[來自2023.5.29：似乎看的人還挺多？距離筆者寫這篇notes已經(jīng)有小半年了，由于筆者是物理系的，目前正在學(xué)量子場(chǎng)論（qft），這里我稍微推薦基本比較能讓讀者建立線代思想的書籍，以及進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，當(dāng)然，這是按照物理系安排的方法來的，我猜數(shù)學(xué)人估計(jì)不會(huì)點(diǎn)進(jìn)來看筆記doge：第一個(gè)要聲明的是，這篇note里并無除此視頻以外的內(nèi)容，只不過稍微對(duì)視頻中的內(nèi)容有所解釋，沒有更多的延拓與理解，因此我推薦一些書籍：pku的那本《簡(jiǎn)明高等代數(shù)》的風(fēng)格和3b1b的風(fēng)格還是挺像的（線代部分，當(dāng)然要是想學(xué)完高等代數(shù)也并非不可），值得一看。還有一本鼎鼎大名的書《Linear algebra done right》中譯本叫《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》的書，盡管書的作者說這是為第二次學(xué)線性代數(shù)的學(xué)生準(zhǔn)備的，但我仍然認(rèn)為這是一本講線代的思想講的極其清楚的書籍，并且后面有講一些譜理論和一點(diǎn)算子的思想，3b1b的可視化將是你理解線性代數(shù)的利器，如果我以后給我的學(xué)生講線代，我估計(jì)會(huì)讓他們把這系列看完，然后我再給他們講done right；第二個(gè)有趣的點(diǎn)在于，右手定則在更廣義的拓展上來自于Grassmann algebra的反對(duì)稱性（感興趣的可以看梁昆淼的《微分幾何和廣義相對(duì)論》講外積那一節(jié)，或者你可以在b站搜索“當(dāng)時(shí)月影已不在”，加入我們的學(xué)習(xí)群（私信即可，記得標(biāo)注自己的年級(jí)以及方向），有寫的更棒的講義，這本講義的作者就是這位up主，代數(shù)專業(yè)的，你看了后就會(huì)明白他寫的多么好了），大概先說這么多，要是后面有物理系的學(xué)生對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)感興趣的話我再稍微寫寫doge]

linear algebra(basis is the words we describe linear space):

1:linear combination:if you fix one of those scalars and let the other one change its value freely,the tip of the resulting vector draws a straight line.(an intuitive and funny explanation)

2.span: the set of all possible vectors that you can reach with a linear combination of a given vectors is called the "span" of those two vectors.

3.linear dependent:

linear independent:

I prefer this way(since it could show all the basis have the same weight):

([doge]):

4.linear transformation(input--->output "map"):

definition:T(a+b)=T(a)+T(b)

T(ca)=c T(a)

inference:

Matrix:[T(i) T(j)] (the langue we describe the linear transformation)

"shear"(“剪切”):

Matrix--vector multiplication:

Satisfying associative law:

(M?M?)x=M?(M?x) (x是向量)

geometric way to explain it:

3-d space:

（值得一看的動(dòng)漫）

5.determinant:

definition(geometrically):

PS:行列式可為負(fù)：

3-d:

PS:變換矩陣的行列式為0時(shí)，它的Columns must be linearly dependent

描述三維空間定向的方法(the famous"right hand rule"):

computing method(intuitive way):

algebraic operation(代數(shù)運(yùn)算):

geometric way to explain it:

the stretching or compression of a linear space by two matrices is equivalent to the effect of the "sum matrix" on the linear space

6.solve linear system equations:

geometric interpretation:

reason:

tip:column space--->row space(linear transformation)

det(M)≠o:

可通過逆向線性變換（逆矩陣）求解

notice:the reason is it's an injective map（單射）

det(M)=0,no inverse

注：該線性變換的結(jié)果為向量，即該線性變換為“非單射”（非函數(shù)），任意升維線性變換（"raised" rank）都是“非單射”形式的（這里把Matrix比作函數(shù)可能有些誤導(dǎo)），如對(duì)一維向量使用“升維”線性變換將會(huì)得到一個(gè)平面

（需要在transformation后存在解, "eigenvector"）

Rank（"秩"的概念）:

the dimension of the column space(

column space:the "span" of the linearly transformed vector)

null space("Kernel"，核):the span of the vectors that becomes the zero vector after the linear transformation.

非方陣：

3 by 2:

2 by 3:

7.duality property and dot product

非方陣與投影（這里以2 by 2 matrix舉例）

duality property:

dot product is equivalent to the projection of the basis onto the dual vector (the geometric meaning of the dot product)

8.cross product(linear transformation and duality property) :

determinant的結(jié)果是一個(gè)number,因此它與一個(gè)三維到一維的線性變換有關(guān)（這里以三維到一維為例）

我們知道，三維到一維的線性變換可等價(jià)為“該向量”對(duì)dual vector的投影

同上，這個(gè)dual vector即為叉積的幾何意義

定義linear transformation

[若考慮輸入任意 "x,y,z" 向量，該計(jì)算的幾何意義為該平行六面體的體積，'x,y,z'向量對(duì)v,w平面上的投影與v,w平面面積的乘積，同樣的，它與對(duì)偶向量(長(zhǎng)度為v,w的平面面積值,不帶有物理意義，行列式)和"x,y,z"向量的點(diǎn)積等價(jià)]

9.Transformation of basis

other's language(other basis)

(PS:2,1 and -1,1 are "our language"or"our vector space".)

make 2,1 -1,1 be basis(1,0 0,1)