今天開始繼續(xù)聊子列的定理——

41Bolzano-Weierstrass引理

布爾查諾-魏爾斯特拉斯引理：有界數(shù)列必存在收斂子列。

思路：看到有界自然會(huì)聯(lián)想起來幾個(gè)實(shí)數(shù)定理中的“單調(diào)有界定理”，已知數(shù)列有界，它的子列肯定也有界，只要在這些子列中存在單調(diào)的即可。

書上則應(yīng)用了“閉區(qū)間套定理”來證明，閉區(qū)間套定理的應(yīng)用往往配合“二分法”或者“三分法”——

已知：數(shù)列{xn}是有界數(shù)列，即對(duì)于任意自然數(shù)n，存在實(shí)數(shù)a，b使得a<=xn<=b；

求證：數(shù)列{xn}存在有界收斂子列{xnk}，即對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)k>N時(shí)，有|xnk-x|<ε；

工具：閉區(qū)間套定理

方法：二分法

證明——

step1：構(gòu)造閉區(qū)間套，得到對(duì)應(yīng)x——

1. 已知數(shù)列{xn}是有界數(shù)列，即對(duì)于任意自然數(shù)n，存在實(shí)數(shù)a，b使得a<=xn<=b；

2. 令a1=a，b1=b，得到第一個(gè)閉區(qū)間[a1，b1]；

3. 將[a1，b1]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]，其中必然有一個(gè)閉區(qū)間包含數(shù)列{xn}中無限元素，（反證法）如果兩個(gè)閉區(qū)間包含的{xn}中的元素都是有限的，那么這兩個(gè)區(qū)間一起包含的{xn}中的元素也是有限的，而數(shù)列是無限集，得出矛盾，得證；

4. 如果[a1，（a1+b1）/2]包含數(shù)列中無限元素，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果[（a1+b1）/2，b1]包含數(shù)列中無限元素，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二個(gè)閉區(qū)間[a2，b2]；

5. 依次重復(fù)上述步驟……

6. 將[ak，bk]等分成兩個(gè)閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果[ak，（ak+bk）/2]包含數(shù)列中無限元素，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果[（ak+bk）/2，bk]包含數(shù)列中無限元素，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1個(gè)閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；

7. 將上述步驟無限進(jìn)行下去，即得到一個(gè)閉區(qū)間套無限序列Im=[am，bm]，對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=log2?[（b-a）/ε]+1，當(dāng)m>N時(shí)，有?bm-am=（b-a）/2^（m-1）<（b-a）/2^（N-1）<ε，即lim（?bm-am）=0，這個(gè)閉區(qū)間套無限序列擁有唯一公共點(diǎn)x。

step2：證明x是其中一個(gè)子列的極限——

1. 構(gòu)造子列{xnk}，對(duì)于任意自然數(shù)k，我們從上述閉區(qū)間序列中依次選出子列各項(xiàng)，即ak<=xnk<=bk；

2. 對(duì)于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=log2?[（b-a）/ε]+1，當(dāng)k>N時(shí)，有|xnk-x|<=bk-ak<ε，即{xnk}極限為x，證畢。

就到這里！