神奇小豬 | 3-3 空間向量證明平行垂直

0??直線和平面的平行垂直關(guān)系

平行：線線平行、線面平行、面面平行

垂直：線線垂直、線面垂直、面面垂直

1??如何用空間向量表示“線”

兩個坐標(biāo)相減，用方向向量表示線

2??如何用空間向量表示“面”

找跟這個面垂直的法向量，用法向量表示面

3??用空間向量證明平行

注：平行的證明記得排除"重合"的情況！否則解答題會扣分!

線線平行：a // b

線面平行：a·n =0

面面平行：n? // n?

4??用空間向量證明垂直

線線垂直：a·b =0

線面垂直：a // n

面面垂直：n?·n?=0

5??法向量求法

• a·n=0
• b·n=0
• 解n

1. 求其中兩個向量
2. 列兩個數(shù)量積=0的方程
3. 解出來

6??“法向量"的速算之法

1. 每個向量寫兩遍
2. 掐頭去尾留中間
3. 交叉相乘再相減
4. 法向量是翁中鱉

7??空間向量證明平行垂直綜合

如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，CC?⊥平面ABC，AC⊥BC，AC =BC =2，CC? =3，點D，E分別在棱AA?和棱CC?上，且AD =1，CE =2，M為棱A?B?的中點

（I）證明：C?M ⊥ B?D

（II）證明：C?M // 面B?DE

（1）求點坐標(biāo)，中點用中點坐標(biāo)公式

證明是可以建系的，說一下建系，他們是垂直的，數(shù)量積相乘等于0

（2）求這個面的法向量

這條線跟法向量垂直

記得補充線C?M不在面上

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的√2倍，Р為側(cè)棱SD上的點

若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE //平面PAC。若存在，求SE:EC的值，若不存在，試說明理由

因為是四棱錐，O點建系

求點坐標(biāo)，設(shè)E點坐標(biāo)（用λ表示）

三點共線：SE = λSC

證明線面平行，那就線跟法向量的數(shù)量積=0

不用特意求PAC法向量，題目都給條件了，說SD⊥平面PAC，那么SD就是法向量

BE·SD，λ=2/3