正式進(jìn)入積分內(nèi)容

第一節(jié)  定積分的定義

    如果有函數(shù)y=f(x), 選取兩個(gè)在f(x)上的點(diǎn)a, b.分別往x軸作垂線（x=a;x=b）那么x=a;x=b和f(x)所圍成的面積稱為定積分

    可以用這個(gè)符號(hào)表示定積分

    

    讀作：函數(shù)f(x)對(duì)于x從a到b的積分（式中的dx表示對(duì)x進(jìn)行積分，僅此而已）

    而且積分的定義式為：

為什么極限中的n->∞？因?yàn)樵谶@里n表示n個(gè)子區(qū)間，子區(qū)間越多，那么定積分的值就越精準(zhǔn)，當(dāng)n->∞，那么就有精確的定積分值！

第二節(jié) 定積分的性質(zhì)

1. 正負(fù)性

   積分有正負(fù)，比如三角函數(shù)sinx在[0, 2π]的圖像

我們注意到在[0,π]中，f(x)在x軸的上方，即積分為正

在[π,2π]中，f(x)在x軸的下方，即積分為負(fù)

在這里扯一點(diǎn)物理，對(duì)于位移，有

可對(duì)于路程，就有

2. 運(yùn)算法則

(1) 

(2)

(3)

(4)

(5)

第三節(jié) 利用定義求定積分

例如我們要求

該如何利用定義求解呢？

首先，我們需要把[0,2]區(qū)間分成n個(gè)子區(qū)間，而且每個(gè)子區(qū)間的長度都是相同的。

因?yàn)榭傞L度為2，所以每個(gè)子區(qū)間的長度都是2/n

第一個(gè)子區(qū)間是[0,2/n],第二個(gè)子區(qū)間是[2/n,4/n]......以此類推

顯然，如果每個(gè)子區(qū)間是2/n，那么x(i)=2i/n；x(i-1)=2(i-1)/n

確定了x(i)和x(i-1)以后，就該確定C(i)

為了計(jì)算方便，一般取C(i)=x(i)=2i/n   (因?yàn)镃(i)在f(x)內(nèi)，所以一般而言都可以讓C(i)=x(i))

現(xiàn)在就該使用公式了，考慮求和

化簡，得到

提出與虛擬變量i無關(guān)的量，就得到

根據(jù)求和公式，得到

接下來就是取極限，代入得到

求得極限

即

disa
騷年，萊希提

習(xí)題