在一些證明勾股定理的面積證明中，我們常用圖形的平移來(lái)證明。這次將旋轉(zhuǎn)與平移變換套用在這個(gè)錯(cuò)覺圖形上。將四塊有一組對(duì)角為直角的圖形重新拼貼，就可產(chǎn)生內(nèi)部多出一塊的錯(cuò)覺。其實(shí)也可類比到生活中，原本緊密的排程，擠一下還是可擠出時(shí)間空間的。

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學(xué)習(xí)指引

在開始作先前，鼓勵(lì)大家思考，這個(gè)效果如何作拆解。這是重要的一步。學(xué)會(huì)拆解后。

首先，要意識(shí)到圖形是被兩個(gè)相互垂直的線分成四部分。其次，這四部分的變換是同時(shí)作平移與旋轉(zhuǎn)。

P.S. 若對(duì)圖形的移動(dòng)與旋轉(zhuǎn)還不熟悉，建議先參考學(xué)習(xí)以下視頻。

https://www.bilibili.com/video/BV1X4411j7EJ

任務(wù)一：建立分割的四邊形

【目的】這節(jié)主要建一個(gè)四邊形，中間被兩個(gè)垂直的直線分割為 4 部分。

【說(shuō)明】先建四邊形，其邊長(zhǎng)?s 。再利用中心點(diǎn) ?O，來(lái)建立正方形的四個(gè)點(diǎn) A,B,C,D 。

【操作】

s = 滑動(dòng)條(0.5, 2?,0.1)

O = (0,0)

#利用 A = O +(-s,-s) ，讓 A 可隨著 O 移動(dòng)

A =?O+(-s,-s)?

B =O+(s,-s)

C= O + (s,s)

D = O + (-s,s)?

【說(shuō)明】建滑動(dòng)條 theta 控制兩個(gè)垂直線 lh, lv 的方向，再取得兩個(gè)直線取與四邊的交點(diǎn)。

【操作】

# 取得直線與四邊交點(diǎn)

theta = 滑動(dòng)條(-0.5,0.5,0.1,1,100)

lh?=?直線(O, theta)?

lv=直線(O,theta+pi/2)

# 取得直線與四邊交點(diǎn)

E = 交點(diǎn)(線段(A,B),lv)

F = 交點(diǎn)(線段(B,C),lh)、

G = 交點(diǎn)(線段(C,D),lv)

H= 交點(diǎn)(線段(D,A),lh)

# 連接四塊四邊形：

pA =?多邊形(A,E,O,H)

pB = 多邊形(B,F,O,E)

pC = 多邊形(C,G,O,F)

pD = 多邊形(D,G,O,H)?

任務(wù)二：讓四邊形邊動(dòng)邊轉(zhuǎn)

【目的】在兩個(gè)繪圖區(qū)顯示移動(dòng)與旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)結(jié)果。

【說(shuō)明】整個(gè)圖形的移動(dòng)有兩個(gè)操作，一是移動(dòng)，二是轉(zhuǎn)動(dòng)。首先在移動(dòng)的部分，是將 O?點(diǎn)往 「向量(O,A)」?方向移動(dòng)，而移動(dòng)的大小是 ?sec(theta) 倍（這是最需要去思考的部分)，也因?yàn)檫@個(gè)以 sec(theta) 的放大平移，才讓新正方形的面積變大。接下來(lái)，再用 rotate?來(lái)旋轉(zhuǎn)平移后的四邊形，此時(shí)的旋轉(zhuǎn)中心是平移后的?O?點(diǎn)，而旋轉(zhuǎn)角度是?(pi-theta)?。才能使轉(zhuǎn)后的邊與原本底邊平行。這個(gè)指令可以復(fù)合為一步

【操作】

t = 滑動(dòng)條(0,1,0.05,1,100)

tA = 旋轉(zhuǎn)(平移(pA, t sec(theta)*向量(O,A)),t*(pi-theta),平移(O, t sec(theta)*向量(O,A)))

tB?= 旋轉(zhuǎn)(平移(pB, t sec(theta)*向量(O,B)),t*(pi-theta),平移(O, t sec(theta)*向量(O,B)))

tC?= 旋轉(zhuǎn)(平移(pC,?t sec(theta)*向量(O,C)),t*(pi-theta),平移(O, t sec(theta)*向量(O,C)))

tB?= 旋轉(zhuǎn)(平移(pB, t sec(theta)*向量(O,B)),t*(pi-theta),平移(O, t sec(theta)*向量(O,B)))

思考與討論

為何拼貼后中間會(huì)多一塊，這大小與直線的傾斜角 theta 的關(guān)系為何？

即時(shí)挑戰(zhàn)

歡迎加微信 Acchu0331 入群打卡學(xué)習(xí)，每次任務(wù)有 20 元獎(jiǎng)勵(lì)紅包。此次任務(wù)小打卡中獲得最多贊可得 8元人氣獎(jiǎng)，另抽一位打卡者獲得手氣獎(jiǎng) 8元 。另外，還有 4?個(gè) 總額 4元的隨機(jī)紅包為關(guān)注獎(jiǎng)。? 本次任務(wù)的打卡期限為 2020/7/21(二) 23:59。請(qǐng)參考視頻，交一份作業(yè)在小打卡內(nèi)，附上作品截圖或動(dòng)圖，并寫下 32 字以上的心得，如以下格式。? ?

格式如下：

主題：S2I1 擠出一塊小空間?

姓名：朱安強(qiáng)-臺(tái)灣

連結(jié)： https://www.geogebra.org/m/pwyhpypv

心得： 這個(gè)錯(cuò)覺是小時(shí)后在科博館看到的作品。將四個(gè)方塊換個(gè)方式拼貼竟然多了一小塊，一開始也是花了些時(shí)間分析四個(gè)方塊的移動(dòng)方式，最后想到關(guān)鍵是 sec theta 時(shí)，又贊嘆數(shù)學(xué)符號(hào)工具之美。這個(gè)操作上不難，最關(guān)鍵的還是分析問(wèn)題的部分。

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