前置知識(shí)：不定積分、多項(xiàng)式、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算

????????最近經(jīng)常能看到這樣一類(lèi)問(wèn)題：

我們稱(chēng)之為日經(jīng)題。下面分享一種這類(lèi)有理函數(shù)不定積分問(wèn)題可套路化的通解的思路。

????????首先說(shuō)明什么是有理函數(shù)。有理函數(shù)是指形如p(x)/q(x)的函數(shù)，其中p(x), q(x)為關(guān)于x的多項(xiàng)式，并且q(x)的次數(shù)高于p(x)。前述三道例題中的被積函數(shù)就是有理函數(shù)，再如，x/(1+x2)也是一個(gè)有理函數(shù)。也就是說(shuō)，有理函數(shù)的通式為

其中am, bn≠0且n>m。

????????不過(guò)，問(wèn)題并沒(méi)有得到簡(jiǎn)化，我們需要引入一些定理來(lái)幫助我們解決問(wèn)題。

????????代數(shù)基本定理十分著名，它的內(nèi)容如下：在復(fù)數(shù)域C內(nèi)，n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式必有n個(gè)根。代數(shù)基本定理最早較為嚴(yán)格的證明由Gauss給出，迄今為止已有200余種證法。不過(guò)這里我們不證明它，但它對(duì)于我們接下來(lái)的推導(dǎo)十分有用。代數(shù)基本定理說(shuō)明，一個(gè)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)必然可以寫(xiě)成

其中zk(k=1,2,…,m)為該多項(xiàng)式的m個(gè)復(fù)根。當(dāng)然，這里面zj=zk(j≠k)是被允許的，這時(shí)zj或zk就是重根。

????????接下來(lái)在實(shí)數(shù)域R內(nèi)考慮，即令ak(k=1,2,…,m)全為實(shí)數(shù)。任取其中一個(gè)復(fù)根zk，設(shè)zk=xk+iyk，回代公式(2)中應(yīng)有

而若將zk的共軛zk*，也就是xk-iyk回代公式(2)中則有

對(duì)比公式(3)(4)中的兩項(xiàng)系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)公式(4)的結(jié)果也是0。這就是說(shuō)，對(duì)實(shí)系數(shù)n次多項(xiàng)式，若zk為其復(fù)根，則其共軛zk*也為其復(fù)根。這樣，若公式(2)等號(hào)右端乘積項(xiàng)出現(xiàn)了(z-zk)，那么同時(shí)(z-zk*)也必然出現(xiàn)。又因?yàn)?/p>

即在公式(2)等號(hào)右端，可能存在一對(duì)一次多項(xiàng)式，它們的積能夠?qū)懗梢粋€(gè)實(shí)系數(shù)二次(不可約)多項(xiàng)式。也即實(shí)系數(shù)n次多項(xiàng)式一定能寫(xiě)成若干實(shí)系數(shù)一次多項(xiàng)式和二次(不可約)多項(xiàng)式的乘積

其中i+2j=m。

????????利用這個(gè)性質(zhì)，我們可以將公式(1)的有理函數(shù)進(jìn)行分解

其中i+2j=n。公式(7)中各項(xiàng)分子系數(shù)可由待定系數(shù)法確定，即對(duì)分解結(jié)果進(jìn)行通分，然后分子加和與原式逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)。

????????至此，我們已經(jīng)把有理函數(shù)不定積分的問(wèn)題歸結(jié)為：如何求如下形式的6種不定積分

其中n=2,3,…，a, p, q為實(shí)數(shù)。

????????第1、2、3種不定積分求起來(lái)比較容易，直接給出結(jié)果

????????第5種不定積分經(jīng)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化可化為第3種不定積分

????????第6種不定積分經(jīng)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化可化為第4種不定積分

?????????第4種不定積分可以利用分部積分法降次，最終轉(zhuǎn)化為第3種不定積分

證明 利用分部積分法

????????移項(xiàng)，整理得

????????用n-1代替n即得公式(13)。

????????這樣，有理函數(shù)不定積分的問(wèn)題就都能被解決了。下面我們解決兩個(gè)例題。

例1 求不定積分

解????方程z?+1=0的五個(gè)根依次為

????????于是

????????于是設(shè)

????????解出(其實(shí)很不好解)

????????于是

例2 求不定積分

解????由公式(12)