提起有限元法（FEM，F(xiàn)inite Element Method），其誕生是在20世紀40年代，但其思想?yún)s可追溯至幾千年前。

公元3世紀中期，魏晉數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了著名的“割圓術(shù)”，即用圓內(nèi)接正多邊形的面積來無限逼近圓面積。這是人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學證明。從這種“化圓為直”“化整為零”的樸素思想中，可窺探到有限元法的本質(zhì)精髓——想解決整體問題，首先要解決局部問題，再探究局部之間的關(guān)系，以及局部與整體和外部的關(guān)系。

有限元法是一種求解偏微分方程邊值問題近似解的方法。在近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展歷程中，牛頓和萊布尼茨的積分法、高斯的加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組解法、拉格朗日的泛函分析、伽遼金的伽遼金法等，都為有限元法奠定了理論基礎(chǔ)。而催生有限元法誕生的根本動因，則是實際的工程需求。

時間來到20世紀40年代，隨著航空事業(yè)的快速發(fā)展，復雜的結(jié)構(gòu)分析問題對計算方法提出了更高的要求。

1941年，俄羅斯裔加拿大結(jié)構(gòu)工程師A.Hrennikoff在論文[1]中首次將求解域離散為晶格結(jié)構(gòu)，用離散元素法來求解彈性力學問題；1943年，美國數(shù)學家柯朗（Richard Courant）在論文[2]中提出了使用三角形區(qū)域的多項式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的近似解。盡管當時由于計算機尚未出現(xiàn)，這些研究沒有引起應有的注意，但他們的工作后來被視為有限元法的開端。

到了20世紀50年代，工程師和學者們進一步發(fā)展了早期的方法。

1952年，被美國國家工程院譽為“現(xiàn)代有限元法之父[3]”的美國教授克勞夫（Ray W.Clough）第一次與有限元法結(jié)緣[4]。他被聘請為波音公司summer faculty項目組的成員，從事一種delta翼結(jié)構(gòu)的振動分析工作。由于該翼是三角平面形狀，問題不能用基于標準梁理論的方法解決。經(jīng)歷反復失敗后，項目組提出了矩陣剛度法（Matrix Stiffness Method）解決方案，并于1956年發(fā)表了關(guān)于有限元的第一篇論文Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures[5]。對于工程界來說，這是一篇具有里程碑意義的論文。

而對于波音公司來說，該團隊的努力為其成功研發(fā)著名的商用飛機做出了巨大貢獻。從1958年的波音707到1964年的波音727，波音系列飛機可以降落在更短的跑道上，并服務更多的機場。其中波音727成為商業(yè)航空的主力軍，并在60年代幫助美國航空客運量增長了三倍[6]。

1960年，克勞夫在論文The Finite Element in Plane Stress Analysis[7]中賦予了該方法一個謙遜而切中要害的名字——有限元法。在這篇文論中，克勞夫?qū)⒂邢拊ǖ膽梅秶鷱娘w機擴展到土木工程。

無獨有偶，20世紀50年代末，劉家峽水電站的建設(shè)任務為中國有限元法的創(chuàng)立提供了土壤。

為解決大壩應力計算等難題，中國數(shù)學家馮康及其所在的中國科學院計算技術(shù)研究所三室開展了數(shù)學攻關(guān)，并于1964年獨立于西方創(chuàng)造了一整套解微分方程問題的系統(tǒng)化、現(xiàn)代化的計算方法，即有限元法。次年，馮康發(fā)表了論文《基于變分原理的差分格式》[8]，這是中國學者獨立于西方創(chuàng)立有限元法的標志。

1997年，菲爾茲獎得主、中國科學院外籍院士丘成桐教授在清華大學作《中國數(shù)學發(fā)展之我見》報告時這樣講道：“中國近代數(shù)學能夠超越西方或與之并駕齊驅(qū)的主要原因有三個……一個是陳省身教授在示性類方面的工作，一個是華羅庚在多復變函數(shù)方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作。”這是對馮康作為數(shù)學家的高度評價。

60年代中葉至90年代初，有限元法進入黃金發(fā)展期，并在接下來的三十年多年里廣泛應用于工業(yè)發(fā)展。

隨著有限元理論的日趨成熟和計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元軟件如雨后春筍般涌現(xiàn)，CAE技術(shù)蓬勃發(fā)展。然而，中國的有限元理論及有限元軟件在經(jīng)歷早期短暫的輝煌后，受當時環(huán)境所致，逐漸落后于西方，可惜可嘆。

時至今日，有限元法依然被認為是最有效的數(shù)值計算方法之一。各種通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊浖呀?jīng)將有限元法轉(zhuǎn)化為社會生產(chǎn)力，廣泛應用于航空航天、石油石化、電子電器、機械制造、土木建筑等領(lǐng)域，為科學與工程技術(shù)的發(fā)展提供強有力的支撐。

以石油化工行業(yè)為例。液化天然氣（LNG，Liquefied Natural Gas）被公認為地球上最干凈的化石能源，是近年全球能源競爭的新陣地。作為低溫深冷介質(zhì)，LNG的安全存儲對于儲罐的耐低溫性、抗震性等要求極高。LNG儲罐是整個LNG產(chǎn)業(yè)鏈中的核心裝備，其設(shè)計建造工藝復雜、造價高昂，是能源領(lǐng)域中的尖端技術(shù)之一。

在LNG儲罐技術(shù)體系中，有限元分析方法是一項核心支撐技術(shù)。由于大型LNG儲罐結(jié)構(gòu)復雜多樣、作業(yè)環(huán)境惡劣多變，在罐體的設(shè)計、施工及作業(yè)階段均需要進行結(jié)構(gòu)性能評估及可靠性驗證。依靠基礎(chǔ)的數(shù)學理論無法解決大型復雜結(jié)構(gòu)問題，那么借助有限元手段對儲罐進行強度、剛度、溫度及穩(wěn)定性等分析顯得尤為重要。

回顧有限元法的誕生，需求是最根本的動力，有需求就會有供給。

中國的有限元軟件之所以沒有發(fā)展起來，是因為中國工業(yè)起步較晚，長期以來沒有自主軟件的內(nèi)生需要。如今，中國已成為世界上最大的工業(yè)國，擁有最豐富的工業(yè)場景，在中國制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級、超大規(guī)模單一市場高質(zhì)量發(fā)展的巨大需求牽引下，一定會誕生一批優(yōu)秀的自主工業(yè)軟件。

正如芯片領(lǐng)域有EDA軟件，我們期待各行各業(yè)都有自己的“EDA”。

Simdroid 是云道智造自主研發(fā)的通用多物理場仿真平臺，具備自主可控的隱式結(jié)構(gòu)、顯式動力學、流體、熱、低頻電磁、高頻電磁、多體動力學等通用求解器，支持多物理場耦合仿真。在統(tǒng)一友好的環(huán)境中為仿真工作者提供前處理、求解分析和后處理工具。同時，作為仿真PaaS平臺，其內(nèi)置的APP開發(fā)器支持用戶以無代碼化的方式便捷封裝參數(shù)化仿真模型及仿真流程，將仿真知識、專家經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為可復用的仿真APP。歡迎使用Simdroid通用仿真平臺定制開發(fā)行業(yè)專用軟件。下載試用Simdroid：https://www.simapps.com/v2/tool/simdroid

參考文獻：

1、HRENNIKOFF A.Solution of problems of elasticity by the framework method[J]. Journal of Applied Mechanics,1941,169-175.

2、Courant, Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration, Bull. Amer. Math. Soc., 49 (1943), pp.1-23.

3、https://www.nae.edu/19579/19581/20412/29580/Dr-Ray-W-Clough

4、有限元法起源的回顧— Clough RW（ECCM99上的演講） http://comdyn.hy.tsinghua.edu.cn/news/542-clough

5、Turner MJ, Clough RW, Martin HC, Topp LJ. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J Aero Sci 1956;23:805-23.

6、Wing Kam Liu, Shaofan Li, Harold Park. Eighty Years of the Finite Element Method: Birth, Evolution, and Future. CoRR, 2021.

7、Clough RW. The finite element method in plane stress analysis. Proc ASCE Conf Eletron Computat, Pittsburg, PA, 1960.

8、馮康, 基于變分原理的差分格式, 應用數(shù)學與計算數(shù)學，1965, 2 (4): 238-262

本文轉(zhuǎn)自：IBE