn)生位移，擠壓橡膠使其發(fā)生形變，形變產(chǎn)生彈力，在鉛球下降的過程中，彈力越來越大，終于有一個位置，橡膠變形形成彈力正好等于鉛球重力，我們姑且稱這個位置為平衡點。這時候鉛球受力平衡，加速度為0，但剛才積累的速度還在，鉛球繼續(xù)向下墜，這個位置彈力已經(jīng)大于重力了，鉛球在減速，終有一刻減速至0，此時鉛球達到最低點，開始向上加速，路過平衡點時，加速度為0，但是向上的速度還在，于是繼續(xù)向上，此時重力又反超彈力，鉛球減速向上，到放手的位置恰好速度減為0，回到放手時一樣的狀態(tài)……如果不考慮能力損耗，這個系統(tǒng)會一直這樣運動下去；但是現(xiàn)實中一定有能量損耗，橡膠的拉伸回彈會把很多能量轉(zhuǎn)化成熱能，于是表現(xiàn)為鉛球路過平衡點時的速度越來越小，最終在平衡點停下來，這個運動稱為阻尼運動。

如果把上述過程簡化為在光滑水平平面由彈簧牽引，就變成了簡諧運動。可見其實現(xiàn)實中很多振動場景都是簡諧運動的復(fù)雜版。

回到最開始的問題，把手機放到桌子上，其實和把鉛球放到橡膠上一樣，都是有一個平衡過程的。只是由于桌子“很硬”，微小的形變即可產(chǎn)生較大的彈力；同時放手機的過程較為平穩(wěn)，而不是高空墜物。這兩個原因?qū)е挛覀儫o法觀察到這個平衡過程，看起來就像是一瞬間就平衡了。

7. 浮力公式的原理與推導(dǎo)過程

先給結(jié)論：浮力公式的原理來自于流體性質(zhì)。物理教科書上的推論過程一般是先實驗，總結(jié)數(shù)據(jù)，總結(jié)規(guī)律。然后利用規(guī)則物品（比如長方體）建模，利用上下表面壓強差， 推出浮力公式，然后用一句話說明其實浮力公式具有一般性，不規(guī)則物品也可以適用。這種推論方法其實沒有說明為什么浮力公式具有一般性，我們現(xiàn)在嘗試以高中物理/數(shù)學(xué)知識，進行一次較為嚴謹?shù)耐普摚瑤椭约豪斫飧×骄烤故侨绾瓮瞥龅摹?/p>

a. 首先，該系統(tǒng)的確受大氣壓力影響。因為其實任何有體積的物品都收到大氣的浮力，這正好與我們現(xiàn)在討論的液體浮力屬于同一個模型。在我們這里的論證過程中，為了簡化討論模型，只考慮液體系統(tǒng)提供的浮力。在實際問題中，如果想要更準確的衡量客觀事實，可以考慮空氣浮力，不過即使考慮空氣浮力，也可以把空氣最為一套獨立的系統(tǒng)去討論。綜上，下文討論中，將不再提及大氣壓力。

b. 嘗試理解：液體內(nèi)任意一點所受壓力均為所有方向，將他們分解到同一平面后壓力等大反向。

我們在連通器液體內(nèi)部內(nèi)任意取一點，在此假想一個有面積無厚度的假想圓片。我們知道如果小圓片受力不平衡，則小圓片位置的液體必然發(fā)生流動，產(chǎn)生位移；那么進行一下簡單的邏輯變換，連通器內(nèi)液體位置穩(wěn)定，則說明小圓片應(yīng)該受力平衡。

小圓片可以任意旋轉(zhuǎn)，均維持受力平衡，可證每個方向都存在壓力，將這些壓力分解到同一平面后，這些壓力等大反向。（邊界情況是小圓片恰好處于水面的位置，壓力為0，按矢量的定義其實也可以算作等大反向，這個邊界情況我們可以稍后特殊考慮。）

c. 證明：連通器內(nèi)的液體中，同等水平高度液體壓強相等。

這里使用的方法就是平時經(jīng)常見到的虛擬液柱的方法。我們在液體內(nèi)部人為的圈出一個封閉的柱型封閉空間，分析這個柱型液體的受力情況。由于液柱運動狀態(tài)穩(wěn)定，可推論液柱在各方向均受力平衡，特殊地，在垂直方向也一定受力平衡。那么上表面壓力+重力＝下表面壓力。得到方程式：

p上s+ρshg＝p下s

化簡得：

p下-p上＝ρgh

當液柱上表面恰好為水面時，由之前的結(jié)論知道，這里不收水壓力。這時h恰好為下表面深度。

d. 現(xiàn)在來到了這次證明的核心步驟。我們要證明浮力公式的一般適用性。

現(xiàn)有一塊不規(guī)則形狀物體，置于水中。這里是否需要區(qū)分是漂浮狀態(tài)還是沉沒狀態(tài)呢？不需要，因為如果是漂浮狀態(tài)，水面以上的部分是不受水的壓力的，所以漂浮和沉沒兩者是一樣的。

我們知道浮力本質(zhì)上是液體對物品的壓力差，要推導(dǎo)浮力，本質(zhì)上就是推導(dǎo)壓力。我們使用微元法去理解這個模型：把這個物體沿垂直方向進行切割，變換刀的方向，把物體切成一個個垂直插在水中的“吸管”。我們用這些吸管近似代替原物體。針對某一個吸管，他受到的浮力F＝ρgh底s-ρgh頂s＝ρgv，其中v為吸管在水中的體積。

由吸管組成的這個吸管集合和單一吸管的關(guān)系，是簡單的整體與部分的關(guān)系，所以吸管整體的浮力就是ρgv，其中v為吸管集合在水中體積。

還省下最后一點問題，吸管集合只是近似于原物體，畢竟還不完全相等，證明至此還差最關(guān)鍵的一步轉(zhuǎn)換。還記得我一開始是怎么介紹這個模型的么？微元法。我們把分的不夠細致的吸管再次細分，細分之后的吸管再次細分，分之又分，最后得到的吸管集合就無限接近于原物體了，吸管集合的體積無限接近于原物體，吸管集合所受浮力也無限接近于原物體。這兩個無限接近方向是統(tǒng)一的，于是我們終于得證，物體所受浮力等于ρgv，其中v為物體在水中的體積。

（原物體圖，粗分割圖，細分割圖）

我們把上述過程中，分到最后的吸管截面積稱為無窮小量，微元法的過程稱為向無窮小量取極限，這就構(gòu)成了現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一，積分。微積分的誕生，最早就是為了解決物理問題。（傳聞牛頓當時的物理研究計算十分繁瑣，于是他在物理研究的同時發(fā)明了微積分這個新數(shù)學(xué)工具，并用了一段時間將其完善。真是天才，強無敵。）

反思上面的思維模型，我們得到了一個概念：體積是高在面積維度上的積分，壓力是壓強在面積維度上的積分。這兩組物理量在浮力中產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，展現(xiàn)了物理學(xué)（或者說大自然）的協(xié)調(diào)美感。關(guān)于微元法、微積分，后面會有專題來講解，歡迎大家閱讀。

8. 浮力公式與本節(jié)課第一小節(jié)概念的關(guān)系

本節(jié)課中我們兩次提到了浮力，第一次用類比說明了浮力的本質(zhì)是彈力，第二次用積分證明了浮力公式。這兩者之間有什么關(guān)系呢？我們理一理其中的邏輯關(guān)系：桌子形變之后產(chǎn)生的彈力，來源于固體想要抗拒形變的性質(zhì)，力的大小由固體本身的彈力性質(zhì)和形變量決定，但是這兩個量不容易測量，所以我們往往使用物體靜止反推其受力平衡，用重力求得支持力，即彈力。水形變之后產(chǎn)生的彈力，來源于液體收重力影響產(chǎn)生的水壓力差，力的大小由液體密度/重力加速度/物體浸入液體的體積決定，這些量都是容易測量的，所以我們可以直接求得浮力（彈力）大小，如果知道物體密度，還可以預(yù)測物體進入水中后的最終狀態(tài)。