印度裔傳奇統(tǒng)計學家C. R. Rao于2023年8月22日去世。他在1987年拉馬努金誕辰100周年活動中，做了三次關于統(tǒng)計歷史和發(fā)展的演講，而每次演講前都會提到拉馬努金的生平和工作。這些演講最后匯集成他的名作《統(tǒng)計與真理：怎么樣運用偶然性》（Statistics and Truth, Putting Chance to Work），并把這篇拉馬努金的回憶放在附錄，以紀念這位偉大的印度天才數學家。

撰文?| C. R. Rao

被邀請為紀念拉馬努金講座的演講者，我感到這是莫大的榮譽。我非常高興地接受了這個邀請，特別還因為拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）的一生一直是激勵我那個時代的學生們的一個偉大的源泉。正值這個偉大的天才誕生100周年，我們舉行紀念活動有著多方面的深遠意義。它提醒我們，始于發(fā)現基礎的零和負數的印度數學傳統(tǒng)依然存在。它也提醒年輕一代：他們能通過創(chuàng)造性的思維來豐富自己的人生。最后，我希望通過紀念活動能產生全國性的影響，讓公眾認識到數學的重要性，認識到數學是科學和藝術進步的一個關鍵因素，也提醒我們應盡所有的努力在我國鼓勵數學學習和數學研究。

1986年，美國總統(tǒng)宣布每年4月14日-4月20日為全國數學認識周（National Mathematics Awareness Week），目的是讓美國學生能保持學習數學的熱情。蘇聯人造衛(wèi)星的幽靈仍然在美國上空徘徊，任何忽視數學的傾向會被認為是對國家科學和技術進步的阻礙。比起宣告全國數學認識周來說，在印度我們更需要的是，公開承認我們還沒有認識到我們的數學是多么薄弱。讓我們通過紀念拉馬努金誕辰100周年來促進印度數學的發(fā)展。我們不應讓世人說：印度的數學從零開始，也以零結束。

因為拉馬努金的一生與工作和我的演講主題有關，我想借此機會介紹一些他的情況。拉馬努金的出現如同數學太空中的一顆流星，劃過短暫的人生，突然消失于他生命32歲那個時刻。在這個過程中，他把印度放進了現代數學的版圖。拉馬努金的數學貢獻在很多領域內是深遠的、永恒的，他是世界上最偉大的數學家之一。拉馬努金并沒有像通常的數學家那樣去學習數學，而是發(fā)現和創(chuàng)造了數學。這使得他成為一個現象、謎一樣的天才，而他的創(chuàng)作過程猶如一種虛構、一個神話。

拉馬努金去世時留下了一份奇怪且罕見的遺產：寫在三個筆記本和一些紙片上的約4000個公式。假設拉馬努金的研究時間為12年，則他每一天就發(fā)現了一個新的公式或新的定理。這是任何一個從事創(chuàng)造性活動的人不能與之相比的。這些并不是通常的定理，它們中的每一個都是產生一個全新的理論的核心。這些公式和定理并不是憑空想像出來的一連串孤立的魔術般的公式，有的自身對今天的數學研究仍有深遠的影響。更進一步說，在理論物理中從宇宙論的超凡理論到復雜的分子系統(tǒng)的統(tǒng)計力學，這些公式和定理在發(fā)展新概念方面同樣具有深遠的影響。1976年人們在劍橋三一學院的圖書館里，發(fā)現了他在健康逐漸衰弱時，留在130頁沒有編號的手寫稿上的工作——這是他人生最后一年完成的。僅僅是在《補遺雜記》（Lost Notebook）中給出的結果，已經被認為“等價于一個偉大的數學家一生的工作”了。威斯康星大學的阿斯克（Askey）教授在評述拉馬努金的貢獻的獨創(chuàng)性、深遠性和永久性時說道：

他的工作乍一看來幾乎是不可預測的。當了解其內容以后，仍可以保守地斷言他的工作所涉及到的大部分內容，是任何生活在當今世紀的人不可能再發(fā)現的。而且，拉馬努金發(fā)現的某些公式，至今沒有人能理解或證明。我們恐怕永遠不會了解拉馬努金是如何發(fā)現這些公式的。

要理解拉馬努金的創(chuàng)造性是困難的；在科學研究或藝術創(chuàng)作的紀要中不存在相似的記載。拉馬努金發(fā)現的能支配整數無限集合的神秘定律和相關的關系，猶如一個科學家試圖發(fā)現宇宙中隱藏的控制自然界事物的法則一樣，這是幾乎讓任何一個科學家都感到敬畏和頭疼的。讓我們來看一看拉馬努金在臨去世之前的1919年所做的關于函數的一個猜想：如果一個整數可表為與順序無關的幾個非負整數的和，則可定義的組合形式為

這個公式隱含著偉大的思想，而且這個結果的形式是一個美麗的發(fā)現，因為一個世紀以來，在橢圓函數或模函數的一般理論中沒有產生任何這類的結果。另一個印度數學家喬拉（Chowla）證明這個猜想是錯的，因為當時它不成立。由阿特金（Atkin, 1967）[Glasgow Math.J.,Vol.8,p.14-32.]證明，上述公式僅需稍加修正：

即公式(1)中第二行7的指數換為。如果拉馬努金利用數學推導，或許他可以得到正確的結果，但他沒有得到正確的公式這件事相對來說是不重要的；他的想象形成這樣性質的結構，證實了這個發(fā)現背后他的思維過程無法解釋。一個人如何得到一個卓越的概念呢？需要做什么樣的準備才能讓頭腦變得有創(chuàng)造力？一位天才是天生的、還是（后天）造就的？或許這些問題并沒有明確的答案。然而，即便有答案，我們恐怕也不能解釋拉馬努金的大腦里為何能迅速地產生如此眾多的卓越的想法。更使人感興趣的是，因為拉馬努金沒有接受過正規(guī)的高等數學教育，從來沒有著手過（現代）數學研究，也并不知道現代數學中研究問題的領域或方向。他敘述定理而沒有給出證明，也沒有指明動機。拉馬努金無法解釋他如何得到這些結果。他過去常說這些公式是拿摩卡（Namakkal）女神在夢中賜給他的。他常常一起床便記錄下這些結果并迅速地驗證它們，盡管有時并不能給出嚴密的證明。許多拉馬努金陳述過的定理被證明是正確的。創(chuàng)造性是在潛意識層次上產生的嗎？馬哈拉諾比斯（P. C. Mahalanobis）教授與拉馬努金當年同期在英國劍橋。他總是講述有關拉馬努金的軼事，這些軼事由冉甘納讓（S. E. Ranganathan）記錄在《拉馬努金，普通人與數學家》(Ramanujan, the Man and the Mathematician）這本傳記中了。這里我要引用一則冉甘納讓書中記載的軼事——正是由馬哈拉諾比斯教授收集到的。

一次，我去他（拉馬努金）的房間。那時正是第一次世界大戰(zhàn)剛剛開始不久，我手里拿著一本月刊《海濱雜志》（Strand Magazine），那本雜志當時總登載難題讓讀者解答。拉馬努金正在爐子上的鍋里攪動著什么，準備我們的午飯。我靠著一張桌子坐下，翻閱著雜志。一道有關兩個數的關系的問題引起了我的興趣。問題的具體細節(jié)已經記不起來了，但我記得問題的類型。兩個英國官員住在一條大街上兩套不同的房子里，他們在戰(zhàn)爭中喪生；他們房子的門牌號數之間有某種特殊的關系，問題是求出這些數。這個問題并不很難。用反復試驗法，我?guī)追昼娋偷玫搅舜鸢浮?/span>我說（開玩笑地）：現在考你一個問題。拉馬努金：告訴我什么問題。（一邊繼續(xù)攪動鍋。）我讀了《海濱雜志》上登載的問題。拉馬努金：請記下答案。（他給出了一個連分數。）第一項是我得到的答案。其余各項就像街上的門牌號數無限增大一樣，表為逐漸增大的具有同樣關系的兩個數之間的逐次解。我感到非常驚奇就問到：“你在一瞬間就得到這個答案了嗎？”拉馬努金：當我聽到問題時，即刻清楚地知道它的解顯然是一個連分數；我就想：“這是一個什么樣的連分數呢？”然后答案就出來了。就這么簡單。

從冉甘納讓的記載里我們知道，拉馬努金12歲時表現出了對數學的興趣。據說當時拉馬努金曾經問他在昆巴庫納市區(qū)高級中學高年級班學習的一個朋友，什么是數學中的“最高真理”。據說這個朋友給他提到畢達哥拉斯定理、股票和股份問題作為“最高真理”。畢達哥拉斯定理屬于正統(tǒng)的數學，因為結論是在給定的前提下通過一系列演繹的推論得到的，不存在任何有關結論的不確定性問題。股票和股份問題屬于概率，這里所得到的結論不一定要求必須準確，但是對投機者有幫助。兩個問題都是學習上和研究中具有智力挑戰(zhàn)性的領域?；蛟S是比起股票和股份問題來說，拉馬努金更熟悉畢達哥拉斯問題，這就使他迷上了數學。拉馬努金在筆記本上記錄下來的絕大部分結果是無證明的，據說他用石筆在石板上進行推導，而僅僅把最后結果記錄在紙上。當問他為什么不用紙時，拉馬努金回答的是，他一周需要三令紙（譯者注：令為量紙的單位，一令等于480張或500張），他沒有錢來買那么多紙。1914年拉馬努金前往英國與劍橋著名數學家哈代（G.H.Hardy）一起工作之前，他在印度雜志上一共發(fā)表了5篇論文。由他獨自署名或與哈代合作，他一生共發(fā)表了37篇論文。在他短暫的研究生涯內，這些論文發(fā)表的時間分布如下：

拉馬努金死于1920年，時年33歲。在他生命最后的兩三年里，他的健康狀況越來越糟，但他仍繼續(xù)進行研究并把很多結果記錄在一個筆記本上，這個筆記本直到幾年前才被發(fā)現。這個被稱為《補遺雜記》的筆記本上有很多新的定理，其開創(chuàng)了數論研究的新領域。當然，拉馬努金是一個罕見的現象，他在或多或少的惡劣環(huán)境中開花結果——這樣的環(huán)境中是一個常規(guī)的教育體系，旨在培養(yǎng)行政工作的所需的文書人員；貧窮迫使有天賦的學生放棄從事學術追求，并為謀生而求職，缺乏制度上的支持或其他研究機會。對于拉馬努金在數學上的成就，尼赫魯（Jawaharlal Nehru）在他《印度的發(fā)現》（Discovery of India）一書中寫道：

拉馬努金短暫的一生和他的去世是印度現狀的一個代表。幾百萬人中有多少完全受到教育了呢？有多少生活在饑餓的邊緣呢？如果對他們打開生活的大門，提供給他們食物、健康的居住條件、教育和成長的機會，這幾百萬人中會產生出多少杰出的科學家、教育家、技術工作者、企業(yè)家、作家和藝術家來幫助建立一個新印度和一個新世界呢？

尼赫魯是一個理想家。確實，印度的狀況這幾年有了相當的改善?，F在，印度科學的平均水平可以與任何發(fā)達國家相比。但是，人們總的感覺是：我們仍然沒有達到完美和理想的水平。我希望，我們的政府和研究機構（在統(tǒng)計學家的幫助下?。?/span>進行調查研究，為把印度置于革新和科學發(fā)展的最前沿而做出必要的努力。

本文轉載自微信公眾號“和樂數學”，原文摘自《統(tǒng)計與真理：怎樣運用偶然性》（科學出版社，2004）?！斗禈恪钒l(fā)表時略有改動。