【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶猓欢t，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。?

第二章一元一次不等式

§2-1不等式

【01】在第一章里，我們已經(jīng)學(xué)過，用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式所成的式子，叫做等式?，F(xiàn)在來研究用不等號(hào) “＞” 或者 “＜” 連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式所成的式子。

1、不等式的意義

【02】在代數(shù)第一冊(cè)里，比較有理數(shù)大小的時(shí)候，我們用過 3＞－1，0＞－2，－12＜－9，7＜13 等來表示兩個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系。為了表示兩個(gè)代數(shù)式的值的大小，我們也可把這兩個(gè)代數(shù)式用不等號(hào) “＞” 或 “＜” 連結(jié)起來。例如，a＋1＜3，a＋5＞a＋1，x－2＞7，(x－5)/2＜1/2 等式子分別表示不等號(hào)左邊的式子的值大于或小于不等號(hào)右邊的式子的值。

【03】象這樣，用不等號(hào) “＞” 或者 “＜” 連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式所成的式子，叫做不等式。

2、絕對(duì)不等式和條件不等式

【04】在不等式 a＋5＞a＋1 里，我們可以看到，不論 a 取任何數(shù)值，這個(gè)不等式總是成立的。例如，a＝3 的時(shí)候，得到 8＞4；a＝0 的時(shí)候，得到 5＞1；a＝－2 的時(shí)候，可以得到 3＞－1? 。

【05】但是，在不等式 x－2＞7 里，我們可以看到，x 只有取大于 9 的數(shù)值，這個(gè)不等式才能夠成立。例如，當(dāng) x＝10 時(shí)，這個(gè)不等式成立；而當(dāng) x＝4 時(shí)，這個(gè)不等式就不成立。這就是說，前一個(gè)不等式里字母可取的值不受任何限制，而后一個(gè)不等式里字母可取的值卻受到數(shù)值范圍的限制。

【06】如果不論用什么數(shù)值代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫做絕對(duì)不等式。例如，x＋7＞－1，a－2＜a＋5，a2＋1＞ 0 等等，都是絕對(duì)不等式。

【07】兩邊都是數(shù)字而能夠成立的不等式，也叫做絕對(duì)不等式。例如，7＞2，3＞0，－5＜－4 等，也都是絕對(duì)不等式。

【08】如果只有用某些數(shù)值范圍內(nèi)的數(shù)值代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫做條件不等式。例如，3x＞1，x＋1＞0，3x－5＜x/2 等等，都是條件不等式。

例1.判斷下列不等式中，哪些是絕對(duì)不等式？哪些是條件不等式？為什么？

(1) 2a＋9＞2a－3；

(2) x＋1＞0；

(3) x2＋1＞0；

(4) |－2|＜|5|；

(5) |a|＞0? 。

【解】

????????(1) 因?yàn)椴徽?a 是什么數(shù)值，這個(gè)不等式總是成立，所以不等式 2a＋9＞2a－3 是絕對(duì)不等式。.

????????(2) 因?yàn)?x 只有取大于－1 的數(shù)值，這個(gè)不等式才能夠成立，所以不等式 x＋1＞0 是條件不等式。

????????(3) 因?yàn)椴徽?x 是什么數(shù)值，x2 都不是負(fù)數(shù)，因此，x2＋1 的值總是大于零；這就是說，不論用什么數(shù)值代替不等式 x2＋1＞0 中的 x，這個(gè)不等式都能夠成立，所以不等式 x2＋1＞0 是絕對(duì)不等式。

????????(4) 因?yàn)?|－2|＝2，|5|＝5，而 2 一定小于 5，所以不等式 |－2|＜|5| 是絕對(duì)不等式。

????????(5) 因?yàn)橹挥挟?dāng) a 是正數(shù)或者負(fù)數(shù)時(shí)，|a| > 0；面當(dāng) a＝0 時(shí)，|a|＝0，不等式 |a |＞0 不成立，所以不等式 |al＞0 是條件不等式。

【09】在條件不等式里，字母的可取值既然受到數(shù)值范圍的限制，我們就有必要求出字母應(yīng)該取什么范圍內(nèi)的數(shù)值，才能使這個(gè)不等式成立。

【10】在含有字母的不等式里，求出字母應(yīng)該取什么范圍內(nèi)的數(shù)值，才能使不等式成立，叫做解不等式，這里的字母叫做不等式的未知數(shù)。

【11】所求出的使不等式能夠成立的未知數(shù)的數(shù)值范圍，叫做不等式的解。例如在上面所舉的例子中，不等式 x＋1＞0 的解是大于－1 的數(shù)值；不等式 2a＋9＞2a－3 的解是任何數(shù)值。

例2.通過觀察，確定下列不等式的解：(1) x－2＜0；(2) x2＞0? 。

【解】

????????(1) 當(dāng) x 取小于 2 的任何數(shù)值，這個(gè)不等式才成立，所以不等式 x－2＜0 的解是小于?2 的數(shù)值。

????????(2) 不論 x 是什么數(shù)值，x2 都不是負(fù)數(shù)，只有當(dāng) x 等于零的時(shí)候，x2 等于零，所以不等式 x2＞0 的解是除去 x＝0 以外的數(shù)值。

【說明】在一元一次方程中，我們說過，只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，也叫做方程的根。但是在不等式里，并沒有這樣的規(guī)定，只能說不等式的解。

習(xí)題2-1

1、用不等號(hào) “＞” 或者 “＜” 連結(jié)下列各題中的兩個(gè)式子：

(1) 5 和 3；【5＞3】

(2)－5 和－3；【－5＜－3】

(3) 5 和－3；【5＞－3】

(4) －5 和 3；【－5＜3】

(5) |5| 和 |3|；【|5|＞|3|】

(6) |－5| 和 |－3|；【|－5|＞|－3|】

(7) |－5|?和 3；【|－5|＞3】

(8)－5 和?|－3|；【－5＜|－3|】

(9) x＋7 和 x＋2；【x＋7＞x＋2】

(10) 2a－5 和 2a－9；【2a－5＞2a－9】

(11) 2x－3 和 2x＋1；【2x－3＜2x＋1】

(12) 3a－2 和 3a＋11? 。【3a－2＜3a＋11】

2、

(1) (x＋2)2＞0 是不是絕對(duì)不等式？為什么？[提示：要考慮 x＝－2 時(shí)，結(jié)果怎樣？]

(2) 為什么說，|a|＋1＞0 是絕對(duì)不等式？

3、判斷下列不等式中，哪些是絕對(duì)不等式？哪些是條件不等式？為什么？

(1) 5a－8＜5a＋2；

(2)－a＋7＞－a＋3；

(3) 3a2＋2＞0；

(4) x－1＜0；

(5)－x2－1＜0；

(6) 2x－4＞0；

(7)－3x＞5；

(8) |－9|＞|2|? 。

【(1)、(2)、(3)、(5)、(8)都是絕對(duì)不等式，(4)、(6)、(7)都是條件不等式】

4、通過觀察，確定下列不等式的解：

(1) x－5＞0；【x＞5】

(2) x－5＜0；【x＜5】

(3) x＋7＜0；【x＜－7】

(4) x＋7＞0；【x＞－7】

(5) x2＋3＞0；【任意數(shù)】

(6) (x＋3)2＞0? ?！境? 之外的任何數(shù)】