微積分從它誕生那天起，就專門處理光滑曲線和可導(dǎo)函數(shù). 我們通常所接觸的初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)都可導(dǎo)，而且無(wú)限次可導(dǎo).到了復(fù)變函數(shù)論，更考慮解析函數(shù)，不僅無(wú)限次可導(dǎo)，而且能展開成由各階導(dǎo)數(shù)組成的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù). 就實(shí)用的目的而言，假設(shè)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)是毫不過(guò)分的，至于不可導(dǎo)函數(shù)，似乎并無(wú)研究的必要.可是，數(shù)學(xué)作為一種意識(shí)形態(tài)，一旦從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)，便具有相對(duì)獨(dú)立性. 理論上的需要，邏輯上的完整的原則，迫使數(shù)學(xué)家們?nèi)タ紤]一種病態(tài)函數(shù). 　　1872年7月18日，長(zhǎng)期任中學(xué)體育教師的德國(guó)大數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院的一次講演中，給出了一個(gè)處處連續(xù)、但處處不可導(dǎo)的函數(shù)： f(x)= \sum \limits _{n=0}^{ \infty }b^{n} \cos (a^{n} \pi x). （注：用latex格式展示，下同例） 在人們的直觀想象中.連續(xù)曲線總是有切線的(除了有限個(gè)點(diǎn)以外).魏爾斯特拉斯構(gòu)造的病態(tài)函數(shù)使人大吃一驚. 　　1875年，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)布證明，不連續(xù)函數(shù)也可以求定積分，而且不連續(xù)的點(diǎn)可以有無(wú)限多個(gè)，只要它們包含在長(zhǎng)度可以任意小的有限個(gè)區(qū)間之內(nèi)就行. 這又是一大類怪函數(shù). 狄利克雷在研究三角級(jí)數(shù)時(shí)，又舉出了在無(wú)理點(diǎn)上取值0、在有理點(diǎn)上取值1的極端病態(tài)函數(shù)，它是黎曼意義下不可積分函數(shù)的最簡(jiǎn)單的代表. 　　這些病態(tài)函數(shù)的出現(xiàn)，破壞了18世紀(jì)古典數(shù)學(xué)的優(yōu)美(這種優(yōu)美簡(jiǎn)直“像在天堂里一樣”)，人們究竟該如何對(duì)待它? 一種批評(píng)意見很快就出來(lái)了. “這是一種變態(tài)的不健康的函數(shù)”，“它是無(wú)秩序和混亂的標(biāo)志”，“一種學(xué)究式的數(shù)學(xué)游戲”.用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是“脫離實(shí)際的空洞的抽象理論”. 其中大數(shù)學(xué)家龐加萊尤其懷疑這種新理論. 他說(shuō)： 　　“邏輯有時(shí)候產(chǎn)生怪物.半個(gè)世紀(jì)以來(lái)我們已經(jīng)看到了一大堆離奇古怪的函數(shù)，它們被弄得愈來(lái)愈不像那些能解決問(wèn)題的真正函數(shù).多一點(diǎn)連續(xù)性或少一點(diǎn)連續(xù)性，多幾階導(dǎo)數(shù)，如此等等.誠(chéng)然，從邏輯的觀點(diǎn)看來(lái)，這些陌生的函數(shù)是最一般的；另一方面，不用去找日常碰到的函數(shù)以及遵從簡(jiǎn)單規(guī)律的函數(shù)卻是另一種情形，這種情形僅只是函數(shù)中的一小角. 　　“過(guò)去人們?yōu)榱艘粋€(gè)實(shí)際的目的而創(chuàng)造一個(gè)新的函數(shù)；今天人們?yōu)榱苏f(shuō)明先輩在推理方面的不足而故意造出這些函數(shù)來(lái). 而從這些函數(shù)所能推出來(lái)的也就是僅此而已.”[1] 　　龐加萊的話當(dāng)然是舉足輕重的，病態(tài)函數(shù)研究的作用只能是對(duì)父輩“吹毛求疵”，“僅此而已”，豈不令大批的后學(xué)望而卻步?但是，真理并不因?yàn)闄?quán)威的話而變得停滯不前.就在龐加萊的祖國(guó)——法蘭西，一位二十多歲的青年——勒貝格(Henri Leon Lebesgue, 1875~1941),不聲不響地研究各種病態(tài)函數(shù)，終于導(dǎo)致了一場(chǎng)積分的革命！ 　　勒貝格 1875 年出生于法國(guó)東北部的博韋(Beauvais). 他在那里讀中學(xué). 1894~1897年進(jìn)入著名的法國(guó)巴黎高等師范學(xué)校攻讀數(shù)學(xué),這時(shí)受到波萊爾(Felix-Edouard-Justin-Emile Borel,1871~1956)數(shù)學(xué)思想的薰陶. 畢業(yè)后他回南錫，在一所公立中學(xué)教書.這時(shí)他潛心研究三角級(jí)數(shù)以及測(cè)度和積分. 1902年，勒貝格發(fā)表《積分，長(zhǎng)度與面積》一文，第一次系統(tǒng)地闡述他關(guān)于測(cè)度和積分的思想.同年，他在索爾本(Sorbonne) 巴黎大學(xué)理學(xué)院通過(guò)了博士學(xué)位(仍在南錫任教員).使勒貝格成名的兩本專著是：《論三角級(jí)數(shù)》(1903)和《關(guān)于積分法和原函數(shù)研究的講義》(1904). 　　積分革命首先從長(zhǎng)度概念的擴(kuò)充入手.眾所周知，函數(shù)的定積分從分割區(qū)間為有限個(gè)子區(qū)間開始，然后將子區(qū)間長(zhǎng)度乘以該子區(qū)間內(nèi)的某點(diǎn)函數(shù)值并作和.當(dāng)分點(diǎn)加密，子區(qū)間長(zhǎng)度趨于0時(shí)，積分和的極限就是定積分. 波萊爾在19 世紀(jì)就考慮：區(qū)間有長(zhǎng)度，其他點(diǎn)集是否也可以波萊爾?有長(zhǎng)度?直線上的開集可以表示為一列開區(qū)間之和，就以這列區(qū)間長(zhǎng)度之和為該開集的“測(cè)度”，開集關(guān)于某區(qū)間的余集是閉集，于是閉集的測(cè)度定義為區(qū)間長(zhǎng)度減去開集的測(cè)度.直線上任意一個(gè)點(diǎn)集E，若用開集G包起來(lái)，則認(rèn)為E的測(cè)度小于G的測(cè)度. 這種外包的開集G可以有很多，它們的測(cè)度的下確界叫做E的外測(cè)度. 同樣，用閉集F從內(nèi)部填E，把所有可以填進(jìn)去的閉集的測(cè)度的上確界叫做E的內(nèi)測(cè)度.一個(gè)集合E的內(nèi)測(cè)度和外測(cè)度相等，則稱為E有測(cè)度.這樣一來(lái)，直線上一列點(diǎn)的測(cè)度是0，因?yàn)橥獍囊涣袇^(qū)間長(zhǎng)之和可以任意小，這只要考慮用長(zhǎng)為ε/2,ε/（2^2）,?,ε/（2^n）,?的一列區(qū)間去包，而它的長(zhǎng)度是 \sum _ { n = 1 } ^ \infty \frac { \varepsilon } { 2 ^ { n } } = \varepsilon . 由這一結(jié)論，立刻可知[0，1]中的有理數(shù)全體構(gòu)成的點(diǎn)集有測(cè)度0(有理數(shù)集是可列集). 　　這套思想，即所謂確定面積的內(nèi)填外包法，本來(lái)導(dǎo)源于直觀的數(shù)方格子的方法，波萊爾用以確定點(diǎn)集的容量.勒貝格將這套想法更加一般化，構(gòu)造了一種可列可加測(cè)度，使人耳目一新.接著，勒貝格定義一種積分，把f(x)定義的區(qū)間[a，b]分為若干個(gè)勒貝格可測(cè)集，然后同樣作積分和，原來(lái)分子區(qū)間時(shí)的積分和如果不收斂，現(xiàn)在用分可測(cè)集的方法就可能會(huì)收斂，于是按黎曼意義不可積的函數(shù)，按勒貝格意義卻變得可積了，這當(dāng)然是一個(gè)巨大的突破. 　　勒貝格積分一出現(xiàn)就用來(lái)研究三角級(jí)數(shù)，很容易地得到了許多重要定理，改進(jìn)了到那時(shí)為止的函數(shù)可展為三角級(jí)數(shù)的充分條件. 緊接著導(dǎo)數(shù)概念也得到了推廣，微積分中的牛頓一萊布尼茨公式也得到了相應(yīng)的新結(jié)論，一門微積分的延續(xù)學(xué)科——實(shí)變函數(shù)論在勒貝格手中誕生了. 　　勒貝格的工作一開始并未得到人們的一致贊成，反對(duì)病態(tài)函數(shù)的人到處都有. 勒貝格在回憶錄中提到：“只要我試圖參加一個(gè)數(shù)學(xué)討論，總會(huì)有些分析學(xué)者對(duì)我說(shuō)：‘這里不會(huì)使你感興趣，我們?cè)谟懻撚袑?dǎo)數(shù)的函數(shù).’或者一位幾何學(xué)家說(shuō)：‘我們?cè)谟懻撚星衅矫娴那?’”[2]當(dāng)時(shí)批評(píng)病態(tài)函數(shù)最嚴(yán)厲的是法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特. 他在一封信中說(shuō)：“我懷著驚恐的心情對(duì)不可導(dǎo)函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡.”這種厭惡感傳染給了很多人，給勒貝格帶來(lái)很大的精神壓力.由于并不被很多人支持，勒貝格從發(fā)表第一篇論文的 1902年起，近十年中始終沒(méi)有在巴黎獲得職務(wù).直到1910年，他才被同意進(jìn)入巴黎大學(xué)理學(xué)院，1921年起才進(jìn)入法蘭西學(xué)院任教授，次年進(jìn)入巴黎科學(xué)院.這時(shí)他47歲，離開發(fā)表第一篇論文時(shí)的27歲，已整整過(guò)了20年. 　　到20世紀(jì)的30年代，勒貝格積分已經(jīng)成熟，并已在概率論、譜理論、泛函空間等方面獲得廣泛應(yīng)用.時(shí)至今日，連工程師也不得不接觸這些病態(tài)函數(shù)，談?wù)摮橄蠓e分了.歷史是一面鏡子.病態(tài)函數(shù)當(dāng)年曾經(jīng)被認(rèn)為是“脫離實(shí)際”、“令人厭惡”的東西，可是日后卻成為研究概率論的犀利工具.科學(xué)體系中內(nèi)部矛盾所提出的理論問(wèn)題，有時(shí)會(huì)成為這門學(xué)科的生長(zhǎng)點(diǎn)，誰(shuí)能抓住它，誰(shuí)就會(huì)贏得科學(xué)研究的主動(dòng)權(quán).當(dāng)然也并不是越抽象越一般越好. 勒貝格就曾經(jīng)這樣告誡自己：“搞出過(guò)于一般的理論，數(shù)學(xué)將會(huì)變成沒(méi)有內(nèi)容的漂亮的形式，而這將會(huì)很快死亡.”[3]確實(shí)，不少曾經(jīng)轟動(dòng)一時(shí)的研究，不久就成了過(guò)眼煙云，在歷史上并無(wú)多少影響.善于分析掌握數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)態(tài)，把握其生長(zhǎng)點(diǎn). 這大概是一門學(xué)問(wèn)——“數(shù)學(xué)學(xué)”吧! 參考文獻(xiàn)

[1] Poincare H. l’Enseignement Mathématique. 1899, 1: 152~162 [2] Lebesgue H. Notice su r les travaux scientifiques de M. HenriLebesgue. Toulouse: Edouard Privat, 1922 [3]同[2]