【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書(shū)”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚(yú)座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書(shū)”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書(shū)對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開(kāi)課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開(kāi)課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書(shū)”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

緒論

1、幾何學(xué)研究的對(duì)象

【01】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)算術(shù)和代數(shù)的初步知識(shí)，這兩門(mén)課都是研究數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的。現(xiàn)在我們要開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的另一門(mén)學(xué)科：“幾何學(xué)”，它研究物體的形狀、大小和相互位置關(guān)系。

【02】在日常生活里，我們經(jīng)常要觀察周?chē)母鞣N物體。我們是怎樣去觀察的呢？經(jīng)驗(yàn)告訴我們，首先看到的是各種物體的外形和顏色，其次是物體的重量和組成它們的元素等等。但是在區(qū)別各種物體的時(shí)候，最容易識(shí)別的還是物體的形狀和大小。人類(lèi)為了滿足生活上的需要，在制造一些器具時(shí)，常?？紤]它們的形狀和大小要適合實(shí)際應(yīng)用。

【03】例如床的形狀就需要是長(zhǎng)方形的，它的大小要能夠容納人體的長(zhǎng)度；汽車(chē)的車(chē)輪是圓形的，目的是使它在地面上容易滾動(dòng)，并且在滾動(dòng)時(shí)保持車(chē)身的平穩(wěn)（圖1）。

【04】我們?cè)谟^察事物的過(guò)程中，還可以看到這個(gè)物體和那個(gè)物體之間的位置關(guān)系，這些位置不是隨便放的，這就需要我們來(lái)研究怎樣放才是適當(dāng)?shù)摹?/p>

【05】例如圖2中車(chē)間里正確地安裝機(jī)器；田野里裝置排灌設(shè)備等等，都需要一番研究才行。

【06】幾何學(xué)研究的對(duì)象就是物體的形狀、大小和相互的位置關(guān)系。

2、幾何學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史

【07】幾何學(xué)的產(chǎn)生和別的學(xué)科一樣，也是由于人類(lèi)生產(chǎn)和生活的需要。在原始社會(huì)里，人們已經(jīng)積累了許多物體形狀和大小，以及它們的分布位置關(guān)系的知識(shí)。例如古代的人們?yōu)榱擞涀∷麄兙幼『痛颢C的地方，就逐漸地學(xué)會(huì)怎樣來(lái)判定各個(gè)地方之間的距離，怎樣來(lái)測(cè)量各個(gè)地區(qū)的大小。

【08】隨著人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展，對(duì)于物體的形狀、大小和相互位置關(guān)系的知識(shí)，要求愈來(lái)愈高，就這樣經(jīng)過(guò)勞動(dòng)人民長(zhǎng)期的生產(chǎn)和生活實(shí)踐，積累了許多幾何知識(shí)，并不斷地豐富起來(lái)，形成了人類(lèi)知識(shí)的一個(gè)部門(mén)。

【09】談起幾何學(xué)的發(fā)展歷史，就會(huì)聯(lián)想到古埃及尼羅河的故事。相傳 4000 多年前，尼羅河每年洪水泛濫把兩岸的土地淹沒(méi)，水退后河床常有變易，致使土地界線不明，當(dāng)時(shí)埃及的勞動(dòng)人民為了明確自己耕地的界線，用步伐測(cè)出土地的周界，并計(jì)算它們面積的大小，畫(huà)出耕地的圖形，作為劃分土地的依據(jù)。由于經(jīng)常的測(cè)量和畫(huà)圖，不斷地積累和提高的結(jié)果，歸納出不少的圖形知識(shí)，就這樣產(chǎn)生了初步的幾何學(xué)。

【10】后來(lái)希臘人到埃及去經(jīng)商，學(xué)到了測(cè)量和繪圖的知識(shí)，再逐步加以補(bǔ)充，使這些初步的幾何知識(shí)充實(shí)成為一門(mén)完整的幾何學(xué)?！皫缀螌W(xué)”這個(gè)名詞，希臘文原來(lái)的意義是“測(cè)量土地的技術(shù)”，一直沿用到今天。

【11】公元前?338?年，希臘人歐幾里得在亞力山得里亞大學(xué)教課，他把埃及和希臘的幾何學(xué)知識(shí)，作了系統(tǒng)的總結(jié)和整理，寫(xiě)成一本“幾何原本”。這本書(shū)對(duì)于幾何學(xué)的發(fā)展，曾起了很大的作用，直到現(xiàn)在，中學(xué)幾何課本還是根據(jù)它來(lái)編寫(xiě)的。

【12】我國(guó)的祖先對(duì)于幾何學(xué)很早就有研究，同埃及和希臘人一樣作出了光輝的成績(jī)。在我國(guó)黑陶文化時(shí)期（約公元前四千年）〖山注：原書(shū)此處是“約公元前一千年”，這肯定是原書(shū)寫(xiě)錯(cuò)了，因?yàn)楣耙磺陼r(shí)，姜子牙都要下山封神了，如果黑陶文化是這一時(shí)期的，以它連商代蠻夷野人都不如的水平，怎么可能穩(wěn)居華夏富饒之地；后我查閱了一下資料，根據(jù)相關(guān)研究報(bào)告，將此處更正為“約公元前四千年”〗，陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內(nèi)接正方形等等的圖樣（圖3）。

【13】在墨翟（約公元前 500 年）所著的“墨經(jīng)”里，提出了關(guān)于幾何圖形的一些知識(shí)。在古算書(shū)“九章算術(shù)”里，載有土地面積和物體的體積計(jì)算方法。在另一本古算書(shū)“周髀算經(jīng)”里，敘述了關(guān)于直角三角形的邊長(zhǎng)的比為 3:4:5，這個(gè)例子說(shuō)明直角三角形斜邊上所作的正方形面積等于兩直角邊上所作正方形面積的和（圖4）。

【14】可以查考的例子還很多，這里不多舉了。

3、組成幾何圖形的元素

【15】如果我們只注意一個(gè)物體的形狀和大小，不管它的其他性質(zhì)時(shí)，這樣的一個(gè)物體也叫做幾何體。例如圖 5 中一根圓形的木料和一只圓形的鉛桶，盡管它們的顏色、重量和其他性質(zhì)都不相同，但是只注意它們外表的形狀，卻都是一個(gè)圓柱形的幾何體。

【16】又如圖 6 中一個(gè)皮球和一個(gè)和它同樣大小的木球，雖然它們的其他性質(zhì)都不相同，但卻是兩個(gè)完全相等的球體。

【17】我們知道，任何物體都占有一部分空間，都用它的表面和它的周?chē)珠_(kāi)的，因此我們說(shuō)面是體的界限。例如物體和它鄰接的空氣分開(kāi)的地方就是這個(gè)物體的表面。我們可以放棄物體的本身，單獨(dú)來(lái)想象它的表面，這樣就把幾何里的面看成是沒(méi)有厚度的了。我們用一只玻璃杯裝著水和油（圖7），因?yàn)橛捅人p都浮在水的上面，可以清楚水地看出水和油分界的地方，就是它們共同的表面。很明顯，這樣的面是沒(méi)有厚度的。

【18】如果我們想象兩個(gè)面相交的部分，就會(huì)得到幾何里的線。實(shí)際上我們所看到的線都是兩個(gè)面的公共部分。因此，我們說(shuō)線是面的界限。例如圖 8 中火柴盒的棱就是相鄰兩個(gè)面的相交線。一張白紙上潑了一滴墨水，這兩種顏色的分界也是一條線。

【19】從這些例子可以看到線是沒(méi)有厚度，也沒(méi)有寬度的。

【20】如果我們想象兩條線相交的地方，就會(huì)得到點(diǎn)的形象。實(shí)際上點(diǎn)就是兩條線的公共部分，因此，我們說(shuō)點(diǎn)是線的界限。例如圖 9 中的兩條線的公共部分都是點(diǎn)。

【21】可以看到點(diǎn)是沒(méi)有厚薄、寬窄和長(zhǎng)短的，它只占有一個(gè)位置。例如地圖上就是用點(diǎn)來(lái)確定城市的位置的。

【22】我們所說(shuō)的點(diǎn)、線、面都不能單獨(dú)存在，而只能是依附于物體的。但是在幾何里為了研究它們的性質(zhì)，常常把它們分開(kāi)來(lái)研究，這并不是認(rèn)為點(diǎn)，線、面是互不相關(guān)的。

【23】點(diǎn)、線、面是組成幾何圖形的元素，因此點(diǎn)、線、面以及它們的集合，都稱(chēng)為幾何圖形。

【24】可以全部放在一個(gè)平面內(nèi)的圖形，又叫做平面圖形。這些平面圖形我們?cè)谛W(xué)算術(shù)里已經(jīng)看到不少。例如圖 10 中的一些。

【25】平面幾何學(xué)就是研究平面圖形的性質(zhì)、作法和計(jì)算等問(wèn)題。

習(xí)題

1、試舉一實(shí)例來(lái)說(shuō)明物體與幾何體的區(qū)別?！纠玢U筆匣子是一個(gè)物體，但如果只研究它的形狀和大小，而不管其他性質(zhì)時(shí)，就可以把鉛筆匣子看做是一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的幾何體】

2、一只火柴盒有幾個(gè)面？幾條棱？幾個(gè)頂點(diǎn)？【有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)】