?【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學基礎(chǔ)自學內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數(shù)理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學叢書6677版』上傳成文字版。

第三章物體的熱膨脹

【山話||? 本系列專欄中的力單位達因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳；熱量的單位卡路里等于4.186焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的?！?

§3-3固體的線膨脹

【01】從這一節(jié)起我們將進一步從數(shù)量上來研究物體的熱脹冷縮現(xiàn)象。我們先討論固體，再討論液體，至于氣體，由于情況比較復雜，所以留在第四章中再來討論。

【02】固體有一定的形狀，因而也有一定的線度（球的直徑，矩形梁的長、寬、高）。在一定的溫度下，固體各個線度是一定的。當固體受熱后使溫度升高時，它的各個線度都要增長，這個現(xiàn)象叫做固體的線膨脹。

【03】固體的線膨脹究竟跟哪些因素有關(guān)呢？

【04】前面已經(jīng)談過，由不同物質(zhì)組成的固體，即使它們原來的長度和升高的溫度都相同，它們的線度的增長也不完全相同，有的增長得比較多，有的增長得比較少。所以，固體的線膨脹首先跟組成固體的物質(zhì)有關(guān)。

【05】根據(jù)量度知道，盡管升高的溫度相同，只要初溫度不同，同一物體線度的增長也是不同的，高溫時的線度增長要比低溫時大一些，但是這種差別并不顯著。例如，1米長的銅棒，溫度由0°C 升高到1°C?時，增長0.0105毫米；由100°C 升高到101°C?時，增長0.0115毫米；由200°C 升高到201°C?時，增長0.0130毫米。因此，當溫度變化不太大時，可以認為溫度升高1°C?時，物體線度的增長是一個定值。也就是說，物體線度的增長和溫度的升高成正比。

【06】如果把幾根長度不同的銅棒都從0°C?加熱到1℃，在量出它們的伸長后，可以看出，原來較長的銅棒伸長得較多，原來較短的銅棒伸長得較少。精確的測量證明，當溫度的升高相同時，固體線度的增長跟它們原來的長度成正比。

【07】那么怎樣來比較不同物質(zhì)的膨脹特性呢？我們先討論下面的例子。設(shè)有一根長1.5米的鐵棒，在溫度由0°C?升高到20°C?時伸長0.36毫米；而另一根長1.2米的銅棒，在溫度由0°C?升高到15°C 時伸長0.31毫米。我們知道，直接根據(jù)0.36毫米和0.31毫米這兩個數(shù)值是不能比較這兩種物質(zhì)的膨脹特性的，因為兩根棒原來的長度不同，溫度的升高也不同。但是，假如我們?nèi)∠嗤L度的鐵棒和銅棒，研究它們在升高相同溫度時長度的增長，就可以比較它們的膨脹特性了?，F(xiàn)在我們來計算一下，當溫度升高1°C時，鐵棒和銅棒每1米的伸長是1米的幾分之幾：

【08】計算的結(jié)果表示固體由于溫度上升1°C 所引起的線度增長跟它在0℃ 時的線度之比，這個比值叫做線脹系數(shù)。由此可以看出，銅的線脹系數(shù)大于鐵的線脹系數(shù)。

【09】溫度下降1°C 所引起的線度的縮短跟它在0°C 時的線度之比，也等于線脹系數(shù)。

【10】可以按下面的方法來測定固體的線脹系數(shù)：先測出固體在0°C 時的長度 l?，再測出它在 t°C 時的長度 l?? 。lt－l? 是溫度上升 t°C 時固體的伸長。假定溫度升高1°C 時固體長度的增長是均勻的，那未就是溫度升高10時圓體的伸長。如果用α來代表線脹系數(shù)，那么????????

【11】如果 t＝1℃，l?＝1個單位長度，那么 α＝lt－l?? 。也就是說，線脹系數(shù)的數(shù)值等于單位長度的固體從0°C 升高到1°C 時的伸長值。

【12】由上式看出，線脹系數(shù) α 的單位是1/度。

【13】下表所列是一些物質(zhì)在通常溫度范圍內(nèi)的線脹系數(shù)。

【14】必須注意，殷鋼和石英的線脹系數(shù)很小，這使它們具有很大的實用價值。殷鋼可以用于精密的儀器中，例如用來制造標準時鐘的擺，就可以使時鐘的快慢不大受溫度變化的影響。其他如精密量度用的標準尺，也是由殷鋼制成的。

【15】公式(3·1)也可以寫成下面的形式：

【16】式中的(1＋αt)叫做線脹二項式，它表示固體在 t°C 時的長度同它在0°C 時長度的比值。

【17】如果知道了固體在0°C 時的長度和它的線脹系數(shù)，就可以很容易地根據(jù)這個公式計算出它在任意溫度下的長度。

【18】但是通常我們所知道的不是物體在0°C 時的長度 l?，而是在 t?°C 時的長度l?，那么應當怎樣計算它在溫度 t?℃ 時的長度呢？

【19】當然，我們可以利用(3·2)式先求出物體在0°C 時的長度 l?，再求出它在 t?°C 時的長度 l?，但是考慮到這樣進行計算比較麻煩，因而一般都采用另外一個近似的公式。

【20】根據(jù)公式(3·2)，我們有。

【21】兩式相除得? 。

【22】上式的右端可以化成? 。

【23】最后的分式項可以忽略不計，因為線脹系數(shù)已經(jīng)很小，它的平方就更小了。

【24】于是，我們近似地得到

例1.銅線在0°C 時的長度是50米。問溫度降到－20°C 時它的長度將發(fā)生怎樣的變化？

【解】按題意：α＝0.000017/度，t＝－20℃，l?＝5000厘米。

????????由式(3·1)可得 lt－l?＝α l? t＝0.000017×5000×(－20)＝－1.7厘米。

????????銅線縮短1.7厘米。

例2.鐵棒在0°C 時的長度是40厘米。將它放入火爐中，伸長了4毫米。求火爐的溫度。

【解】按題意：α＝0.000012/度，l?＝40厘米，lt－l?＝0.4厘米。

????????由式(3·1)可得?? 。

例3.在30°C 時，用鋼制游標卡尺測得零件的直徑是9厘米。如果游標卡尺是在20°C 時進行刻度的，求測量的絕對誤差。

【解】按題意：α＝0.000011/度，t?＝20℃，t?＝30℃，l?＝9厘米。

????????因為一般測量時的溫度都是20°C，所以游標卡尺在這一溫度下刻度?，F(xiàn)在在30℃下進行測量，則標尺的每一分度都要伸長，于是，測量就有誤差。

????????t由公式(3·3)? l?＝l?[1＋α(t?－t?)]，可得測量誤差為：l?－l?＝l?α(t?－t?)＝9×0.000011×(30－20)＝0.001厘米。

????????零件的真實直徑要比測量到的值大0.001厘米。

例4.在車床上加工用生鐵制成的滑輪時，滑輪的溫度上升到150°C，此時它的直徑是48厘米。求它在20°C 時的直徑。

【解】按題意：α＝0.00001，t?＝20°C，t?＝150°C，l?＝48厘米。

????????問題是已知滑輪在150°C 的直徑，要求它在20°C 時的直徑。

????????由公式(3·3)? l?＝l?[1＋α(t?－t?)]，可得。

例5.鐘擺振動的周期由公式?定，式中 T?是周期，l?是擺長，g 是重力加速度。如果鐘本來是準確的，當溫度升高20°C 時，它是否還能指示出準確的時刻？如果不能，試問它在一晝夜里快還是慢幾秒鐘？設(shè)擺桿是鐵制的，它的線脹系數(shù)是0.000012/度。

【解】

????????當溫度升高時，由于膨脹的結(jié)果，l 將要伸長一些。因此，擺的周期變長，而且在一定時間內(nèi)（例如一晝夜）的振動次數(shù)要減少，所以鐘也就走得慢一些。很明顯，在一定的時間內(nèi)鐘擺的振動次數(shù)跟它的周期成反比。

????????設(shè)鐘準確時其擺長為 l?，一晝夜的振動次數(shù)為 n?（為了計算方便起見，可以假定其為秒擺，這樣 n?＝86,400次)。溫度升高20°C 后，設(shè)擺長變?yōu)?l?，則?l?＝l?(1＋αt)＝l?(1＋0.000012×20)＝1.00024 l?，一晝夜的振動次數(shù)為 n?，則，

????????因得，

????????所以一晝夜要慢86,400－86,389.6＝10.4秒。

習題3-3

1、對金屬環(huán)進行加熱時，它的內(nèi)徑發(fā)生怎樣的變化？為什么？

2、旋床上旋著一個鐵的圓柱體，在120°C 時，它的直徑是160毫米，試問冷卻到室溫(20°C)時，它的直徑是多少？【159.8毫米】

3、有一根銅尺和一根鐵尺，在任何溫度下，這兩根尺的長度總是相差 l，問它們在0°C 時的長度各等于多少？[提示：設(shè)銅尺和鐵尺在0℃時的長度分別為 l? 和l?'，在 t°C 時的長度各為 lt 和 lt'，則 lt'－lt＝l ]【銅尺長2.4l，鐵尺長3.4l】

4、黃銅球在20°C 時的直徑為4厘米，要使這個球不能從內(nèi)半徑為20.1毫米的圓環(huán)中穿過，必須使它的溫度升高到幾度？【283°C】

5、玻璃瓶的玻璃塞直徑為25毫米，為了要把塞子拔出，必須對瓶頸進行加熱，當瓶頸熱到150℃時，瓶塞只熱到50℃? 。這時瓶頸和瓶塞之間的空隙有多大？（設(shè)α＝0.0000044/度）【0.011毫米】

6、有一根實心棒和一根空心管，由同一種材料制成，直徑和長度完全一樣。問受熱時，它們尺寸的改變是否相同？

7、鋼琴中的弦張緊在鋼的框上，問溫度變化時，弦的張緊程度是否會改變？

8、如果對原來平衡的靈敏天平的一臂加熱，是否還能保持平衡？那一邊下垂？

9、鐘擺的桿由黃銅制成，線脹系數(shù)為0.000019/度，在25°C 時鐘恰好正確，問在0°C 時一天要差幾秒鐘？是走得快還是走得慢？【每天走快20.55秒】