這是高三的時候數(shù)學(xué)老師某天忽然說出的小任務(wù)，意思是我們熟知的極點極線半代入的結(jié)論是可以在直角坐標系里面硬算出來的。然后我很感興趣就算了一下 ，發(fā)現(xiàn)這是一個對于高中數(shù)學(xué)計算能力非常有意義的訓(xùn)練。 馬上大學(xué)就快開學(xué)了，結(jié)果又忽然被闌尾炎背刺，好不容易從醫(yī)院爬起來，才想起一直想要重新算一下這個，于是就有了今天的文章。（純屬作者發(fā)癲，也許對高中數(shù)學(xué)有一定參考作用） 這是高考前的版本（比較草率，可以先看后面的版本，這個可能會好懂一點）

這個版本比較聰明的是，一開始算直線的時候就用了和差化積，在后面算交點的時候比較方便，失誤的點是最后算那一大坨分母的時候沒有直接換元看出同構(gòu)，就麻煩了一些。另外，這個大概半個小時就算完了，所以也寫的比較花，而且因為在學(xué)校里，算這種比較浮躁。還請諒解。 這個是補檔的版本（這個順便把用的一部分二級結(jié)論寫了出來，當然三角恒等當做已知就沒有寫） 感興趣的同學(xué)可以把這個當做一個有趣的習(xí)題自己算一下，你做完這個三角恒等就都會了，圓錐曲線的幾個好用的速算公式會了，心態(tài)還好了，何樂而不為～

（第三頁的“子母”應(yīng)該是“字母”，不過好像理解成分子和分母也可以） 這個版本比較笨的是一開始沒有直接和差化積，是到算交點才發(fā)現(xiàn)比較麻煩，剩下的諸如看出平方差、換元、看出同構(gòu)的就比較自然了。 當然，關(guān)于極點極線的一般情況可以用曲線系比較容易的整出來，要看的話去知乎上找大佬吧，這個對于曲線系以及調(diào)和點列的理解有很大的幫助。 看了上面的證明后并不會對極點極線怎么用有幫助，我就順便說一下極點極線的結(jié)論怎么用（這個可能比較多，以后有時間慢慢補充沒說的）高考是不可能直接考察你這種的，畢竟出卷人不用奇技淫巧也不一定會算，所以一般會考特殊情況。

再看一下上圖，一種情況就是讓BD直接是x軸（或者y軸），Q在定直線上，證明AC過x軸（或者y軸）上一個定點（怎么樣是不是很熟悉，這是20年一卷的解析幾何）。 這樣的話計算就變得比較容易了，可以采用如下的方法。（這樣的困難來自非對稱）

看完后你就知道為什么出題人會把這一根線放在坐標軸上了。當然此題也是方法極多，這只是其中一種，若感興趣的話，我下次補檔。 最后奉上圓錐曲線幾乎必背的公式（高考只要是能變成對稱的圓錐題最后都是背） ～硬解定理～

初見的同學(xué)可能會覺得這個比較難記，其實仔細看發(fā)現(xiàn)規(guī)律這個還是很好記的，記熟后關(guān)于對稱的式子的計算都可以背誦了。然后需要注意以下幾點： 1，式子中的a^2,b^2都是位置（不具有幾何意義），所以若是雙曲線只需要把b^2換成 -b^2就可以了。 2，如果直線設(shè)的是橫截式，只需要把（所有的）x，y換位置，并且（所有的）a，b也得跟著換位置就可以了（這個一開始很容易錯，需要訓(xùn)練多次） 3，遇到a,b有公因數(shù)的時候要小心，如果你怕錯就先不要化簡，按照公式先背完再化簡，當然熟悉了也可以邊算邊化簡。 4，再次強調(diào)，一定不能因為是背的就不寫方程，方程的話可以根據(jù)寫出來的兩根和與兩根積來寫（參考初中的韋達定理應(yīng)用），還要記住一般都給它把判別式加上，老師也就不好挑你的錯誤了。 5，…… 開學(xué)前發(fā)癲就到這里了吧，也希望可以和同學(xué)們在清華園相見。