在小學(xué)時，我們學(xué)過兩條運算律，即

現(xiàn)在，值得關(guān)注的是關(guān)于這個命題的證明，有的人認(rèn)為這是兩條公理，把它當(dāng)作是理所當(dāng)然的，但事實并非如此，我們是能給出關(guān)于它們的證明的，首先是關(guān)于加法運算律的證明，過程如下

先設(shè)有兩個實數(shù)，設(shè)是前者加后者的和，有

再設(shè)后者加前者的和是，有

現(xiàn)在使用反證法來證明，若

則兩者之間必有一者比較大，設(shè)

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在兩邊同時減去同一個數(shù)，仍有

化簡后就有

但是，任何一個數(shù)都不可能不等于它本身，故而命題的反命題不成立，于是，命題成立，就這樣給出了乘法交換律的證明? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

同理地，我們也可以指出關(guān)于乘法交換律的證明，過程如下

設(shè)有兩個實數(shù)，再設(shè)前者乘上后者得到，有

接著設(shè)后者乘上前者得到，即有

若

則當(dāng)中有一者較大，設(shè)

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，有

化簡后會得到

但是這顯然是不可能的，故而原命題的反命題不成立，于是原命題成立，就這樣給出了乘法交換律的證明? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

總結(jié)一下上文，兩個運算律的證明都是使用反證法來證的，這說明，反證法在基礎(chǔ)代數(shù)的證明方法中是及其常用的