上回我們說到短時距傅里葉變換

短時距傅里葉變換提供了獲取頻率隨時間變化的二維時頻圖。

但是，這個方案真的好嗎？上次說到，短時距傅里葉變換對時間、頻率的精確度，取決于窗函數(shù)的長度，越寬的窗對頻率分辨越好，但對時間分辨越壞；

因此，我們需要根據頻率的范圍，選擇合適長度的時窗。

并且由于不確定性原理，時間-頻率的不確定性總是一個長方形。

由于時窗長度是固定的，當時間信號的頻率范圍很大時，我們就無法根據頻率范圍選擇合適的時窗長度。

以高斯窗為例，我們看到參數(shù)a決定了窗函數(shù)的長度，a越大，時窗函數(shù)越寬。

再看高斯窗的頻域函數(shù)：a越大，高斯窗的頻域函數(shù)越窄。

可以看出，高斯窗本質上是一個低通濾波。因此當我們的信號頻率范圍相差數(shù)倍時，我們無法選擇合適的時窗長度，因此會造成操作上的不便。

此時，一種根據頻率自動選擇時窗長度的方法——小波變換誕生了。它和短時距傅里葉變換源于完全不同的知識分支。

1910年，一個叫Haar的人想到，能不能把信號分解為一組寬度不同的矩形時窗，以此擬合信號的形狀。答案是，可以的

Haar把它的小波定義為：

那么當我們對小波進行拉伸和位移變換，就得到：

實際上，Haar的思想就是構造一組規(guī)范正交基，把信號在正交基上展開。

首先我們定義基小波（wavelet）：

再通過對基小波進行時間域的拉伸(參數(shù)a)，和平移(參數(shù)b)，生成一組小波。

再用這一組小波完全展開信號。

小波變換就是把時間信號變換到由伸展系數(shù)a和位置系數(shù)b組成的二維相空間中。

反變換如下：

那么如何用小波變換得到時頻圖呢？小波變換還滿足下圖關系：

也就是說，從時間信號的頻域函數(shù)，同樣可以得到相同的Wf(a,b)。因此，我們可以先把時間信號變換到(a,b)空間，再反變換回頻率空間，就得到了頻率隨時間的分布。

由傅里葉變換的性質

我們發(fā)現(xiàn)小波變換實際上是對信號進行一系列的窄帶濾波。

每一個小波基的時寬、頻寬都不同，

小波變換最大的優(yōu)點就是小波基含有不同長度的時窗，因此可以自動根據頻率選擇合適的小波基。

那么，基小波的具體函數(shù)呢？我舉幾個例子

Morlet小波

它是一個復數(shù)小波。它在時間域上是一個對稱振蕩函數(shù)。仔細觀察其函數(shù)就會發(fā)現(xiàn)，它是一個衰減的高斯窗乘上一個振蕩的正弦波，因此就形成了下圖左邊的樣子。而右圖是Morlet小波的傅里葉變換結果，可以看出Morlet小波在頻率域上相當于一個帶通濾波器。

還有柯西小波

它在時間域上不一定對稱，但它在頻率域上是一個左偏帶通濾波。

我們利用小波變換，對信號進行變換，也就是進行一系列窄帶濾波操作，由此可以得到對高頻和低頻同時精確的、逼近不確定性原理極限的時頻圖。

在matlab里自帶cwt函數(shù)，就是小波變換函數(shù)。