對于上一節(jié)，留下一個(gè)疑問：

對于我們從有理數(shù)軸上使用戴德金分割可定義實(shí)數(shù)集。那么我們從實(shí)數(shù)軸上再用戴德金分割，能否分割出新的東西出來？

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1.實(shí)數(shù)域的完備性

一個(gè)實(shí)數(shù)集定義完畢，它會有三個(gè)模塊：

序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

其中稠密性和完備性都屬于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述。

對于實(shí)數(shù)域的完備性，最粗糙的描述即一條實(shí)數(shù)軸上每一點(diǎn)都完全對應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，沒有任何空隙。

而稠密性即每兩個(gè)點(diǎn)之間總能找到一個(gè)點(diǎn)。

滿足稠密性并不一定滿足完備性。

2.戴德金定理

從上節(jié)我們知道，在有理數(shù)上做戴德金分割，分割出來的β集合（上集）：

若β有最小元素，則為有理數(shù)；

若β無最小元素，則為無理數(shù)。

若實(shí)數(shù)域的完備的話，從實(shí)數(shù)域上做戴德金分割，分割出來的β必定都有最小元素才行。

這就是戴德金定理。

戴德金定理表明實(shí)數(shù)域確實(shí)沒有空隙，因此其刻畫了實(shí)數(shù)域的完備性。戴德金定理是刻畫實(shí)數(shù)域完備性的一個(gè)角度。

3.確界原理

確界原理從另一個(gè)角度刻畫了實(shí)數(shù)域完備性。