【菲赫金哥爾茨微積分學教程精讀筆記Ep1】從教材展開的選擇聊起
大概從半年前，老碧開始在公眾號上面寫文章。文章的內(nèi)容呢，往往就是把老碧接觸了解過的一些內(nèi)容和知識分享給大家。
因為涉及的領(lǐng)域比較寬泛，所以就會出現(xiàn)一個異常有意思的現(xiàn)象，每次一到數(shù)學相關(guān)的科普文，閱讀量就會急速驟降，而粉絲量卻會增加地最多。
我猜想大概是因為，因為固化思維，和學校教學，導致數(shù)學給大多數(shù)人的印象是晦澀難懂，所以看到標題是數(shù)學許多人就放棄了點進去看的念頭。但是，老碧的文章確實還是有那么點意思，于是許多對數(shù)學有點興趣的人就會欣然粉上了。
最近老碧最驚喜的是，老碧的好基友，遠在美國某藤校數(shù)學系讀博的M居然也開始看老碧寫的數(shù)學科普了。受寵若驚，受寵若驚！
（希望他們看完我分享的詞匯，健身，文學，影視，等等，方面的內(nèi)容也別取關(guān)就好了！）
老碧最近在填的大坑是關(guān)于“數(shù)學為什么作為自然科學的語言，是具有無與倫比的優(yōu)越性的”，聊到了數(shù)學方法的嚴謹性部分。下周會聊到數(shù)學的抽象性以及工具性的部分。感興趣的朋友可以搜索“老碧的知識攤子”，看上去，嚴肅得不得了，實際上，都是很輕松有趣的話題！
廣告結(jié)束，言歸正傳。聊聊今天的主題——
最近公眾號上聊到數(shù)學作為語言的話題，正好提到很重要的一點，我直接搬過來：
“如果把一個全新的科目看成“一個國家”，那么這門學科的所有定義就可以看做這個國家的“語言”。與此同時，每一門學科都有一個無法進一步追問的內(nèi)容，被老碧稱為“邏輯起點”，在數(shù)學中，即為公理，可以視作這個國家的“法律”。
（高效學習一門學科最重要的一項內(nèi)容莫過于：理清楚這門學科的邏輯邊界，準確而深刻地記憶和理解盡可能多的定義和公理。理想狀態(tài)是這樣，現(xiàn)實情況就是多做作業(yè)多看書多思考就好了，以后老碧再分享幾個自學過程中最浪費時間的惡習以及解決方法，拭目以待?。?/p>
而每一門學科能夠成為學科的原因，恰恰在于其中有一些公認正確的部分，作為根基。然后在利用邏輯作為營養(yǎng)，開枝散葉。
這在數(shù)學教材的展開中也有所體現(xiàn)：
有一種自然科學的定義（自然科學的定義非常多），便是以實驗為根基。所以你會發(fā)現(xiàn)大一化學書，會花相當大的篇幅來聊實驗的發(fā)展歷程?！@也是數(shù)學教材的展開思路之一（從自然數(shù)，到整數(shù)，到分數(shù)，到無理數(shù)，等等~）；
另一種方式則是以“數(shù)學語言”——定義，和“邏輯起點”——公理出發(fā)，導出所有的定理。”
市面上常見的《數(shù)學分析》的展開思路無外乎這兩方面。
國內(nèi)教材大多數(shù)選擇聊數(shù)的發(fā)展史，引入實數(shù)理論然后展開實數(shù)完備性的內(nèi)容。
俄羅斯教材則往往采取從定義和公理出發(fā)的，《微積分教程》這本書也不例外，不過它不像卓里奇的《數(shù)學分析》挑明了說罷了。
今天老碧讀的是1~8頁，我們先聊聊第一頁到第六頁的內(nèi)容：
1前言：聊聊根號二為什么不是有理數(shù)？
這道題的證明普遍是用這本書的證法
但是還有一種證法其實更普適（周民強《數(shù)學分析習題演練》用的就是這種證法），就是利用多項式理論里面的一個性質(zhì)，大概意思就是每一個不是1的整數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)數(shù)的乘積，并且不考慮次序差異，這種分解是唯一的。
p如果和q沒有公共質(zhì)因數(shù)，那么平方之后，等于把各自的質(zhì)因數(shù)又重復列舉了一下，莫非忽然就冒出來一個因子是他倆共有的了？就好比說小明和小紅哪哪都不一樣，我們把他倆克隆了一下，忽然發(fā)現(xiàn)長得有點像了？莫不是克隆容器被污染了？這種方法的普適性在于，可以直接推向有限次開方的情況中。
于是，導出了一個結(jié)論，除了有理數(shù)還有一種“其他數(shù)”，比如根號2這種奇葩，至于這個“其他數(shù)”是什么？我們還不知道？但是，我們得想一種辦法，去定義這個數(shù)，使這個數(shù)做到：
有理數(shù)有的性質(zhì)它都有；
除了它和有理數(shù)沒有其他類型的數(shù)了。
（鑒于人類總喜歡搞事情，所以這個范圍是指在數(shù)軸，即一維空間中。）
自然而然之后幾頁的內(nèi)容就是做著兩件事，從第2頁到第6頁在闡明有理數(shù)的性質(zhì)：
2有理數(shù)的序；
3有理數(shù)的加法及減法；
4有理數(shù)的乘法及除法；
5阿基米德公理
第二節(jié)定義了大于：
序，就是次序的意思，真正正兒八經(jīng)定義序，是在《實分析》的課本里面，定義了偏序/半序和全序。我們總是因為從小學習的原因，認為大于，小于是比較實際數(shù)量的大小，其實不是，它表示的是一個數(shù)在自然排列中是先出現(xiàn)還是后出現(xiàn)，而這個次序并不一定是必然的。試想，如果我們最初用符號5表示三個蘋果，符號3表示五個蘋果，那么數(shù)數(shù)的方式是不是應該是12543了呢？再想，如果所有運動員都是隨機穿衣服，3號球員和5號球員會存在大小差異嗎？僅僅是次序而已。
第二節(jié)就是有名的序公理。
第三節(jié)定義了加法：
實際上，列舉性質(zhì)作為定義的方式在大學數(shù)學學科中很常見，更重要的是記住里面的例子和證明方式。
而列舉這四個性質(zhì)，其實就說明了有理數(shù)是一個交換群。《抽象代數(shù)》里面幾個重要的定義?？梢赃@么背下來：
結(jié)合律=半群
有單位元的半群=幺半群
有逆元的幺半群=群
群+交換律=Abel群
這一節(jié)還由加法推出相反數(shù)的對稱性，引出了絕對值的概念。
第四節(jié)定義了乘法，由提到了涉及乘法與加法的分配律
數(shù)域的一種定義方式即是，一個含有兩種運算的集合，這兩種運算還滿足分配率。
所以這九條性質(zhì)又稱為是域公理。如果你學過《線性代數(shù)》，會發(fā)現(xiàn)，這幾條性質(zhì)和線性空間的性質(zhì)異常相似。因為運算實際上可以看作是兩個集合的笛卡爾積到另一個集合的映射，但是，域中運算的笛卡爾積是一個數(shù)集與自身的笛卡爾積，映射得到的集合還是該數(shù)集，線性空間的運算的笛卡爾積則是數(shù)集與向量集的笛卡爾積，映射得到的集合還是該向量集。笛卡爾積本質(zhì)上可以看做是一個升維的操作，而數(shù)字乘法，或者向量點乘都可以看做是一個降維的操作。
不要問我為什么補充了這一堆，別人完全不會弄錯的問題。我是不會承認我一度沒有搞明白這兩者的區(qū)別的！
第五節(jié)介紹了阿基米德公理
這個公理看似很無厘頭，然而，可以說之后所有極限證明最根本的理論支撐就在這里。還記得極限運算是在求一個N嗎？如果沒有一條規(guī)則證明，對任何一個數(shù)總存在比它大的整數(shù)，為什么你可以說這個你求出來的N是存在的呢？結(jié)合后面證明無窮大的思想，其實都是基于阿基米德公理這個基石的。所以異常重要。
第二到四節(jié)便是有理數(shù)的所有公理性性質(zhì)，也就是老碧在前文中提到的邏輯起點，而這本書緒論要做的便是：
定義一個數(shù)；
這個定義的數(shù)集內(nèi)，上述公理依然成立。
實際上在《高等代數(shù)》里面學到涉及到數(shù)系同構(gòu)理論的內(nèi)容，這部分就更好理解了。
關(guān)于數(shù)系具體如何定義，我們下次再說。
篇幅過長，下一回會精簡。
后記：為什么所有其他書的讀書筆記都叫做“閱讀筆記”，而只有這本書是叫做“精讀筆記”，原因很簡單，這本書我不是第一次讀，不過之前讀得很零散，一度淪為查資料用的工具書，但是，我內(nèi)心對這本書是十分喜愛的，所以決定利用這個契機，逼著自己通讀完至少一遍。
許多對數(shù)學有點了解的寶寶，可能上手入門的第一本專業(yè)書就是這本。原因是，真的非常多的數(shù)學專業(yè)的大神，說這本書多么多么地基礎(chǔ)。然而就我了解的真相，如果有誰說這本書基礎(chǔ)，極有可能是略過了理論部分只看了習題證明。
這本書的理論部分覆蓋的范圍極寬廣，并且真的讀懂了，你數(shù)學分析解題能力會上很大一個臺階，我相信有許多老數(shù)學家是有不斷重讀這本書的。我的偶像史濟懷老師，寫過三版《數(shù)學分析教程》，作為粉絲的我自然都收集全了。他書里的實數(shù)理論部分很明顯受到《微積分學教程》的影響，尤其是有幾道數(shù)列極限題的證明。
當然，史老師作為一名杰出的數(shù)學工作者和教學者，最厲害的地方在于，他書里的許多證明不拘泥于套路，自成一格。乍一看你會糾結(jié)，為什么明明有更簡單的方法，非要用這種偏復雜的方法？但是如果你看完了整本書。就會明白，史老師，是在不斷尋求更普適的解題方法，第一章出現(xiàn)的解題技巧或者習題的結(jié)論，可能第二十章還會用到，他在前幾章教授的所有技巧都是可以貫穿數(shù)分始終，乃至常微分方程，實分析部分的證明題也能夠用得上。
另外，在國內(nèi)數(shù)學系考研最通行的教材“華師大版”則更像是《微積分學教程》的一個精華版，許多人詬病華師版教材如何如何簡單，不夠難。其實并非如此，這本書里面還是有一些內(nèi)容很有深度的，只不過會拿這本書做參考書的院校往往考題不會出得太難罷了?！叭A師大”版的作者程其襄，如果你把這兩本《數(shù)學分析》和他的《實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》一起讀，會很佩服這位老一輩數(shù)學家的積淀與思考的。
實際上，許多人說《微積分學教程》好讀，簡單，基礎(chǔ)的原因不過是因為：
沒有大量引入邏輯符號語言，廣泛地使用自然語言；
沒有涉及太多現(xiàn)代數(shù)學的部分，如流形，實變，泛函等等；
例題簡單；
說話者是數(shù)學專業(yè)的尖子生。
但是恰恰這四點是老碧認為這本書讀起來很容易卡住的原因：
自然語言容易因為斷句或者翻譯問題產(chǎn)生歧義，然后失之毫厘謬之；
沒有涉及現(xiàn)代內(nèi)容，所以簡單？難道不是應該導致：許多用稍微現(xiàn)代點的技巧輕松做出來的題目，用古典的方法感覺很崎嶇嗎？特別是，用符號一句話說明白的事，硬是硬生生寫了一段；
例題并不都很簡單，有些讀完了這本書還來問我基礎(chǔ)題的人，我很奇怪你們是不是讀了假書，這本書題目收集真的很全面了，想要消化不算太簡單；
（因為老碧只會基礎(chǔ)題。）
數(shù)學系尖子生，看啥都簡單，和我們?nèi)嗣袢罕姏]啥關(guān)系。
這也是老碧為啥要寫《精讀筆記》的原因，雖然不一定有人看吧，但是寫下來以后讀這本書對照著看會更輕松。也希望借這個契機好好讀完這本書。
畢竟有一部分內(nèi)容每次看都挺辛苦的。
