我想用幾何的方式證明如下無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的：

首先，我們對(duì)這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行更為簡(jiǎn)明的描述，即該無(wú)窮級(jí)數(shù)等于所有自正整數(shù)的倒數(shù)的和，如果要用一種能令沒(méi)有學(xué)過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)的人也能理解，我們這么寫：

1/1+1/2+1/3+1/4+1/5……+1/n

嗯，看樣子這令人頭痛，乍看似乎這的確應(yīng)該是收斂于某個(gè)確鑿存在的數(shù)的。但是我們的學(xué)識(shí)告訴我們，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的演技極其精湛！但就是沒(méi)有逃過(guò)狡猾的數(shù)學(xué)家們的手掌！

那些狡猾的數(shù)學(xué)家總是會(huì)把一些外表美麗的想法戳穿！揭露出它們最為真實(shí)的一幕！

廢話就不多說(shuō)了。看以下函數(shù)圖像：

該函數(shù)圖像是關(guān)于f（x）=1/x函數(shù)的圖像，現(xiàn)在，我們不去看當(dāng)x＜0的時(shí)候的圖像，只觀察該圖像的右上方，也就是x≥0的部分。我們希望在x軸上取一個(gè)定點(diǎn)a，假設(shè)a就處在5的位置，然后求出此時(shí)右上部分的面積。

我們利用定積分，不難得出，該圖像右上方部分在[0，a]區(qū)間的圖像面積S，如下：

根據(jù)計(jì)算，我們最后得出這個(gè)面積是所有正整數(shù)的倒數(shù)的和，并用極限寫出，即：

此時(shí)，我們想想。這個(gè)數(shù)的如果有極限，可能嗎？顯然不可能！為什么呢？因?yàn)閤在趨近于0的時(shí)候y同時(shí)趨向無(wú)窮大，這就說(shuō)明，當(dāng)x=0的時(shí)候，y對(duì)應(yīng)的值會(huì)一直延伸延伸延伸，延伸到比無(wú)窮大還要大，還要更大更巨大的數(shù)。這個(gè)數(shù)，永遠(yuǎn)不會(huì)呈現(xiàn)在函數(shù)圖像中。也就是說(shuō)，y值不會(huì)把圖像封邊！也就是說(shuō)！這個(gè)圖像，根本就不是一個(gè)可以求出面積的圖，因?yàn)樗踔敛皇且粋€(gè)圖形，只是一條兩邊永遠(yuǎn)都不與坐標(biāo)軸相遇的曲線。

那么，既然這個(gè)圖沒(méi)有被封邊，這意味著什么？這不就意味著，這個(gè)所謂的“面積”是一個(gè)需要一直加一直加但永遠(yuǎn)不會(huì)有個(gè)確切的收斂值的數(shù)嗎？

那這個(gè)數(shù)的性質(zhì)如何呢？既然不會(huì)收斂，那不就意味著，這個(gè)數(shù)是發(fā)散的嗎？

所以我們由面積不可求值，明白，

并沒(méi)有極限，是發(fā)散的，從而明白，

也是發(fā)散的，這我們就利用了幾何的方法來(lái)證明這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的。

看樣子幾何的確是一個(gè)非常好用的數(shù)學(xué)工具。

然而，這其中也同樣牽涉到定積分的用法。