下面把∏?-反射 onto 簡寫為x-，且則用空格代替。a是b穩(wěn)定則用箭頭代替,即a→b 首先是∏?-反射(簡寫為1): 1=ω 1-1=ω^2 1-1-1=ω^3 (1-)^ω=ω^ω 左上角表示反射鏈長度 (1-)^((1-)^ω)=ω^^3 a->(1-)^a的第一個不動點就是ε_0 我們可以設(shè)X(1,m)=a->(1-)^a的第m個不動點.然后用X(2,0)折疊X(1,…)的不動點.這樣繼續(xù)下去.可以得到任意大的遞歸序數(shù). ∏?-反射(簡寫為2,后面將不再敘述): 2=ω_1^CK 因為1反射序數(shù)可以描述任意大的遞歸序數(shù).但它永遠也描述不了ω_1^CK(首個非遞歸序數(shù)).所以2反射=ω_1^CK. 下面把ω_x^CK簡寫為Ω_x 1-2=Ω_ω 第ω個非遞歸序數(shù) 1-1-2=Ω_(ω^2) 第ω^2個非遞歸序數(shù) (1-)^ω 2=Ω_(ω^ω) 通過把1反射的不動點套在2反射前可以得到任意Ω_(遞歸序數(shù)) (1-)^(2) 2=Ω_Ω 長度為Ω的1反射鏈. (1-)^(1-2) 2=Ω_Ω_ω (1-)^((1-)^(2)) 2=Ω_Ω_Ω a->(1-)^a 2的第一個不動點是Φ(1,0).也就是Omega不動點. 通過創(chuàng)造(1-)^a 2的各種不動點可以得到任意大的容許序數(shù).放在OCF里就是諸如ψ_I(I^2),ψ_I(K)之類的東西. 它們永遠小于也到達不了“I”遞歸不可達序數(shù). 2 1-2=I 它正是 1-1-…2描述不了的 1-(2 1-2)=I_ω 第ω個不可達序數(shù) 1-1-(2 1-2)=I_(ω^2) (1-)^(2) (2 1-2)=I_Ω (1-)^(2 1-2) (2 1-2)=I_I (1-)^((1-)^(2 1-2) (2 1-2)) (2 1-2)=I_I_I 通過創(chuàng)造(1-)^a (2 1-2)的各種不動點可以得到ψ_I(1,0)(I(1,0,0)),ψ_I(1,0)(M^5)…等各種序數(shù)(在OCF中) 它們永遠達不到下面的: 2 1-(2 1-2)=I(1,0) I的容許極限,1-1-…(2 1-2)無法描述的序數(shù). 1-(2 1-(2 1-2))=I(1,ω) (1-)^(2 1-(2 1-2)) (2 1-(2 1-2))=I(1,I(1,0)) 2 1-(2 1-(2 1-2))=I(2,0) I(1,0)的容許極限 2 1-(2 1-(2 1-(2 1-2)))=I(3,0) (2 1-)^ω=I(ω,0) (2 1-)^((2 1-)^2)=I(I(1,0),0) 下面把(2 1-)^(…)的第一個不動點記為(2 1-)^(1,0).那么(2 1-)^(1,0)=ψ_I(1,0,0)(0) 2 1-(2 1-)^(1,0)=(2 1-)^(1,1)=I(1,0,0).I(…,0)的容許極限.也是a->(2 1-)^a的第二個不動點. 通過創(chuàng)造(2 1-)^a的各種不動點.我們可以得到任意大的不可達序數(shù). 2-2=M Mahlo序數(shù),(2 1-)^…所無法描述的序數(shù) 1-2-2=M_ω 第ω個Mahlo序數(shù) (1-)^(2-2) 2-2=M_M (1-)^(1,0) 2-2=MFP Mahlo不動點 2 1-2-2=M(1,0) Mahlo序數(shù)的容許極限 2 1-(2 1-2-2)=M(2,0) M(1,x)的容許極限 2 1-(2 1-(2 1-2-2))=M(3,0) (2 1-)^ω (2-2)=M(ω,0) (2 1-)^((2 1-)^ω (2-2)) (2-2)=M(M(ω,0),0) (2 1-)^(1,0) (2-2)=a->M(a,0)的第一個不動點 (2 1-)^(1,1) (2-2)=M(1,0,0) M(x,0)的容許極限 如此往復,(2 1-)^a (2-2)的各種不動點可以得到M(a,b,c,d)…等任意大的Mahlo序數(shù). 2-2 1-2-2=M[1,0] 2-Mahlo序數(shù),它放到ocf里折疊出M(a,b,c,…) 2 1-(2-2 1-2-2)=M[1,(1,0)] 2-Mahlo序數(shù)的容許極限 2 1-(2 1-2-(2-2 1-2-2))=M[1,(2,0)] (2 1-)^(1,1) (2-2 1-2-2)=M[1,(1,0,0)] 2-2 1-(2-2 1-2-2)=M[3,0] 3-Mahlo序數(shù).它放到ocf里會折疊出M[2,(a,b,…)] 2-2 1-(2-2 1-(2-2 1-2-2))=M[4,0] 4-Mahlo序數(shù) (2-2 1-)^ω ω-Mahlo序數(shù) (2-2 1-)^(1,1) M[(1,0),0] a-Mahlo序數(shù)的容許極限 2-2-2=M[1,0,0] 超Mahlo序數(shù) 2-2-2-2=M[1,0,0,0] (2-)^ω=M[1@ω] (2-)^(1,0)=M[1@M[1@…]] ∏?-反射 3=K 弱緊序數(shù) 接下來將加快速度 1-3=K_ω 2 1-3=K(1,0) K的容許極限 2-2 1-3 K的Mahlo極限 2-2-2 1-3 K的超Mahlo極限 3 1-3 自己的自己極限 3 1-(3 1-3) 自己的自己的自己極限 2-3 (都不知道怎么描述了) 2 1-2-3 它的容許極限 2-2 1-2-3 它的Mahlo極限 3 1-2-3 它的K極限 2-(3 1-2-3) 它的自己極限 1-2-(3 1-2-3) 第ω個它自己極限 2-2-3 不再敘述 2-2-2-3 3 2-3 2-(3 2-3) 2-2-(3 2-3) 3 2-(3 2-3) 3 2-(3 2-(3 2-3)) 3-3 終于來到了長度為2的3反射鏈 3-3 2-3-3 3-3 2-(3-3 2-3-3) 3-3-3 3-3-3-3 (3-)^ω (3-)^(1,0) ∏?-反射 4-4 5 6 114514 … ω 雖然ω反射不存在,但便于理解還是寫上了 ω-ω-ω ω+1-反射 ε_0-反射 ψ(K_3)-反射 Ω-反射 I-反射 M-反射 K-反射 4-反射-反射 ω-反射-反射 ω-反射-反射-反射 假設(shè)存在一個反射不動點,它是∏_∏_…=∏(1,0) -

反射的使命到此為止

- --- a→a+1-∏0 穩(wěn)定 這是最小的穩(wěn)定序數(shù),它相當于ω-反射 a→a+1-∏1 穩(wěn)定 它相當于ω+1-反射 a→a+1-∏2 穩(wěn)定 ω+2-反射 a→a+1-∏ω=a→a+2-∏0 穩(wěn)定 ω2-反射 穩(wěn)定序數(shù)尾部滿ω進1.也就是說,一層穩(wěn)定相當于ω層反射. 下文將省去穩(wěn)定后綴 a→a+2-∏0 ω3-反射 a→a+ω-∏0 ω^2-反射 a→a+ε_0-∏0 ε_0-反射 a→a+Ω-∏0 Ω-反射 a→a+(∏3-Ref)-∏0 K-反射 a→a+(a→a+1-∏0)-∏0 ω-反射-反射 a→a2-∏0 ∏(1,0)-反射 a之于a→類似于Ω之與ψ 反射的復雜層級,只需要穩(wěn)定序數(shù)的簡單運算就可以達到 a→a2+1-∏0 a→a2+(a→a2-∏0)-∏0 a→a3-∏0 a→aω-∏0 a→a(a→a+1-∏0)-∏0 a→a^2-∏0 a→a^3-∏0 a→a^(a→a^2-∏0)-∏0 a→a^a-∏0 a→a^a^a-∏0 a→ε_(α+1)-∏0 a的ε點 a→Γ_(α+1)-∏0 a的Γ點 a→ψ_Ω_(α+1)(Ω_(a+2))-∏0 a→ψ_Ω_(α+1)(I(1,0,a+1))-∏0 把a代入到ocf中 a→Ω_(α+1)-∏1 a的容許點 a→ψ_Ω_(α+2)(M_(a+ω))-∏0 a→Ω_(α+2)-∏1 a→Ω_(α+ω)-∏0 ω-Dropping的極限 a→Ω_(α2)-∏0 a→Ω_(ψ_Ω_(a+1)(Ω_(a2)))-∏0 a→Ω_Ω_(a+1)-∏1 a→Φ(1,α+1)-∏0 a之后的ofp a→ψ_I_(a+1)(I(a+1)^2)-∏0 a→I_(α+1)-∏1 a→I_I_(α+1)-∏1 a→ψ_I(1,a+1)(I(1,a+1))-∏1 a→I(1,α+1)-∏1 a→I(1,0,α+1)-∏1 a→M_(α+1)-∏1 a之后的Mahlo點 a→K_(α+1)-∏1 a之后的K點,又稱a→∏3-反射 after a-∏1 a→∏4-反射 after a-∏1 a→∏ω-反射 after a-∏1=a→b→b+1-∏0-∏0 長度為2的穩(wěn)定鏈 這個東西是不是類似于a→a+1-∏0穩(wěn)定=∏ω-反射?但它是關(guān)于a的. a→b→b+1-∏1-∏0 a→b→b+2-∏0-∏0 a→b→b+(a→b→b+1-∏0-∏0)-∏0-∏0 a→b→b+a-∏0-∏0 a→b→b+a^2-∏0-∏0 a→b→b+K_(a+1)-∏1-∏0 a→b→b+∏ω-反射 after a-∏0-∏0 =a→b→b+(b→b+1-∏0)-∏0-∏0 a→b→b2-∏0-∏0 開始折疊b a→b→b^2-∏0-∏0 a→b→ε_(b+1)-∏0-∏0 a→b→Ω_(b+1)-∏1-∏0 a→b→K_(b+1)-∏1-∏0 a→b→∏ω-反射 after b-∏0-∏0 =a→b→c→c+1-∏0-∏0-∏0 當b大到∏ω反射之后時,需要用c來折疊.形成長度為3的穩(wěn)定鏈. a→b→c→c+a-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c+b-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c+(c→c+1-∏0)-∏0-∏0-∏0 a→b→c→c2-∏0-∏0-∏0 開始折疊c a→b→c→∏4反射 after c-∏0-∏0-∏0 a→b→c→d→d+1-∏0-∏0-∏0-∏0 長度為4的穩(wěn)定鏈(請自行想象) 像α→β→γ→…這樣的鏈條稱為穩(wěn)定鏈,當穩(wěn)定鏈的長度達到ω的時候.這個序數(shù)放在OCF里被稱為PLRO(它不是真正的穩(wěn)定鏈) 目前為止,我們達到了BMS的(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2) 未完待續(xù)