上一節(jié)的幾個(gè)例子：

例子1：讓S和S'都是實(shí)數(shù)集(R)，然后定義的映射為，我們可以說(shuō)f的像(image)是所有大于等于0的實(shí)數(shù)。

如果加了一個(gè)S的子集T，我們可以用相同的規(guī)則重新定義一個(gè)T的一個(gè)新映射，此時(shí)的f就是受T限制的f，這就是f限制(restriction)于T，

是單射(Injective)，如果任意兩個(gè)不同的成員x和y，他們的像都不同。

例子2：不是一個(gè)單射映射，所以我們?cè)O(shè)置一個(gè)g，將g定義為，這樣的話(huà)g就是單射映射，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)不同的x無(wú)法得出兩者皆相同的g(x)。

在中，如果所有S'的成員，都有其對(duì)應(yīng)的S成員。這個(gè)就叫滿(mǎn)射(Surjective)。

例子3，還是上面的映射，，f不是滿(mǎn)射，因?yàn)镾'中的負(fù)數(shù)并不是S的像，但是g(x)=x+1是滿(mǎn)射，因?yàn)樗械膅(x)都有其對(duì)應(yīng)的x。

如果這個(gè)映射同時(shí)滿(mǎn)足單射與滿(mǎn)射的特性（一對(duì)一），我們稱(chēng)之為雙射(bijective)。

例子4：如果一個(gè)映射呈現(xiàn)的是的情況，我們稱(chēng)之為恒等(Identity)，恒等必然映射。

如果T是S的子集，那么T的恒等映射，可以被S視為包含映射(Inclusion)，一般是這樣寫(xiě)：

如果S,T,U為集，而

，

我們可以以此形成復(fù)合映射(composite mapping)，

，

因?yàn)?/p>

例子5：讓，因此，而。

因此，

映射的“套娃”是滿(mǎn)足結(jié)合律的，比如：

論證方式：

左側(cè)：

右側(cè)：

另外，在這些映射中，如果f和g是單射，那么也是單射，如果f和g是滿(mǎn)射，那么也是滿(mǎn)射。如果f和g是雙射，那么也是雙射。

論證：假設(shè)f和g都是單射，x不等于y，由于f是單射，所以，因此，因?yàn)間也是單射。

如果f和g都是滿(mǎn)射，就存在著x不等于y，而f(x)=f(y)，由于g也是滿(mǎn)射，所以也存在g(x)=g(y)，因此g(f(x))=g(f(y))成立。

逆映射(inverse mapping)使得兩個(gè)映射組合成為恒等映射。

如果f存在其逆映射，那么f是雙射。

一個(gè)雙射的恒等映射，可以稱(chēng)之為S的排列(Permutation of S)，這個(gè)集又被稱(chēng)為Perm(S)。

如果都是S的排列，這樣我們會(huì)直接寫(xiě)成

例子：在平面幾何中，一個(gè)的映射可以說(shuō)是等距(isometry)，如果F保存著其距離，也就是說(shuō)任意兩個(gè)點(diǎn)P和Q，