牛頓379、證明拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理（百度百科）：…

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…拉格朗日中值定理：見《牛頓376》…

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定理表述

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如果函數f（x）滿足：

…函、數、函數：見《歐幾里得52》…

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（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內可導；

那么在開區(qū)間（a，b）內至少有一點ξ（a＜ξ＜b）使等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）?成立。

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…可導：若f（x）在x0處連續(xù)，則當a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導…見《牛頓360》…

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數學上的隨機變量…

“上兩集講了直線點斜式，斜截式知識。

現在我們用這些知識詳解拉格朗日中值定理圖示?！爆F代學者說。

…上兩集：指《牛頓377》、《牛頓378》…

…直線點斜式：見《牛頓377》…

…直線斜截式：見《牛頓378》…

…知、識、知識：見《歐幾里得5、6》…

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“A點坐標[a，f（a）]，B點坐標[b，f（b）]，則△x=b-a，△y=f（b）-f（a）?！爆F代學者接著說，“于是：斜率（導數的幾何意義）k=△y/△x=[f（b）-f（a）]/（b-a）?！?/p>

…導、數、導數：見《牛頓288~294》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

“已知斜率k和直線上一點A[a，f（a）]，代入直線點斜式公式y(tǒng)-b=k（x-a），得：

y-f（a）=[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）

移項得：y=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）

上式即為過AB兩點的直線表達式?！爆F代學者最后說。

[方程y-b=k（x-a）叫做直線的點斜式方程，其中?（a，b）是直線上一點。

——見《牛頓377》]

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2020-07-26 09:11?網友“strongdady”上傳名為《拉格朗日中值定理的輔助函數的構造原理》的文檔。

…構、造、構造：見《牛頓59》…

…原、理、原理：見《歐幾里得41》…

文檔內容：…

…內、容、內容：見《歐幾里得66》…

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有多種構造方法，輔助函數不止一個。

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

一，多種幾何方法

思路：設構造出的輔助函數為F，必須有F（a）=F（b），才能應用羅爾中值定理

…應、用、應用：見《歐幾里得181》…

…羅爾中值定理：見《牛頓367~375》…

[注意，是F（a）=F（b），而非F（a）=F（b）=0，不需要等于0]

方法1：讓f（x）曲線的弦下移，跟x軸重合，即可保證F（a）=F（b）。[且F（a）=F（b）=0]
方法2：f（x）的左端點A不動，右端點B下移到跟左端點A相同高度即可保證F（a）=F（b）。[但是F（a）=F（b）≠0]

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方法3：讓左端點A上升到跟右端點B相同水平高度即可保證F（a）=F（b）。[但是F（a）=F（b）≠0]

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拉格朗日的做法，是方法1。

方法1
讓f（x）在[a，b]區(qū)間內的所有點下移；下移直線弦AB，并使之跟x軸重合，即F（a）=F（b）=0。

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這個下移的距離是一個跟x有關的函數。

這個函數就是弦AB的函數：y=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）

f（x）減去弦的高度（即上式的弦方程），即可做到f（x）曲線的右端點B落在x軸上，即：F（x）=f（x）-y=f（x）-{f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）}

??????????=f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）
上式與拉格朗日中值定理的輔助函數，完全一致。

“怎么理解‘f（x）減去弦的高度（即上式的弦方程），即可做到f（x）曲線的右端點B落在x軸上’？

可以這樣理解：F（x）曲線上的每個點的y值，是曲線f（x）的y值，減去弦AB的y值，得出的那個值。

比如x=a的點A，同時在曲線f（x）和弦AB上，兩y值相減得0，0即x=a時，F（x）曲線上的點的y值，即點a（a，0）。

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同理得出點b（b，0）及F（x）曲線上所有的點，即圖中虛線部分?！爆F代學者說。

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“構造的新函數F（x）在區(qū)間[a，b]上滿足羅爾定律的條件，于是至少存在一點ξ∈（a，b），使F’（ξ）=0，即F’（ξ）=f’（ξ）-[f（b）-f（a）]/（b-a）=0

由此得f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）”現代學者接著說，“于是拉格朗日中值定理得到了證明。”

…∈：數學符號“屬于”…見《牛頓303》…

注：

F’（ξ）={f（x）-f（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）}’

??????=f’（x）-f’（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）’

??????=f’（x）-f’（a）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x’-a’）

??????=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）·1

??????=f’（x）-[f（b）-f（a）]/（b-a）

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[導數的四則運算法則：

（f1±f2±…±fn）’=f1’±f2’±…±fn’

（Cu）’=Cu’

——證明見《牛頓366》

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常數的導數是0。

——證明見《牛頓333》。]

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……

【注意】有網友認為曲線先下落，然后以（a，0）點為軸，旋轉曲線右端點到x軸，這是錯誤的。

…錯、誤、錯誤：見《歐幾里得193》…

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因為旋轉是弧形旋轉，弦AB長度不變，實際是長度縮短了，因為是投影下來的，曲線兩端點的距離不變。

…距、離、距離：見《牛頓147》…

“減去h（x）以后，f（x）變成F（x）。

不妨把h（x）寫成kx+l，
則F’（x）=f’（x）-k
k是AB兩點連線的斜率，要證明存在一點s，使得f’（s）=k，也就是證明存在一點s，使得F（s）=0。

請看下集《牛頓380、拉格朗日輔助函數》”

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