本文出自菲爾茲獎得主、劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授蒂莫西 ? 高爾斯（Timothy Gowers） 主編的《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》中的Advice to a young mathematician 一文?！吨改稀肥且徊开毦咛厣母咚街?，介紹了很多 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)，且都出自數(shù)學(xué)大家之筆。該文是阿蒂亞、孔涅等當(dāng)代五位頂級數(shù)學(xué)家根據(jù)自己的數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗，對后輩新人給出的忠告——一些寶貴的經(jīng)驗性建議。令人驚喜的是，它們很少有重復(fù)。雖然這些話是針對數(shù)學(xué)新手而說的，但相信它們值得任何年紀(jì)的數(shù)學(xué)家閱讀。鑒于篇幅過長，本次先刊登由英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士帶來的建議。

撰文?|?Michael?Atiyah

翻譯?| 陳躍（上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授）

來源 | 《數(shù)學(xué)文化》

邁克爾·阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah, 1929-2019），英國數(shù)學(xué)家，主要研究領(lǐng)域為幾何學(xué)，被譽為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1966 年獲菲爾茲獎 ；2004 年獲阿貝爾獎。曾任英國皇家學(xué)會會長。

聲明

以下僅僅是我個人的看法，主要依據(jù)我自己的經(jīng)驗，反映了我的個性、我所研究的數(shù)學(xué)類型，以及我的工作風(fēng)格。實際上，數(shù)學(xué)家們的經(jīng)驗、個性、工作類型和風(fēng)格可以說是千差萬別，你應(yīng)當(dāng)遵從你自己的天生愛好。你可以從別人那里學(xué)到東西，但應(yīng)該用你自己的方式來解釋你所學(xué)到的東西。原創(chuàng)性來自于打破常規(guī)，在某種程度上，還來自于過去的實踐。

動機

一個數(shù)學(xué)家做研究，就像一個充滿創(chuàng)造力的藝術(shù)家一樣，必須對所研究的對象極其感興趣，全神貫注。如果沒有強烈的內(nèi)在動機，你就不可能成功。即使你只是一名數(shù)學(xué)愛好者，你從解決困難問題中得到的滿足感也是巨大的。

在研究的頭一、兩年里是最為困難的。有那么多的東西要學(xué)習(xí)。甚至有一些小問題你都無法解決，這樣你就會非常懷疑自己證明新定理的能力。在我研究的第二年，我順利度過了這一艱難的時期。塞爾?(Jean-Pierre Serre)?也許是我們這一代數(shù)學(xué)家中最杰出的一位，就是他也曾經(jīng)跟我講過，他在一段時間里認真地想過是否要放棄數(shù)學(xué)。

只有凡夫俗子才最相信自己的能力。你越是出色，你為自己定的標(biāo)準(zhǔn)就越高——你可以超越你所能夠達到的目標(biāo)。

許多有可能成為數(shù)學(xué)家的人也具有從事其他行業(yè)的能力與興趣，他們可能都會面臨著非常艱難的選擇：是準(zhǔn)備成為一名數(shù)學(xué)家還是做其他的什么職業(yè)。據(jù)說偉大的高斯就曾在數(shù)學(xué)和語言學(xué)之間來回搖擺，帕斯卡早年為了研究神學(xué)曾經(jīng)放棄數(shù)學(xué)，而笛卡爾和萊布尼茨同樣也是著名的哲學(xué)家。一些數(shù)學(xué)家后來成了物理學(xué)家（例如戴森(Freeman Dyson)），而另一些人正好相反（例如錢德拉(Harish Chandra)、博特 (Raoul Bott)），他們從物理學(xué)家變成了數(shù)學(xué)家。你不能將數(shù)學(xué)看成一個封閉的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的相互作用不論對個人還是對社會來說都是健康的。

心理方面

由于在數(shù)學(xué)中需要高度的集中思考能力，由此產(chǎn)生的心理壓力是相當(dāng)可觀的，即使是在研究比較順利的時候也是如此。這個問題是大是小主要看你的性格，不過可以采取措施來降低緊張的情緒。與同伴學(xué)生的交流——聽講座、參加討論班和會議等——都有利于開拓視野和獲得很重要的群體支持。過分的孤獨與深思可能是比較危險的，有時候表面上看來是散漫的閑談其實并不是在浪費時間。

一開始的時候，與同伴學(xué)生或者導(dǎo)師進行合作研究有許多好處，并且與別人的長時段合作會使人感到特別有信心，無論是在數(shù)學(xué)方面還是在個人交往方面。當(dāng)然，個人獨自安靜的思考總是需要的，不過與朋友們的思想交流與討論會更有助于這種思考，所以也是不可缺少的。

解決問題還是創(chuàng)建理論

數(shù)學(xué)家們有時可以被分為“問題解決者”或者“理論創(chuàng)建者”。雖然確實有比較極端的例子顯示了這種差別（例如愛爾迪希(Erd?s)與格羅騰迪克(Grothendieck)就是兩個極端），但是絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都處于他們中間的某個位置，他們同時在解決問題和發(fā)展某個理論。實際上，如果一個理論沒有導(dǎo)致具體的有趣問題的解決，那么就不值得去建立它。反過來，任何真正意義上的深刻問題總是刺激著為解決此問題而產(chǎn)生的理論的發(fā)展（費馬大定理就是一個經(jīng)典的例子）。

這對一個初學(xué)者來說有什么啟示？雖然人們不得不去讀那些書本和論文，以吸收通常的概念與理論方法，但是實際上初學(xué)者必須學(xué)會去關(guān)注一個或更多個具體的問題。這些問題可以讓人深思，可以磨礪人們的勇氣。一個經(jīng)過人們仔細研究和理解透徹的特定問題也是檢驗一個理論是否有效的非常有價值的試金石。

根據(jù)研究過程的不同，最后形成的博士論文要么拋開絕大多數(shù)理論的外衣而聚焦于一些本質(zhì)上的具體問題，要么它就是一個可以合理解決問題的長篇大論。

好奇心的作用

驅(qū)使人們進行研究的原始動力就是好奇心。一個特定的結(jié)論什么時候成立？那是一個最好的證明嗎？或者是否還有更自然、更簡潔的證明？使得結(jié)論成立的最一般的情形是什么？

如果你在閱讀論文或在聽講座時，總是問自己這樣的問題，那么或早或遲答案會隱約浮現(xiàn)——包括一些可能的探索路徑。每當(dāng)這種情形出現(xiàn)時，我就會抽出時間努力追蹤這種想法，看它會引到哪里，或者是否經(jīng)得起仔細琢磨。盡管通來說十有八九會進入死胡同，但偶爾一次會發(fā)現(xiàn)金子。困難在于我們不知道什么時候該停止，有些起初看起來是有效的想法實際上根本沒用。這時就應(yīng)該果斷脫身，回到主要的道路上來。人們常常會很猶豫作出這樣的決定，事實上我就是經(jīng)?；氐较惹耙呀?jīng)丟棄了的想法上來，嘗試用另外一種方法來解決問題。

令人想象不到的是，好的想法也會產(chǎn)生于一個不好的講座或討論班。在聽報告的時候，我經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，結(jié)果很漂亮，但是證明卻很復(fù)雜和煩瑣。此時我就不會再跟著黑板上的證明，而是在接下來的時間里去構(gòu)思一個更簡潔的證明。雖然這通常來說不太成功，但至少我更好地度過了我的時間，因為我已經(jīng)用我自己的方式努力地想過這個問題。這遠勝過被動地跟隨別人的思考。

例子

如果你像我一樣，喜歡宏大的和強有力的理論（我雖然受格羅騰迪克的影響，但我不是他的信徒），那么你就必須學(xué)會將這些理論運用到簡單的例子上，以檢驗理論的一般性結(jié)論。多年以來，我已經(jīng)構(gòu)造了一大批這樣的例子，它們來自各個分支領(lǐng)域。通過這些例子，我們可以進行具體的計算，有時還能得到詳盡的公式，從而幫助我們更好地理解一般性的理論。它們可以讓你腳踏實地。非常有意思的是，雖然格羅騰迪克排斥例子，但是很幸運的是他和塞爾有著非常緊密的合作關(guān)系，而后者能夠彌補他在例子方面的不足。當(dāng)然在例子與理論之間也沒有一條明確的分界線。我喜歡的許多例子都是來自于我早年在經(jīng)典射影幾何中所受到的訓(xùn)練：三次扭曲線、二次曲面、或者三維空間中直線的克萊因（Klein）表示等。再沒有比這些例子更具體和更經(jīng)典了，它們不僅都可以同時用代數(shù)的方式和幾何的方式來進行研究，而且它們每一個都是一大類例子中開頭的一個（例子一多慢慢就變成了理論），它們中的每一個都很好地解釋了以下這些理論：有理曲線的理論、齊性空間的理論、或者格拉斯曼流形的理論?(Grassmannians)。

例子的另一個作用是它們可以指向不同的研究方向。一個例子可以用幾種不同的方式加以推廣，或用來說明幾種不同的原理。例如一條經(jīng)典的二次曲線不僅是一條有理曲線，同時又是一個二次超曲面?(quadric)，或者是一個格拉斯曼流形等。

當(dāng)然最重要的是，一個好例子就是一件美麗珍寶。它光彩照人，令人信服。它讓人洞察和理解。它是（我們對數(shù)學(xué)理論）信仰的基石。

證明

我們所受到的教育告訴我們，“證明”是數(shù)學(xué)中最重要的事情，用公理和命題小心編織起來的歐幾里得幾何體系提供了自文藝復(fù)興以來現(xiàn)代思想的基本框架。相比于其他自然科學(xué)家們的做實驗的檢驗方法，數(shù)學(xué)家們?yōu)樗麄兊慕^對準(zhǔn)確無誤的定理而感到自豪，更不要說在其他領(lǐng)域里那些模模糊糊的思維方式了。

但是自從哥德爾?(G?del)（發(fā)現(xiàn)不完全性定理）以來，數(shù)學(xué)的絕對真理地位確實發(fā)生了動搖，此外繁復(fù)冗長的計算機證明的出現(xiàn)也使數(shù)學(xué)家們的態(tài)度變得更謙卑一些。但是不管怎樣，證明還是保持著它在數(shù)學(xué)中的主要作用，如果在你的論文中，你的證明有一個比較嚴重的漏洞，那么將直接導(dǎo)致退稿。

然而，如果將數(shù)學(xué)中的全部研究工作僅僅等同于不斷作出各種證明的過程，那么你就錯了。實際上人們可以說，數(shù)學(xué)研究中真正帶有創(chuàng)造性的那部分工作在寫證明的階段之前就已經(jīng)完成了。對于后面這個“證明階段”，我們可以打一個比方：就好比你是在寫劇本，必須要從事先的構(gòu)想出發(fā)，發(fā)展情節(jié)，寫出對話，包括給出舞臺指導(dǎo)等。最后形成的劇本就可以看成是“證明”：它是事先構(gòu)想的具體實現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)中，一般是先有思想和概念，然后再提出問題。接下來就開始對問題解答的探尋，人們尋找某種方法或者策略。一旦你自己相信這是一個恰當(dāng)?shù)膯栴}，并且你又有對此問題合適的工具，那么你接著就會開始努力思索證明的具體技術(shù)細節(jié)。

但不久你會意識到（也許是通過反例發(fā)現(xiàn)）問題提出的方式不對。有時候，在初始的想法與最終的結(jié)論之間有較大的反差。你沒有注意到一些隱含的假設(shè)，或忽略了某個技術(shù)細節(jié)，或者你考慮的情形太一般。然后你不得不回過頭來，重新修改提出你的問題。如果有人說數(shù)學(xué)家們總是控制他們提出的問題，以便他們得到答案，這是不公平的夸大其詞，但也不是完全沒有道理。能夠提出一些既有趣又可以被解決的問題，是數(shù)學(xué)中一種高超的藝術(shù)，數(shù)學(xué)本身其實就是一種藝術(shù)。

證明實際上是創(chuàng)造性想象和不斷反思推理之間長期相互作用的最終結(jié)果。如果沒有證明，數(shù)學(xué)的研究是不完整的，反之，如果沒有想象，則研究無從談起。在這里人們可以看到和其他領(lǐng)域中創(chuàng)造性藝術(shù)家（例如作家、畫家、作曲家、或建筑家）工作的一個相似情形。先有一個幻象，然后發(fā)展成一個思路，再不斷試驗展開，最后便是漫長的藝術(shù)品總裝完成的技術(shù)性過程。技術(shù)與幻象之間必須保持接觸，各自按照自己的方式不斷地修正另外一方。

策略

在上一節(jié)中，我討論了對于證明的看法，以及它在整個創(chuàng)造性過程中的作用?，F(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)向一個對于年輕的數(shù)學(xué)家們來說最實際的問題。人們應(yīng)采取什么策略？你怎樣做，才能夠找到一個證明？

這個問題如果泛泛而談的話，沒有多大意義。就像我在前面說過的那樣，每一個好問題都有它的起源：它來自于某個背景，它有自己的根。為了使問題能夠得到進展，你必須要透徹地理解這些根源。這就是為什么發(fā)現(xiàn)你自己的問題、提出你自己的想法總是比從你導(dǎo)師那里得到問題要好的緣故。如果你知道一個問題是從哪里來的，為什么要問這個問題，那么你就已經(jīng)成功了一半。實際上，問一個正確的問題常常和解決這個問題一樣困難。找到正確的問題背景是首要的一步。

因此，簡要地說，你需要對這個問題的歷史有一個很好的了解。你應(yīng)當(dāng)知道解決類似的問題是采用什么方法，以及這些方法的局限性又在哪里。

當(dāng)你被一個問題完全吸引時，應(yīng)該立即全力以赴地思考這個問題。為了得到解答，除了全力投入外別無他法。你應(yīng)當(dāng)考察特殊的情形，以便確定主要困難出現(xiàn)在什么地方。你對問題的背景和先前的解決方法了解得越多，你能夠嘗試的技巧與方法也就越多。另一方面，有時候?qū)栴}與方法的無知也是一件好事情。曾有報道說李特爾伍德?(J. E. Littlewood)?讓他的每一個研究生都分別做一個將黎曼猜想裝扮起來的問題，直到他們在六個月之后，才知道了真相。他的理由是學(xué)生們不會有自信去直接攻克這么有名的難題，但是如果他們不知道他們的對手是大名鼎鼎的黎曼的話，也許他們會獲得進展！盡管這種策略不大可能產(chǎn)生一個黎曼猜想的證明，卻能夠產(chǎn)生一批生氣勃勃、敢于攻堅克難的學(xué)生。

我自己的方法是盡量避免直接攻擊，努力尋找間接的途徑。這是因為，將你的問題與各個不同領(lǐng)域中的思想與方法聯(lián)系起來，可能會帶來令人意想不到的結(jié)果。如果這個策略成功的話，它將會導(dǎo)致一個非常漂亮的簡單證明，同時也“解釋”了為什么事情能夠成立的原因。實際上我相信：努力地去尋找這樣一種解釋和理解，是我們真正應(yīng)該達到的目標(biāo)。證明可以看成是這個過程的一部分，有時也是這個過程的結(jié)果。

拓展你的視野也是你尋找新方法任務(wù)中的一部分。與人交談會提升你的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，并且有時會給你帶來新思想和新方法。你很有可能由此而獲得關(guān)于你自己研究的一個有價值的想法，甚至是一個新的方向。

如果你需要學(xué)習(xí)一個新的課題，除了學(xué)習(xí)文獻之外，最好是能找到這方面的一個比較友善的專家，“從他的嘴里”獲取教益——口頭的講解更簡潔明快。

在向前看并經(jīng)常注意新發(fā)展的同時，你也不應(yīng)該忘記過去。在過去的年代中，有許多非常有價值的數(shù)學(xué)成果被塵封和遺忘了，它們只有被重新發(fā)現(xiàn)的時候才顯露出光芒。這些結(jié)果不容易被發(fā)現(xiàn)，部分原因是因為數(shù)學(xué)的術(shù)語和風(fēng)格改變了，但是它們確確實實是金礦。如果你遇到這樣的金礦，你應(yīng)該要感到非常幸運，你必須報答那些開拓者。

獨立或合作

在開始你的研究之前，你與你導(dǎo)師之間的關(guān)系是至關(guān)重要的，因此要小心地選擇你的導(dǎo)師，包括他所研究的方向、人品、以及以往的研究工作等都要考慮。當(dāng)然很少有導(dǎo)師在這三個方面都令人滿意。接下來，如果事情在頭一兩年進行得并不順利，或者你的興趣發(fā)生了明顯轉(zhuǎn)移，則應(yīng)該毫不猶豫地調(diào)換你的導(dǎo)師，甚至是你的大學(xué)。這不會冒犯你的導(dǎo)師，或許也是他的解脫！

有的時候，你可能是比較大的研究小組中的一個成員，并且與其他成員也有交流的機會，所以實際上你有不止一個的導(dǎo)師。這可以提供其他的思想來源，以及另外不同的工作方式，這些都是有幫助的。在這樣一些大的群體中，你也可以從你的同伴學(xué)生那里學(xué)到許多，這就是為什么選擇一個包含有大的研究生院的數(shù)學(xué)系是一個好主意的緣故。

當(dāng)你一旦完成了你的博士論文后，你的研究就進入了一個新的階段。盡管你可以繼續(xù)與你的導(dǎo)師進行合作，并待在原來的研究群體中，但是為了你以后進一步的發(fā)展，比較健康的做法是用一年或更多的時間去另外的一個地方。這可以讓你接受新思想的影響，并獲得更多的機會?，F(xiàn)在是這樣一個時代：你可以有機會在大千數(shù)學(xué)世界中為自己找到一個位置。一般來講，在一個相當(dāng)長的時間里，繼續(xù)太緊密地停留在你博士論文的課題上不是一個好的主意。你必須要“另立門派”，以顯示你的獨立性。這不必在研究的方向上作劇烈的改變，只是應(yīng)該要有確確實實新穎的地方，而不是你博士論文的簡單的常規(guī)延續(xù)。

風(fēng)格

在你寫論文的時候，你的導(dǎo)師通常會指導(dǎo)你如何安排文章的結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)的方式。然而在你的數(shù)學(xué)研究中也非常需要你自己的個人風(fēng)格。雖然對于各種類型的數(shù)學(xué)來說，這方面的要求有所不同，但還是有許多方面的要求適用于所有的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。以下便是對怎樣寫出一篇好論文的幾點提示。

(1) 在你開始寫作之前，先通盤考慮好整個論文的邏輯結(jié)構(gòu)。

(2) 將很長的復(fù)雜證明分成比較短的中間步驟（如引理、命題等），這會幫助讀者閱讀。

(3) 寫通順簡明的英語（或者你選擇的語言）。請記住數(shù)學(xué)也是文學(xué)的一種表現(xiàn)形式。

(4) 盡可能地簡明扼要，同時又要敘述清楚。要保持這樣的平衡是很困難的。

(5) 盡量將論文寫成和你所喜歡閱讀的論文一樣，并模仿它們的風(fēng)格。

(6) 當(dāng)你已經(jīng)完成了你論文的主要部分后，回過頭來認真地寫一篇引言，在其中要清楚地解釋論文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)果，已經(jīng)一般的來源背景。要避免不必要的含糊深奧，要面向一般的數(shù)學(xué)讀者，而不只是少數(shù)的專家。

(7) 試著將你的論文初稿讓一個同事閱讀，并留意任何的建議或評論。如果你最親近的朋友與合作者都無法理解你的論文，那么你就已經(jīng)失敗了，你需要加倍地努力。

(8) 如果不是非常急著出版，那么將你的論文丟在一邊幾個星期，做其他的事情。然后再以一種新鮮的視角重新來閱讀你的論文，會有一種全然不同的感覺，你將知道怎樣去修改它。

(9) 如果你相信重寫論文會更加清楚、更容易閱讀，那么你就不要吝嗇將論文重新寫一遍，也許站在一個全新的角度看得更清楚。寫得好的論文將成為“經(jīng)典”，被將來的數(shù)學(xué)家們廣泛閱讀。

本文摘自原載于《數(shù)學(xué)文化》第4卷第2期的《給年輕數(shù)學(xué)家的忠告》，經(jīng)譯者授權(quán)刊發(fā)。