原視頻地址：BV1di4y1y7au，十分感謝原作者的分享。

基本物理原理（略），詳見(jiàn)原視頻和視頻二：BV16R4y1X7tG。

一、基本思路

磁共振成像的基本思路是利用磁共振效應(yīng)，獲取H核的粒子密度數(shù)據(jù)，從而進(jìn)行區(qū)分（不同物質(zhì)H粒子密度不同，如蛋白質(zhì)和水）。

為了實(shí)際操作，需要把連續(xù)世界進(jìn)行離散化，即將大腦看成一個(gè)個(gè)dxdydz的小方塊。

通過(guò)各種信號(hào)控制獲得數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)據(jù)重建大腦圖像。

1、數(shù)據(jù)獲取

1.1 選層

磁共振只能獲取一整層大腦的疊加信號(hào)，于是首先需要能選層。

選層利用磁共振原理，即在z方向施加主磁場(chǎng)B0，由于質(zhì)子進(jìn)動(dòng)頻率

????ω0=γ*B0（γ為磁旋比，常量，是物質(zhì)自帶屬性）

而當(dāng)施加一定頻率的射頻脈沖f時(shí)，只有同頻的才會(huì)發(fā)生傾倒，即共振時(shí) f=γ*B

因此可以設(shè)計(jì)z方向的梯度磁場(chǎng)，s.t. B=B1+x*（B2-B1）

所以，此時(shí)便可以通過(guò)控制射頻脈沖的頻率和z方向的磁場(chǎng)梯度變實(shí)現(xiàn)了選層。

因?yàn)檫x層有厚度dz，因此實(shí)際使用的是射頻頻帶，頻帶越寬，dz越大。

1.2 層數(shù)據(jù)的獲取

層數(shù)據(jù)的獲取需要考慮 被測(cè)物體 共振后的兩個(gè)固有屬性：T1弛豫和T2弛豫（原理詳見(jiàn)視頻2）。由于不同物質(zhì)T1弛豫與T2弛豫的時(shí)間不同，因此通過(guò)設(shè)計(jì)脈沖信號(hào)的周期與調(diào)整接收信號(hào)的時(shí)間，可以獲得不同物質(zhì) 相對(duì)質(zhì)子密度有一定加權(quán) 的疊加信號(hào)。

實(shí)際應(yīng)用中，T1與T2的調(diào)整，是根據(jù)被測(cè)物質(zhì)的組成特點(diǎn)，本質(zhì)是你要觀測(cè)哪類(lèi)物質(zhì)的信號(hào)，便依據(jù)該物質(zhì)的特點(diǎn)對(duì)信號(hào)設(shè)計(jì)和接收進(jìn)行調(diào)整。

2、數(shù)據(jù)處理

采集到的信號(hào)是電流隨時(shí)間的變化，即時(shí)域信號(hào)S(t)

接下來(lái)需要找到一種方式，將時(shí)域信號(hào)S(t)處理成空域信號(hào)。處理過(guò)程可見(jiàn)視頻一，后面我會(huì)以數(shù)學(xué)的視角重新敘述。

通過(guò)傅里葉變換，可以將采集到的信號(hào)轉(zhuǎn)變成空域信號(hào)，即x,y是坐標(biāo)位置，ρ(x,y)是灰度，此時(shí)便是像素點(diǎn)，可以生成所需圖片。

二、重新理解圖像與信號(hào)

對(duì)于圖像，人眼是實(shí)際觀察的主體，因而這種處理，關(guān)鍵在于圖像易于人識(shí)別。因而圖片的各種處理，如灰度均衡、銳化、插值等等操作，都是為了增強(qiáng)圖片的可讀性，因而清晰度、對(duì)比度才是關(guān)鍵變量。

同樣，對(duì)于信號(hào)，重要的也不是絕對(duì)量，而是同一坐標(biāo)下的相對(duì)值、變化量，比如一條直線y=ax+b，但作為對(duì)比使用微分方式更方便，Δy=a*Δx。

三、重新理解時(shí)域信號(hào)的處理與傅里葉變換

1、傅里葉變換

傅里葉變換的基底是無(wú)窮維，從這個(gè)角度說(shuō)，函數(shù)是無(wú)窮維空間下的一個(gè)點(diǎn)，代數(shù)形式應(yīng)為無(wú)窮維空間下的一個(gè)向量。（此處可能涉及代數(shù)）

實(shí)際工程常用離散傅里葉變換，離散傅里葉變換可以當(dāng)做投影，使用離散傅里葉變換要考慮精度。

2、從時(shí)域到頻域，再到空域的變換過(guò)程

時(shí)域信號(hào)S(t)的φ=γ*Gx*x*t +γ*Gy*y*t ，首先式子里有x，y作為空間域變量，于是問(wèn)題就變成了將x，y前的系數(shù)變?yōu)椴幌嚓P(guān)的兩個(gè)變量，令：

γ*Gx*t = kx；γ*Gy*t = ky

即現(xiàn)在的目的是kx與ky不相關(guān)，但這個(gè)式子里kx與ky里有一個(gè)共同的變量t，因而首先必須要分離時(shí)間t，變成t1，t2，而實(shí)際中，Gx，Gy的t之所以相同，是因?yàn)橥瑫r(shí)打開(kāi)X方向和Y方向的磁場(chǎng)，只要單獨(dú)打開(kāi)，就能分離，于是就有了Gx，Gy一個(gè)打開(kāi)另一個(gè)關(guān)閉的操作。

但是Gx、Gy為什么要設(shè)置成梯度呢？其實(shí)相比上面的過(guò)程，這個(gè)問(wèn)題才是困擾我最久的。因?yàn)橹灰猼分離了，基底的個(gè)數(shù)完全可以通過(guò)改變t1、t2來(lái)獲得。細(xì)節(jié)隱藏在視頻一的這句話里：

因?yàn)槲业恼麄€(gè)觀看、理解流程并不涉及具體的推導(dǎo)，而這頁(yè)的內(nèi)容實(shí)際告訴你，上面得到的規(guī)整的形式，并不是推導(dǎo)時(shí)的原貌，而是加了限定條件簡(jiǎn)化后的結(jié)果，而這個(gè)限定條件就是梯度場(chǎng)。

于是，上述邏輯變?yōu)椋?span id="s0sssss00s" class="color-pink-03">為了簡(jiǎn)化結(jié)果，設(shè)定G為梯度場(chǎng)，由此得到φ=γ*Gx*x*t +γ*Gy*y*t的形式，接著才是需要分離x、y的時(shí)間t。

但是數(shù)學(xué)上，仍然可以通過(guò)兩個(gè)時(shí)間t1、t2構(gòu)造基底，這部分我沒(méi)找到答案，問(wèn)題可能出在工程控制上。

進(jìn)一步的操作是將Gy的時(shí)間固定，將Gy變?yōu)樽兞?，Gx固定，Gx的時(shí)間變?yōu)樽兞俊?/p>

對(duì)于每一次采樣，需要固定Gy，測(cè)量信號(hào)隨時(shí)間的變化，此時(shí)ky=γ*Gy*t0為常數(shù)值，kx則為t的一次函數(shù)。

∴此時(shí)S(t) = ∫∫ρ(x,y)*exe(-2πi*(ωn*x*t+φ*y))dxdy，

寫(xiě)成離散形式S(t) = ΣΣρ(x,y)*exe(-2πi*(ωn*x*t+φ*y))ΔxΔy

這種頻率、相位的形式即編碼名稱的來(lái)源。

而對(duì)于t=t0，kx=ωn*t0，ky=φ，也分別包含頻率和相位信息，所以ky又稱相位編碼，kx又稱頻率編碼。

到此，每一次測(cè)量的kx、ky都可以計(jì)算出，而幅值就是測(cè)出的值，原理是傅里葉反變換，由于每一個(gè)函數(shù)都是一個(gè)基底，所以都正交，所以兩者幅值變相等。

至此，kx、ky、A都有了，便有了空間頻域數(shù)據(jù)，剩下的就是根據(jù)離散公式填充各點(diǎn)，得到一張圖像。